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1、第18章量子力学基础第1页，共149页，编辑于2022年，星期一在扫描电子显微镜下的苯分子（数量级 ）扫描隧道显微镜下的原子貌体溪回谷转愁无路，忽有梅花一两枝。名句赏析第2页，共149页，编辑于2022年，星期一第3页，共149页，编辑于2022年，星期一扫描隧道显微镜下电子显微镜下光学显微镜下第4页，共149页，编辑于2022年，星期一果蝇眼部分第5页，共149页，编辑于2022年，星期一第6页，共149页，编辑于2022年，星期一 内内 容容 提提 要要 实物粒子的波粒二像性 与验证 测不准关系及意义 波函数及波函数的统计解释 薛定谔方程 定态薛定谔方程 用薛定谔方程 求解：1 一维无限深
2、势阱；2 线性谐振子；3 氢原子。势垒 第7页，共149页，编辑于2022年，星期一第一节 实物粒子的波粒二象性一 德布罗意假设 1924年，法国科学家德布罗意指出：“整个世纪以来，在光学中，比起波的研究方法来，如果说是过于忽略粒子的研究方法的话。那末在实物粒子的理论上，是不是发生了相反的错误，把粒子的图象想的太多，而过分的忽略了波的图象呢？”他大胆假设，不仅光具有波粒二象性，而且一切实物粒子（电子，质子，中子，原子，分子等静止质量不为零的粒子）也具有波粒二象性。自由粒子单色波粒子性：实物粒子波动性：（Material particle)联系(单色波时)光波动性：电磁波粒子性：光子（自由粒子)
3、联系第8页，共149页，编辑于2022年，星期一 联系波和粒子两方面性质的量子条件 ，对微观粒子（原子，分子等）普遍成立。突出：德布罗意波长在宏观领域 。波性即是有，也可忽略不计。讲书中例题点评 在微观领域中，粒子的质量小，德布罗意波长与原子的线度可比拟，故波性明显。称为德布罗意波长。这样的波称为物质波（Material wave)或德布罗意波则自由粒子的波长为或非相对论结果相对论结果第9页，共149页，编辑于2022年，星期一德布罗意第10页，共149页，编辑于2022年，星期一德布罗意：原来学历史，后在其哥哥（物理学家)的影响下改学理论物理。1924年，在其博士论文中提出实物粒子具有波动性
4、的观点，其导师朗之万对其的新观点有所不解，将论文寄给了爱因斯坦，爱因斯坦喜欢物质的对称性，对德布罗意欣赏和支持。德布罗意因提出革命性的理论，使其获1929年诺贝尔物理奖。第11页，共149页，编辑于2022年，星期一德布罗意Louis Victor due de BroglieHe was awarded 1929 Nobel Prize for his discovery of the wave nature of electrons.18921987第12页，共149页，编辑于2022年，星期一二 电子衍射实验（物质波的验证)1 戴维逊-革末实验(1927年)戴维逊-革末实验装置 在德布罗
5、意物质波的假设提出仅三年后，就在实验中得到验证。灯丝阑加速电压入射电子束镍晶体散射电子束 电子射向单晶体（镍）的速度 按传统的思维（即单纯粒子的观点），电子被镍原子散射，大部分被反弹回去，部分沿其它方向反弹，越大，反弹数目越少。第13页，共149页，编辑于2022年，星期一 通过测量不同的 角的散射电子相对数目，实验结果发现为，在 时，在 方向上，散射的电子数出现最大值，大于或小于此角时，散射的电子数锐减。如图时。显然，用单纯的粒子观点无法解释此实验的结果。若采用波粒二象性的观点，则会得到圆满解释。电子波若存在，在单晶上衍射，其最大满足布喇格公式已知此时的，取解得，与电子数出现最大的方向一致。
6、第14页，共149页，编辑于2022年，星期一 该实验有力的证明了德布罗意的物质波假说是正确的。实物粒子同样具有波粒二像性 无心插柳柳成荫，戴维逊-革末实验的本意是做另外的实验，然而，无意中验证了德布罗意波的存在。第15页，共149页，编辑于2022年，星期一戴维逊与革末戴维逊获1937年诺贝尔物理学奖。第16页，共149页，编辑于2022年，星期一戴维逊与革末第17页，共149页，编辑于2022年，星期一电子的衍射实验2 汤姆逊电子衍射实验G.P.Thomson 同年（1927年）实验上发现发现晶体对电子的衍射获1937年诺贝尔物理奖。解释实验结果：金箔是多晶体，是由无规则取向不同的单晶粒子
