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1、第15章量子力学基础例题第1页，共29页，编辑于2022年，星期日 波函数及其统计诠释波函数及其统计诠释 量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有直接物理意量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有直接物理意义的义的,具有直接物理意义的是波函数的模的平方，它代表具有直接物理意义的是波函数的模的平方，它代表了粒子出现的概率。了粒子出现的概率。微观粒子的运动状态称为微观粒子的运动状态称为量子态量子态，是用，是用波函数波函数 来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一）就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一）玻恩指
2、出：玻恩指出：德布罗意波或波函数德布罗意波或波函数 不代表实际不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。概率波。第2页，共29页，编辑于2022年，星期日 或或 概率密度概率密度为为波函数是单值的、连续的和有限的。波函数是单值的、连续的和有限的。波函数允许包含一个波函数允许包含一个任意的常数因子。任意的常数因子。归一化条件归一化条件 微观粒子的概率波的波函数是微观粒子的概率波的波函数是 ，那么概率正比于那么概率正比于波函数波函数 和和A (A是常数是常数)描述了同一个量子描述了同一个量子态，对于空间任意两点态，对于空间任意两点 和
3、和 有有第3页，共29页，编辑于2022年，星期日 例例1:已知描述粒子的归一化波函数为已知描述粒子的归一化波函数为(t,x,y,z)，求在，求在t时刻、在时刻、在x到到x+dx的无限大薄层内发现粒子的概率。的无限大薄层内发现粒子的概率。解解:体积元内的概率为体积元内的概率为 该薄层中发现粒子的概率该薄层中发现粒子的概率 例例2:用电子束进行双缝衍射实验，先将狭缝用电子束进行双缝衍射实验，先将狭缝B遮盖，电子穿过遮盖，电子穿过狭缝狭缝A到达屏上任意一点到达屏上任意一点P的状态为的状态为 1，后将狭缝，后将狭缝A遮盖，电子穿遮盖，电子穿过狭缝过狭缝B到达屏上任意一点的到达屏上任意一点的P状态为状
4、态为 2。求将两狭缝打开，电子同。求将两狭缝打开，电子同时穿过时穿过A和和B两个狭缝到达屏上点两个狭缝到达屏上点P的概率密度。的概率密度。解解:由线性叠加，得由线性叠加，得 屏上点屏上点P发现电子的概率密度为发现电子的概率密度为 第4页，共29页，编辑于2022年，星期日 只有一些只有一些特定的特定的E 值值才能使定态薛定谔方才能使定态薛定谔方程的解满足波函数的物理条件程的解满足波函数的物理条件 即即单值单值 有限有限 连续连续 归一归一特定的特定的E值称为值称为能量本征值能量本征值各各E值值所对应的所对应的 叫叫能量本征函数能量本征函数故该方程又称为：故该方程又称为：能量本征值方程能量本征值
5、方程定态定态:能量取确定值的状态能量取确定值的状态定态波函数定态波函数:第5页，共29页，编辑于2022年，星期日 例例3 3：求描述自由粒子的波函数：求描述自由粒子的波函数解：解：因为因为U=0所以薛定谔方程为所以薛定谔方程为一维定态薛定谔方程：一维定态薛定谔方程：第6页，共29页，编辑于2022年，星期日得解为得解为 与前面得到的自由粒子的波函数相同与前面得到的自由粒子的波函数相同 E是粒子的能量是粒子的能量 P是粒子的动量是粒子的动量 通过该例可以体会量子力学解题的基本思路通过该例可以体会量子力学解题的基本思路则自由粒子的波函数则自由粒子的波函数第7页，共29页，编辑于2022年，星期日
6、定态薛定谔方程定态薛定谔方程 因势场只是坐标的函数，所以有因势场只是坐标的函数，所以有 将上式代入薛定谔方程，得将上式代入薛定谔方程，得 由于时间和坐标是独立变量，上式可分成两个方程。由于时间和坐标是独立变量，上式可分成两个方程。方程方程1:1:其解为其解为方程方程2:2:定态薛定谔方程定态薛定谔方程 特解特解为为概率密度分布为概率密度分布为 第8页，共29页，编辑于2022年，星期日一维势阱和势垒问题一维势阱和势垒问题 一、一维无限深方势阱一、一维无限深方势阱 对于一维无限深方势阱有对于一维无限深方势阱有 0aU(x)势阱内势阱内U(x)=0，哈密顿算符为，哈密顿算符为定态薛定谔方程为定态薛
7、定谔方程为 令令 薛定谔方程的解为薛定谔方程的解为第9页，共29页，编辑于2022年，星期日根据根据 ，可以确定，可以确定=0或或m，m=1,2,3,。于是上式改写为于是上式改写为根据根据，得，得ka=n，n=1,2,3,因为当因为当n=0时，必定时，必定k=0，定态薛定谔方程应有，定态薛定谔方程应有 解得解得(x)C x+D 所以所以由此式知：一维无限深方势阱的能谱是分立谱由此式知：一维无限深方势阱的能谱是分立谱,这个这个分立的分立的能谱能谱就是就是量子化了的能级量子化了的能级。基态的能量为基态的能量为 零点能零点能 第10页，共29页，编辑于2022年，星期日与能量本征值与能量本征值En相
