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1、专题21等腰三角形的存在性破解策略以线段AB为边的等腰三角形构造方法如图1所示：等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以A，B为圆心、AB长为半径的圆上（不与线段AB共线）AB图1ABCD图2解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要进行分类讨论通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算如图2，若ABAC，过点A作ADBC，垂足为D，则BDCD，BADCAD，从而利用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验有时候将几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好例题讲解
2、例1 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在AB边上，AE3，F是BC边上不与B，C重合的一个动点，把EBF沿EF折叠，点B落在B处若CDB恰为等腰三角形，则DB ABCDEFB解 16或4如图1，当CBCD时，点F与点C重合，不符合题意，舍去；如图2，当DBCD时，DB16；如图3，当DBBC时，过点B作GHAD，交AB于点G，交CD于点H显然G，H分别为AB，CD的中点由题意可得BE13，DHBG8，所以EG5，从而BG12，BH4，所以DB4图1ABCDEB(F)如图2所示：当DBCD时，则DB16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）图2如图3所示：当BDBC时，过B点作GHAD，则
3、BGE90图3当BCBD时，AGDHDC8由AE3，AB16，得BE13由翻折的性质，得BEBE13EGAGAE835，BG，BHGHBG16124，DB例2 如图，在ABC中，ACB90，AC4cm，BC3cm如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s连接PQ，设运动时间为t（s）（0t4），解：如图，过点P作PHAC于H，C90，ACBC，PHBC，APHABC，AC4cm，BC3cm，AB5cm，PH3t，AHQH，PQ在APQ中，当AQAP，即t5t时，解得：t1；当PQAQ，即t时，解得：t2，t35；当PQAP，
4、即5t时，解得：t40，t5；0t4，t35，t40不合题意，舍去，当t为s或s或s时，APQ是等腰三角形例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA1，OC2，点D在边OC上且OD（1）求直线AC的解析式；（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设直线AC的解析式ykxb，又OA1，OC2，A（0，1），C（2，0）代入函数解析式求得：k，b1直线AC的函数解析式：y（2）若DC为底边，M的横坐标为，则点M的坐标为（，
5、）直线DM解析式为：yP（0，）；若DM为底，则CDCM，AMAN，N（，1），可求得直线DM的解析式为y（2）x（），P（0，（）若CM为底，则CDDM点M的坐标为（，）直线DM的解析式为yx，点P的坐标为（0，）综上所述，符合条件的点P的坐标为（0，），（0，（），（0，）例4 已知抛物线yx2mxn的对称轴为x2，且与x轴只有一个交点（1）求m，n的值；（2）把抛物线沿x轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C，求新抛物线C的解析式；（3）已知P是y轴上的一个动点，定点B的坐标为（0，1），问：在抛物线C上是否存在点D，使BPD为等边三角形？若存在，请求出点D的坐标
6、；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线的对称轴为x2，m4抛物线与x轴只有一个交点，m24n0 从而n4 （2）原抛物线的表达式为yx24x4（x2）2 所以抛物线C的表达式为yx21（3）假设点D存在，设点D的坐标为（d，d21） 如图，作DHy轴于点H， 则DH2 d2，BH2（d22）2 若BPD是等边三角形，则有，即d23（d22）2， 解得d或d所以满足条件的点D存在，分别为D1（，2），D2（，2），D3（，），D4（，） 例5 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx23x8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E（3，
7、4），连结CE，若P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q试探究：当m为何值时，OPQ是等腰三角形解 由抛物线yx23x8（x8）（x2） ，可得点A，B，C的坐标分别为（2，0），（8，0）（0，8）所以CE5OE，所以OEC是顶角为钝角的等腰三角形，即OEC90，OPQ曲等腰三角形有三种可能：当POPQ时，即OPQ为顶角，显然POQCOE，所以OPQOEC90，由题意可知这种可能性不存在；当OPOQ时，则OPQOQP 如图1，过点E作PQ的平行线，分别交x轴，y轴于点F，G， 则OGEOPQOQPOEG， 所以OGOE5，即点G的坐标为（0，5）， 所以直
8、线GE的表达式为yx5， 所以点F的坐标为（5，0） 而，所以，即；当QOQP时，则QPOQOPOCE，所以CEPQ，如图2，设直线CE与x轴交于点H由C，E两点的坐标可得直线CE的表达式为，yx8所以点H的坐标为（6，0） ，所以，即 综上可得，当m的值为或时，OPQ是等腰三角形进阶训练1如图，在RtABC中，ACB 90，AC6，BC8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连结MN，设点D运动的时间为t，若DMN是等腰三角形，求t的值【答案】t5，6或时，DMN是等腰三角形2设二次函数yx22ax（a0）的图象顶点为A，与x轴
9、的交点为B，C（1）当ABC为等边三角形时，求a的值，（2）当ABC为等腰直角三角形时，求a的值【答案】（1）a；（2）a3如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），E为线段AB上的一个动点（不与点A，B重合），以E为顶点作OFT45，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OCAB抛物线yx2mxn经过A，C两点（1）求此抛物线的函数表达式；（2）求证：BEFAOE；（3）当EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标【答案】（1）yx2x；（2）略；（3）点E的坐标为（1，1），（，2）【提示】（2）由BAOFEOABO45即可证；（3）分类讨论：当OE
10、OF时， 点E与点A重合，不符合题意；点EOEF时（如图1），易证AFOBFE，从而BEAC2，再过点E作EH y轴，即可求得点E（，2）；当FEFD时（如图2），此时BFE和OFE均为等腰直角三角形，求得点E（1，1）4如图，抛物线yax26xc与x轴交于点A（5，0），B（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上的一个动点，连结PA，过点P作y轴的平行线交直线AC于点D，请问：APD能否为等腰三角形？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由【答案】APD能为等腰三角形，点P的坐标为（2，3），（1，0），（，67），或（，67）【提示】由点A，B的坐标可得抛物线的表达式为yax26x5从
11、而得到C（0，5）所以直线AC：yx5可设点P（m，m26m5），则D（m，m5） APD为等腰三角形有三种情况，由ADP45或135用代几结合解决问题 当APAD时，FAD90，得P（一2，3）； 当APPD时，APD90，得P（1，0）； 当ADPD时，可列方程，从而m，得P（，67），或（，67） 5如图，抛物线yax22x3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（1，0）直线yx分别与x轴，y轴交于C，F两点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF干点D点E在线段CD的延长线上，连结QE，问：以QD为腰的等腰QDE的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【答案】存在，以QD为腰的等腰QDE的面积最大值为【提示】有题意可得抛物线的解析式为yx22x3，点C（，0），F（0，），从而tanEDQtanOFC，如图，作QGCE于点G，设DQt，则QGt，DGt，若DQDE，则DE2DG，从而QDE的面积为SDEQGt2显然t2t2所以当DQEQ时，S取最大值设点Q（x，x22x3），则tQDx2x，可得t3时，Smax9