7、组成。对于入射的电子束，总会有一些单晶的取向满足布喇格极大的条件。由于晶粒排列的完全无序，衍射极大的方向对电子束是对称的，故在屏上呈现同心的圆环形的衍射条纹。金箔第18页，共149页，编辑于2022年，星期一3 其它的电子干涉，衍射花样图电子双缝干涉图样1961年，约恩孙（C.Jonson）直接完成了电子双缝干涉实验。缝距缝宽电子束的波长第19页，共149页，编辑于2022年，星期一第 二 节 波 函 数 波 函 数 的 统 计 解 释 一 自由粒子的波函数机械波或用复数式表示若波的波长和频率一定时，称为一维平面谐波，波动方程取实部即上述表示。类比法建立自由粒子的波动方程对自由粒子（无外力作用
8、的粒子），其动量和能量一定，由第20页，共149页，编辑于2022年，星期一 在量子力学中，称其为自由粒子的波函数。它也是一个空间和时间的函数，它表示一个沿 方向运动的自由粒子的波函数。而式中 是波函数的振幅。与时间和空间无关的常数。为复数形式（原由见后）。波长与频率恒定，故自由粒子的波动方程考虑到第21页，共149页，编辑于2022年，星期一 对于沿 方向传播的能量为 ，动量为 的自由粒子，波函数形式为 自由粒子沿 方向运动，沿 方向来描述波函数时的表达式。第22页，共149页，编辑于2022年，星期一二 非自由粒子的波函数如原子中的电子等，同样有波粒二象性，其波动性也用波函数描写，但要复杂
9、的多，其仍然是时间和空间的函数。第23页，共149页，编辑于2022年，星期一三 波函数的统计解释（物理意义）狭缝感光板重温光的单缝衍射 把波与粒子二观点统一：光子在空间某点出现的概率与该处光波的振幅平方成正比，电磁波可视为概率波。波振幅最大处单色波光子落上的数目多或光子出现概率大的地方光子第24页，共149页，编辑于2022年，星期一089演示狭缝感光板电子当狭缝足够窄时，观察电子依次通过狭缝后在感光板上的落点。电子由于有波粒二像性，如同光子，故表现同单色光的单缝衍射。演示电子通过狭缝的观察。电子在幕上的特殊分布用纯粒子性观点无法解释，类比光的单缝衍射结果，不难得出，也是波粒二像性表现。电子
10、出现概率最大处波的强度物质波振幅最大处单色波第25页，共149页，编辑于2022年，星期一 电子在感光板上各处的分布，最初是无规则的，经过一定的时间积累之后显示出衍射花样的规律。这种现象用单纯的粒子性观点根本无法解释。如果承认实物粒子具有波粒二象性，则实验结果不难解释。波的单缝衍射必然形成衍射花样。而衍射花样就是电子在各处出现的概率分布图样。波的强度大，即波的振幅大的地方，即粒子出现的可能性大；概率大；反之，概率小。而衍射花样就是电子在各处出现的概率分布图样。故物质波是概率波。波函数的统计解释：某一时刻，粒子在某点附近出现的概率与该处波函数振幅的平方成正比。空间某点（x,y,z）的概率为，则第
11、26页，共149页，编辑于2022年，星期一 波函数的统计解释是玻恩（M.Born）1927年提出的，解释了许多实验结果以为大家所公认。玻恩（M.Born）对波函数的统计解释获1954年诺贝尔奖。第27页，共149页，编辑于2022年，星期一玻恩（M.Born）第28页，共149页，编辑于2022年，星期一如自由粒子的概率密度因波函数为则概率密度为表明沿 轴运动的自由粒子在轴上各点处出现概率处处相同。若波函数在三维空间存在，在体元 中的概率为称为概率密度。第29页，共149页，编辑于2022年，星期一波函数的归一化条件解释 波函数的标准条件：解释波函数 必须是 有限，单值，连续函数。波函数一
12、电子表现出波粒二像性，之后，有种种说法，典型的有：1 强调波性一面，历史上不少人认为，电子根本上是波，包括德布罗意本人也支持这种观点，尤其是物质波的群速度与电子的速度相同。波包即电子然而，波会在媒质界面处有反射和折射，波可分成两部分。若电子是波的话，电子也应是分成两部分，事实并非如此，电子要么整体反回，要么整体进入下一种媒质，不可能分裂，可见，电子第30页，共149页，编辑于2022年，星期一四 在量子力学中，微观粒子的状态由波函数描写（略解释）。二 波函数本身没有直接的物理意义。与电磁波，机械波等不同。电磁波，机械波等自身有物理意义，振幅可测量等，如电磁波可使物质中的电子或原子受迫振动等，而