8、对应的本征函数相对应的本征函数 n(x)为为 利用归一化条件利用归一化条件，得，得 归一化波函数为归一化波函数为 一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度稳定的驻波能级稳定的驻波能级第11页，共29页，编辑于2022年，星期日二、势垒穿透和隧道效应二、势垒穿透和隧道效应 有限高的势垒有限高的势垒 在在P区和区和S区薛定谔方程的形式为区薛定谔方程的形式为 其中其中 在在Q区粒子应满足下面的方程式区粒子应满足下面的方程式 式中式中 第12页，共29页，编辑于2022年，星期日用分离变量法求解，得用分离变量法求解，得(P区区)(Q区区)(S区区)在
9、在P区区，势垒反势垒反 射系数射系数 在在Q区，区，势垒透势垒透射系数射系数 粒子能够穿透比其动能高的势粒子能够穿透比其动能高的势垒的现象，称为隧道效应垒的现象，称为隧道效应。如图是在隧道效应中波函如图是在隧道效应中波函数分布的示意图。数分布的示意图。隧道效应的应用：隧道效应的应用：扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜(STM)隧道二极管隧道二极管 第13页，共29页，编辑于2022年，星期日1.势函数势函数粒子在粒子在阱内自由阱内自由运动运动不能到阱外不能到阱外薛定谔方程和波函数薛定谔方程和波函数阱外阱外 0阱内阱内 0第14页，共29页，编辑于2022年，星期日2.哈密顿量哈密顿量3.定态薛定谔方
10、程定态薛定谔方程阱外阱外：阱内阱内：0第15页，共29页，编辑于2022年，星期日根据波函数有限的条件根据波函数有限的条件阱外阱外1)阱外阱外4.分区求通解分区求通解第16页，共29页，编辑于2022年，星期日令令2)阱内阱内为了方便将波函数脚标去掉为了方便将波函数脚标去掉将方程写成将方程写成通解通解式中式中 A 和和 B 是待定常数是待定常数第17页，共29页，编辑于2022年，星期日5.由波函数标准条件和边界条件定特解由波函数标准条件和边界条件定特解通解是通解是(1)解的形式解的形式解的形式为解的形式为(2)能量取值能量取值第18页，共29页，编辑于2022年，星期日A已经为零了已经为零了
11、 B不能再为零了不能再为零了即即只能只能 sinka 等于零等于零要求要求能量可能值能量可能值第19页，共29页，编辑于2022年，星期日1)每个可能的值叫能量本征值每个可能的值叫能量本征值 2)束缚态束缚态 粒子能量取值分立粒子能量取值分立(能级概念能级概念)能量量子化能量量子化 3)最低能量不为零最低能量不为零 波粒二象性波粒二象性的必然结果的必然结果 请用不确定关系说明请用不确定关系说明 4)当当n趋于无穷时趋于无穷时 能量趋于连续能量趋于连续 5)通常表达式写为通常表达式写为讨论讨论L-阱宽阱宽第20页，共29页，编辑于2022年，星期日(3)本征函数系本征函数系由归一性质由归一性质
12、定常数定常数 B得得本征函数本征函数第21页，共29页，编辑于2022年，星期日考虑到考虑到振动因子振动因子（驻波解）（驻波解）6.定态波函数定态波函数第22页，共29页，编辑于2022年，星期日7.概率密度概率密度第23页，共29页，编辑于2022年，星期日小结：本征能量和本征函数的可能取值小结：本征能量和本征函数的可能取值第24页，共29页，编辑于2022年，星期日一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度oaao第25页，共29页，编辑于2022年，星期日时，时，量子量子经典经典玻尔对应原理玻尔对应原理|2n|an很大很大En0第26页，共29页，编
13、辑于2022年，星期日势垒穿透和隧道效应势垒穿透和隧道效应 有限高的势垒有限高的势垒 在在P区和区和S区薛定谔方程的形式为区薛定谔方程的形式为 其中其中 在在Q区粒子应满足下面的方程式区粒子应满足下面的方程式 式中式中 第27页，共29页，编辑于2022年，星期日用分离变量法求解，得用分离变量法求解，得(P区区)(Q区区)(S区区)在在P区区，势垒反势垒反 射系数射系数 在在Q区，区，势垒透势垒透射系数射系数 粒子能够穿透比其动能高的粒子能够穿透比其动能高的势垒的现象，称为隧道效应势垒的现象，称为隧道效应。如图是在隧道效应中波函数如图是在隧道效应中波函数分布的示意图。分布的示意图。隧道效应的应用：隧道效应的应用：扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜(STM)隧道二极管隧道二极管 第28页，共29页，编辑于2022年，星期日穿透系数穿透系数穿透系数会下降穿透系数会下降6个数量级以上个数量级以上当当势垒宽度势垒宽度 a 约约50nm 以上时以上时此时量子概念过渡到经典此时量子概念过渡到经典第29页，共29页，编辑于2022年，星期日