13、波函数全无此性质。三 波函数模的平方才有直接的物理意义，即玻恩的统计解释。本身不能与波等同。2 强调粒子的一面。认为电子是经典的粒子。认为电子单缝衍射或电子的双缝干涉图样的形成是电子束中的电子相互作用和碰撞的结果，给人表现为波的效果。事实上，为避免电子间的相互作用影响，不用电子束实验，而是让电子一个又一个的单独射向单缝或双缝，开时，电子在屏上无规则的出现，当通过的电子足够多时，电子在屏上的分布与电子束（即大量的电子同时射向缝）射向缝的分布结果相同。这表明，波的衍射非粒子间作用所为，电子不是经典的粒子。五 电子的波遵循波的叠加原理，既有衍射特性，如电子的单缝衍射图样，又有干涉特性，如电子双缝干涉
14、图样，电子波是是相干的。下面加以说明。四 微观粒子的状态可以用波函数来描写。第31页，共149页，编辑于2022年，星期一在电子单缝衍射实验电子束幕缝宽时电子束幕缝较窄时电子束幕缝很窄时第32页，共149页，编辑于2022年，星期一电子束幕仅下缝开启时电子束幕双缝开启时1 波函数线性叠加。2 电子的波波函数是相干的。3 概率密度不叠加。合成波的电子束强度（双缝同时打开）不等于两束电子强度（二缝分别打开时的强度）的叠加。在电子双缝干涉实验电子束幕仅上缝开启时第33页，共149页，编辑于2022年，星期一对实物粒子波粒二象性的评述小布喇格讲：星期一，三，五它是波；二，四 六它是粒子，星期天物理学家
15、休息。第34页，共149页，编辑于2022年，星期一第三节 测不准关系(不确定关系式)在经典力学中，可以同时用确定的坐标和确定的动量来描述宏观物体的状态，或讲，某时刻物体有唯一的位置及动量（如抛体运动圆周运动等发），正因为如此，经典力学中，物体宏观运动有确定的轨道。对于微观粒子，我们能否同时用确定的（唯一的）坐标与动量来描述它的状态呢?回答是否定的。下面以单缝衍射为例来进行研究。第35页，共149页，编辑于2022年，星期一 由于电子的波粒二像性，电子在感光片上的分布特点，意味着电子过狭缝时动量方向发生改变。有多个可能运动方向，或在X方向有多个可能动量分量，而非唯一的一个值。狭缝感光板电子衍射
16、波振幅最大处即电子出现概率大处。电子束第36页，共149页，编辑于2022年，星期一 下面讨论缝的宽窄程度是如何影响电子通过缝时电子可能的动量分布的。从直观考虑，缝越宽，波的衍射特点越不明显，各级“条纹”越集中在与缝对应的幕的中部，即电子以较大的概率出现在幕的中部，或讲电子过缝时，发生偏折小，在缝宽方向的动量会集中在一小范围内。当缝足够宽时，波的衍射以已很不明显，电子过缝时的动量才会变成了唯一的确定值。反之，缝越窄，电子过缝时的缝向位置越准确，从波性讲，波的衍射特征和效果越凸显，各级“条纹”会在幕上展开，且中央明纹也变宽，即意味着电子电子过缝时，有多个可能的运动方向，动量会有多个值，动量的值变
17、的很不确定，不仅有发生偏折小，也有发生偏折大的，动量越没有准确的值，或讲无法确定电子过缝时的动量，动量的可能值存在一个变化范围，或讲动量也有一个不确定量，在缝宽方向的动量同样会扩展到较大的范围内（有一个不确定量）。一句话，狭逢的宽窄程度因电子的波粒二像性影响了电子过缝时动量所取可能值的范围，即动量不确定量。下面定量地讨论粒子的位置的不确定量与粒子动量不确定量间的定量关系。第37页，共149页，编辑于2022年，星期一电子通过狭缝时，在x方向上坐标（或位置）的不确定量为 狭缝缝宽幕电子衍射简图电子沿 向射向单缝波的强度或电子的出现的概率在幕上的分布第一级最小 在同一瞬时，由于衍射原因，电子动量的
18、方向有了变化，由衍射花样知，如果仅考虑一级衍射图样，则电子被限制在一级最小的范围内，第38页，共149页，编辑于2022年，星期一坐标的不确定量和动量的不确定量之积或在 方向上，动量的不确定量（过缝时，在 方向上的所有动量的可能值取值范围）为动量的不确定量又记为 如果把衍射的其它级次也考虑进去，则有第39页，共149页，编辑于2022年，星期一推广到三维称为海森堡测不准关系式。解释式 的意义 关系式表示：沿某一方向（此处为缝宽方向或 方向）同时测量粒子的坐标和动量时，坐标的不确定量 和动量的不确定量 之积不小于普朗克常数 。物理意义 上面的关系式给出了按经典的粒子概念去描述微观粒子所要遇到的限
19、度。由于微观粒子具有波粒二像性，其位置和动量不可能同时准确的测定。第40页，共149页，编辑于2022年，星期一 上述的测不准关系式给出了按经典的粒子概念(位置和动量同属于描述经典粒子的概念)去描述微观粒子时所要遇到的限制。当粒子的位置愈接近于完全确定时，即缝很窄，很小时，相应的 越大（取值范围大），它的动量将接近于完全不确定，越不可知过缝时向何方向运动，电子到底以何 运动。反之，当粒子动量接近于完全确定，即 很小，它的位置将接近于完全不确定，即 很大。缝小时缝小时可能值可能值既然如此，微观粒子因具有波粒二像性，故无轨道可言。第41页，共149页，编辑于2022年，星期一 例如，对沿 方向运动
20、的自由粒子，动量有确定的值 ，由测不准关系式得 ，而坐标 则 完全无确定的值，粒子可处在 任何 位置，取无穷多个可能值，粒子可在 轴上各点出现，出现的概率相同。而经典力学认为，沿直线运动的自由粒子（质点），在某一时刻有确定的动量和位置。在宏观范围内：则粒子的位置和动量同时有唯一值，粒子有轨道。二者的不准确度可同时为零。第42页，共149页，编辑于2022年，星期一 1 量子力学指出：微观粒子的坐标和动量不可能同时准确的测定。微观粒子的运动无确定的轨道。2 微观粒子的坐标和动量不可能同时准确的测定，不是仪器和测量的缺陷，是由于微观粒子波粒二象性的结果。点评第43页，共149页，编辑于2022年，
21、星期一波列 越长，所包含的单色波波长的范围 越小 1 动量完全确定即波长完全确定-分布在整个空间，完全不能象粒子那样用一点的坐标确定其位置。波长分布波长分布波列 越短，所包含的单色波波长的范围 越大对电子的单缝衍射而言，缝宽 即电子在过缝时 方向上的波函数范围 ，越小，越宽，包含在 方向上的不同波长的单色波越多，越宽，衍射越明显；只有当 波长范围 ，有唯一值，即单色波。对单缝，方向上无波函数，仅 方向上有波函数。无电子衍射。点评第44页，共149页，编辑于2022年，星期一2 对易关系与同时测量问题 在经典物理中，原则上，在任何状态下同时测量任何多个力学量都能得到确定的值。在量子力学中，情况确
22、非如此，在某个状态下同时测量两个力学量，并有确定的值，则这个状态必须是该两个力学量的的共同本征态。如果两个力学量，其算符为 和 ，二者是对易的，则一定存在两者的共同本征态。二力学量可同时测定。动量分量和它所对应的坐标（和 ，和 ，和 ）是不对易的，因而，不能同时有确定的值；而 和 ，和 等同时有确定的值。动量的各分量之间也是对易的。如，当缝足够窄时，电子的位置（方向），足够准确，有唯一值，方向的动量也有唯一值。第45页，共149页，编辑于2022年，星期一第46页，共149页，编辑于2022年，星期一创立量子力学获1932年诺贝尔奖第47页，共149页，编辑于2022年，星期一海森堡与费米，泡
23、利第48页，共149页，编辑于2022年，星期一狄拉克与海森堡第49页，共149页，编辑于2022年，星期一1921年哥本哈根学术会议第50页，共149页，编辑于2022年，星期一 微观粒子所处的状态的时间和能量的不确定度 之间的测不准关系为解释（略）：处于激发态能级寿命与激发态能级宽度的关系粒子寿命：在能级上停留时间能级宽度为能量的不准确量；表示过程进行的时间。若 即能级无限窄的话（即单一能量值），粒子在能级上停留 ，与事实相悖。第51页，共149页，编辑于2022年，星期一解：设第一级暗纹的衍射角较小。则 例 171如图所示，一束动量为 的电子，通过缝宽为 的狭缝，在距离狭缝为R处放置一荧
24、光屏，屏上的衍射花样的中央最大宽度为多少?第52页，共149页，编辑于2022年，星期一第 四 节 薛 定 谔 方 程 在牛顿力学中 任何质点（如做抛体运动的质点，沿圆周运动的质点等等）都可用统一的牛顿运动定律的微分形式描写，然而，因边界条间或初始条件而异，具体的运动方程，轨道方程等差异很大。微观粒子所处的环境不同（如自由运动的电子和原子中处在束缚态的电子则环境不同）描述粒子的波函数（如同上述运动方程，轨道方程等）也不同，因此，必须寻找微观粒子的波函数随空间和时间变化的普遍规律，即统一的偏微分方程，称为薛定谔方程。由于微观粒子的波函数本身不是一个可以直接可测量的物理量（原则上，直接可测量的物理
25、量是波函数的模的平方，即粒子的概率），直接通过实验来寻找或建立薛定谔方程是困难的。在此，回忆一下一维平面简谐波的波动方程的两种形式积分形式微分形式第53页，共149页，编辑于2022年，星期一 由积分形式可得微分形式，然而，因边界条件或初时条件不同，微分方程的解，其积分形式的解多种多样。下面仿此法求薛定谔方程。1926年，薛定谔在德布罗意波的假设基础上建立了势场中的微观粒子（如原子中的电子等）的波函数遵循的微分方程：薛 定 谔 方 程。第54页，共149页，编辑于2022年，星期一 下面从一维运动的自由粒子入手引入薛 定 谔 方 程。设一质量为 ，动量为 ，能量为 的自由粒子，它沿着 轴运动。
26、波函数为 把该式对 求二阶导数，得其中两边乘第55页，共149页，编辑于2022年，星期一动能 与 相当。又因 （1）把波函数对 求一阶导数，得（2）两边乘由（1）和（2）式得一维运动的自由粒子含时间薛定谔方程。第56页，共149页，编辑于2022年，星期一对势场中运动的粒子，则为势能。或代入式并用式化简，得三维空间粒子（有势能时）的含时的薛定谔方程。一维时（有势能时）形式第57页，共149页，编辑于2022年，星期一或解释略。称为拉普拉斯算符。薛定谔方程为偏微分方程，虽然是从自由粒子的波函数出发，经推广得出，然而，其解不再单单是自由粒子的波函数，在不同的势能表述和波函数的标准条件下，得到不同
27、的波函数。第58页，共149页，编辑于2022年，星期一定态薛定谔方程 若势能仅仅是空间的函数，即 ，与 时间无关的话，用分离变量法，可把波函数分为二函数之积 代入含时的薛定谔方程，经整理后得上式左边只是空间坐标（x,y,z）的函数，上式右边只是时间（t）的函数只有两边都等于常数，上式才成立。令这个常数为 ，即指数是无纲量，而 的单位是 ，所以 的单位为 ，可见，此常数 即粒子的能量。解得第59页，共149页，编辑于2022年，星期一同样有或上式记为称此方程为定态薛定谔方程。其解称为定态波函数。形式为含时间的波函数为仅是空间的函数第60页，共149页，编辑于2022年，星期一 解定态方程，可求
28、出定态波函数及相应的粒子能量的具体值及特征。如自由粒子的定态薛定谔方程为自由粒子含时的波函数为定态波函数为有确定的能量。（对此问题，粒子也有确定的动量）能量为（设粒子沿 轴运动）第61页，共149页，编辑于2022年，星期一2 几率密度粒子处于定态时，概率分布不随时间变化。1 在量子力学中认为，势能仅是坐标的函数，与时间无关，而且系统的能量为一与时间无关的常量，那么，此系统的状态称为定态。系统的状态为定态时，能量有确定的值。玻尔假设中的稳定态即此处的定态。然而，前者是以假设提出的。几点结论：第62页，共149页，编辑于2022年，星期一*算符 ，本征态，本征值动量算符哈密顿算符本征值方程则称
29、为 的本征值，为属于 的本征函数。如第63页，共149页，编辑于2022年，星期一获1933年诺贝尔奖薛定谔因提出新的原子理论与 Dirac shared the 1933 Nobel Prize第64页，共149页，编辑于2022年，星期一第65页，共149页，编辑于2022年，星期一第66页，共149页，编辑于2022年，星期一P.A.M.Dirac19021984狄拉克（英）创立原子理论的新形式获得1933年诺贝尔奖第67页，共149页，编辑于2022年，星期一获1933年诺贝尔奖第68页，共149页，编辑于2022年，星期一1927年会议第69页，共149页，编辑于2022年，星期一解
30、：一维定态薛定谔方程为令则其通解为A和 B 为两个常数。如图所示，设想有一粒子处在势能为 的力场中，并且 沿 轴运动。且 例 172 一维无限深势阱。第70页，共149页，编辑于2022年，星期一结论1 能量量子化。是量子力学的必然结果，无须假设。根据边界条件于是根据边界条件时则因为 不为零，故 ,必有 也可写成粒子能量的可能值为式中 为量子数。第71页，共149页，编辑于2022年，星期一能级图基态 *与普郎克假设和玻耳理论的能级类似。第72页，共149页，编辑于2022年，星期一 若 级，级，即电子在宏观领域运动时，而 。相邻能级差为（1）粒子在宏观世界运动时，能量是连续变化的。宏观世界能
31、级：能级间隔能量是连续变化的。第73页，共149页，编辑于2022年，星期一（2）若 级，级，而 ，能级间隔大，电子在微观领域运动时，凸现出能量不连续变化的。第74页，共149页，编辑于2022年，星期一故粒子在微观世界运动时，能量2 波函数于是，有则归一化的定态波函数为运用波函数归一化条件求粒子处在不同的定态，有不同的能量。第75页，共149页，编辑于2022年，星期一含时的波函数为与前面讲的驻波 比较 一维无限深势阱中的粒子的波函数是驻波形式。3 粒子在势阱中的几率密度为在不同的定态（即 取不同的值时），几率分布函数不同。且与时间无关第76页，共149页，编辑于2022年，星期一定态波函数
32、图与几率密度图第77页，共149页，编辑于2022年，星期一一一对应（解释）。以上可知，处在一维无限深势阱中的粒子有无穷多个定态或定态波函数，在处在每一个定态时，即某一定态波函数所描述的微观态时，体系有确定的能量和概率分布。粒子可以处在不同的定态，或从一个定态转到另一定态。小结：第78页，共149页，编辑于2022年，星期一若势阱非无限深时，粒子在阱外有存在的几率有限深势阱的情形第79页，共149页，编辑于2022年，星期一 金属中自由电子的一个简化模型，就是量子力学中的一维无限深势阱。点评1 据测不准关系式当阱“很宽”，达厘米级时，即到宏观领域，有唯一值，表现为“纯粒子性”特征。若阱“很窄”
33、，达原子线度 ，如电子质量为 。由 速度的不确定量很大,必须用量子理论。意味着沿 方向运动的粒子的速度或动量有多个可能值，。第80页，共149页，编辑于2022年，星期一2 波函数的叠加用欧拉公式定态波函数因为则第81页，共149页，编辑于2022年，星期一代入上式，得 可见，当粒子处在能量取确定值的定态时，其动量有两个确定值：和 ，前者为沿 轴正方向运动的自由粒子，后者为沿 轴负方向运动的自由粒子，能量均为 。定态波函数是二自由粒子波函数的线性叠加。当能量为确定值 时，动量无确定值，和 以相同的概率出现。如对沿轴正方向运动的态第82页，共149页，编辑于2022年，星期一 3 在有些情况下，
34、粒子不能用单一的定态来描述其运动状态。例如，在外界的激发下，粒子有可能从一个定态跃迁到另一定态，或讲，粒子有可能从一个能级跃迁到另一能级。粒子的这种运动须用定态波函数的叠加来表示：其中的叠加系数 一般与时间 有关（详见量子力学专著）。4 当一束速度给定的电子射到一晶面上时，它被衍射而在各个方向散开。对于其中的某一个电子来说，衍射后它沿哪个方向运动都有可能，每一个方向的运动由一个平面波来表述，因此，衍射后电子的波函数 是不同动量 的平面波的叠加。衍射后的电子，其动量可以取不同的值，主要是 的方向不同，即 不同，因为由于电子的能量，动能未变，在各方向上都是一样的。第83页，共149页，编辑于202
35、2年，星期一 5 原则上，描述任何运动状态的波函数 都可表述为自由粒子的波函数的叠加。第84页，共149页，编辑于2022年，星期一例 173 一维无限深势阱中的粒子的波函数为 1 画出几率分布曲线；3 何处的几率最大；2 处的几率密度；4 与 间的几率。解：（略）几率密度曲线第85页，共149页，编辑于2022年，星期一例 174一维运动的粒子，处于如下波函数描写的状态 式中 ，求：1 粒子的几率密度；2 在何处发现 粒子的几率最大。解：当 处发现粒子的几率最大。第86页，共149页，编辑于2022年，星期一 例 17-5 一维谐振子问题。微观领域内很多现象，例如黑体辐射，原子分子的振动，晶
36、体中原子在晶格间的振动，都可以用谐振子模型来处理。势能此时，一维定态薛定谔方程为为一常微分方程，求解较难，故求解略。为了使波函数满足标准条件，谐振子的能量只能取一系列分立值，即解得（略）此即谐振子的量子化能级。第87页，共149页，编辑于2022年，星期一其中能级图与普朗克研究黑体辐射时的假设相符。第88页，共149页，编辑于2022年，星期一称为零点能。基态能量 物理意义：当振子运动范围 时，势能 ，由测不准关系 将增大，相应的动能增大，结果使 不能 。按经典理论：第89页，共149页，编辑于2022年，星期一不同态下的概率分布简单解释（略）第90页，共149页，编辑于2022年，星期一 *
37、即在微观领域中，谐振子的能量量子化，与普朗克的量子论相符。与宏观领域的谐振子的能态不同，在宏观领域中，谐振子的能量是连续的。*与分子动理论的讨论比较（略）*双原子分子的振动能（量子力学结果）*实际的问题用近似模型。第91页，共149页，编辑于2022年，星期一第 五 节 氢 原 子 的 量 子 理 论 此前我们用玻尔的氢原子理论（半经典，半量子化）得到氢原子中的电子能量，轨道角动量量子化的特征，及空间量子化。在微观领域中，物理量的量子化是粒子有波粒二像性的必然结果。在此，通过求解薛定谔方程，自然得到量子化的物理量。核把坐标原点建在核处。定态薛定谔方程（电子三维运动）为势能形式 由于氢原子中的电
38、子是在核的有心力场中运动，势能仅与 有关，与方向无关。势能球对称，故采用球坐标描述方便。第92页，共149页，编辑于2022年，星期一显然，定态波函数以 为变量，表为利用分离变量法代入上式，可得三个微分方程。经 坐标变换（略）得在球坐标系下氢原子的定态薛定谔方程的形式为第93页，共149页，编辑于2022年，星期一径向方程可得 三个波函数。求解过程中，运用波函数的标准条件，自然得到（略）1 能量量子化 为主量子数。结果与玻尔理论的结果同。表明薛定谔方程的正确性。其它第94页，共149页，编辑于2022年，星期一2 轨道角动量量子化，称为角量子数。即对同一个主量子数 ，有 个不同的轨道角动量值（
39、它们代表了不同的的量子态，角动量不相同，而能量相同），角动量的最小值为零。与玻尔的假设基本相符。此为正确地表述。一般用 等字母来表示 的状态。如 在量子力学中，由于虽然没有轨道的概念（见测不准关系），但不同状态的电子仍有一定的角动量，求解上述方程可得到电子轨道角动量只取一系列分立值，是量子化的。第95页，共149页，编辑于2022年，星期一第96页，共149页，编辑于2022年，星期一*实验基础（见原子物理中的谱线精细结构）从氢原子看，主量子数相同，而角量子数不同的状态，具有相同的能量（能级兼并）。然而，实验表明，碱金属的价电子的能级不仅与 有关，而且与 有关。其中锂原子约迁选则定则精细结构第
40、97页，共149页，编辑于2022年，星期一3 空间量子化 空间量子化的概念是1915-1916年间索末非提出来的，根据经典电磁理论，绕核作轨道的电子相当一圆形电流，其轨道角动量在空间有各种的取向，或讲轨道角动量所在平面在空间的方位只能取特殊的位置，在某方向上（通常指外磁场方向上）的投影是量子化的，称为空间量子化条件（加形象的演示说明）。，称为磁量子数。是轨道角动量 在 轴方向上的投影。它也是量子化的，称为空间量子化。当 一定时，其投影可能有值 个。或称有 个量子态。通过求解薛定谔方程,可得第98页，共149页，编辑于2022年，星期一空间量子化图示第99页，共149页，编辑于2022年，星期
41、一时，轨道角动量在外磁场方向的投影 是量子化的，其值为第100页，共149页，编辑于2022年，星期一*磁场对原子的作用-塞曼效应（空间量子化的验证）由于轨道角动量是空间量子化的，轨道磁矩的大小和方向都是量子化的，显示这些量子化的效应的著名实验是塞曼效应。塞曼效应是原子在磁场中发光时磁场的作用所引起的光谱线的分裂的现象。谱线的分裂意味着能级的分裂。而能级的分裂源于不同的空间量子化轨道的方位或指向不同与外磁场的相互作用能不同,在磁场中引起的附加能量不同的结果。强磁场（几个特斯拉）电子磁矩 如氢在无外磁场时发射的一条谱线，在有磁场时就会分裂成三条谱线。量子力学计算得出，磁量子数的选则定则为第101
42、页，共149页，编辑于2022年，星期一 塞曼效应是用加磁场的方法人为的改变了原子的能级的结果。当磁场约为 一特斯拉时，能级的改变约为 。与原子的能级间隔（约几个电子伏特）相比，相差4个数量级。因此，在磁场中的谱线分裂需用高分辩率的摄谱仪方可观察到。外加电场同样也可也可使谱线分裂，称为斯塔克效应。在高电场中引起的这种分裂也很微弱。用现在实验室中的磁场或电场作用于原子，其效应比原子自身的电磁作用小的多。因此原子是稳定的。第102页，共149页，编辑于2022年，星期一 4 波函数径向波函数与 均有关。第103页，共149页，编辑于2022年，星期一 由径向概率分布图得出 ，对于每一个状态，沿径向
43、有不同的概率分布，它们都有一个或几个峰值，即为概率大的地方。由此可推之，在量子力学中，原子中的电子无轨道。前面提到的玻尔轨道，系该处电子出现大的地方。径向概率 分布玻耳半径第104页，共149页，编辑于2022年，星期一径向概率 分布第105页，共149页，编辑于2022年，星期一常数，概率分布与角度无关，球对称分布。态态态概率分布与角度的关系第106页，共149页，编辑于2022年，星期一 为 一定时的任一截面上的分布。从原点引发与 轴成 的射线，曲线所截射线的长度代表几率。几率分布球对称。把这些图形绕 轴旋转得到的立体图形才能表示空间的分布。角动量为零，相当电子球对称分布。沿 的概率分布第
44、107页，共149页，编辑于2022年，星期一氢原子的电子云图第108页，共149页，编辑于2022年，星期一的几率分布图玻尔轨道 “电子云”是对电子几率分布的一种形象化的说法，并不意味着电子真的象一堆云一样飘荡在这空间中，电子的电量依然集中在电子上。第109页，共149页，编辑于2022年，星期一 从德布罗意的假设，到形成完整的波动理论-量子力学。由此理论出发，得出的结论与实验事实完全符合，证明了量子力学的正确性。该理论已广泛的应用于微观领域的物质规律的研究。到此为止，我们引入了三个量子数 来描述电子的状态。其不同组合对应不同的量子态（即不同的波函数）。第110页，共149页，编辑于2022
45、年，星期一5 电子的自旋1925年，乌伦贝克和高斯密特提出电子自旋假说。根据量子力学的中的轨道角动量的量子化条件，电子的自旋角动量的量子化条件应有相同的形式。故电子的自旋角动量也为自旋角动量在外场方向的投影称为自旋磁量子数。称为自旋量子数。（由碱金属谱线的超精细结构引入）第111页，共149页，编辑于2022年，星期一第112页，共149页，编辑于2022年，星期一乌伦贝克和高斯密特第113页，共149页，编辑于2022年，星期一实验验证第114页，共149页，编辑于2022年，星期一施特恩-盖拉赫实验基态银原子源阑底片痕迹为一条线非均匀磁场两条痕迹引入电子自旋可以解释在非均匀磁场下有两条痕迹
46、。演示无轨道角动量第115页，共149页，编辑于2022年，星期一施特恩获1943年诺贝尔奖第116页，共149页，编辑于2022年，星期一史忒恩第117页，共149页，编辑于2022年，星期一 自旋磁矩和轨道磁矩的相互作用，使原来由 和 所决定的电子能级分裂成靠的很近的两个能级。例如，钠原子的 态的 能级没有分裂。以上的能级都分裂成两个。从 和 的越迁产生双线。态与 态，态之间的越迁实际上产生三重线（另一条是禁戒的）钠的 双线结构示意图 电子自旋是电子固有的一个固有属性。继电子之后，在实验中又发现，中子，质子和其他基本粒子都有自旋。自旋是基本粒子的最基本的特征之一。第118页，共149页，编
47、辑于2022年，星期一6 描述电子状态的四个量子数 氢原子核外电子的状态用四个量子 数（）描写。1 主量子数 决定电子在原子中的能量。2 角量子数4 自旋磁量子数3 磁量子数第119页，共149页，编辑于2022年，星期一 7 多电子原子体系 用量子力学可以证明，多电子原子中的电子仍可用上述的四个量子数 来描写其状态。核外电子在不同壳层的分布：主量子数相同，而角量子数不同的电子，分布在不同的分壳层上：分壳层 1916年柯塞耳提出核外电子壳层的模型：原子中的电子按壳层分布，主壳层与主量子数的对应是主量子数壳层名第120页，共149页，编辑于2022年，星期一 说明 原子内的电子的量子态由 四个量
48、子数来表征。当 一定时，不同的量子态数目为 ；当 一定时，不的量子态数目为 ，当 一定时；不同的量子态数目为 。1 1925年，泡利（W.Pauli)指出，一个原子系统內，不可能有两个或两个以上的电子具要完全相同的量子状态。称为泡利不相容原理（解释）。核外电子在不同壳层的分布，还应遵守下列两条原理：第121页，共149页，编辑于2022年，星期一 在原子的 壳层中，电子可能具有的量子数 是例第122页，共149页，编辑于2022年，星期一 2 能量最小原理：每个电子趋向占有最低的能级，称为能量最小原理。离核越近的壳层，或能级越低的壳层首先被填满。量子力学的计算和实验观察都指出，有的原子中的电子
49、前一主壳层尚未填满，就填入下一壳层（参阅有关专著，此处略）。第123页，共149页，编辑于2022年，星期一第124页，共149页，编辑于2022年，星期一第125页，共149页，编辑于2022年，星期一第126页，共149页，编辑于2022年，星期一第127页，共149页，编辑于2022年，星期一第128页，共149页，编辑于2022年，星期一第129页，共149页，编辑于2022年，星期一第130页，共149页，编辑于2022年，星期一 例 原子内电子的量子态由 四个量子数表征。当 一定时，不同的量子态数目为 ；当 一定时，不同的量子态数目为 ；当 一定时，不同的量子态数目为 。例题例题题
50、题第131页，共149页，编辑于2022年，星期一第132页，共149页，编辑于2022年，星期一Wolfgang Pauli 19001958因提出不相容原理获得1945年Nobel Prize泡利第133页，共149页，编辑于2022年，星期一泡利第134页，共149页，编辑于2022年，星期一门捷列夫第135页，共149页，编辑于2022年，星期一第六节 隧道效应 一 经典力学问题结论 当物体的能量小于壁垒的高度时，物体不可能穿越壁垒。壁垒粒子第136页，共149页，编辑于2022年，星期一二 量子力学问题(势垒贯穿)微观粒子微观粒子处处有存在的几率?第137页，共149页，编辑于202