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1、第第1章医学高等数学章医学高等数学第1页，共121页，编辑于2022年，星期一 在某一变化过程中始终保持相对静止在某一变化过程中始终保持相对静止状态的量称为常量；时时处于变化着的量状态的量称为常量；时时处于变化着的量成为变量。前者记为成为变量。前者记为a,b,ca,b,c等，后者记等，后者记为为x,y,tx,y,t等。等。1.11.1函数函数1.1.11.1.1函数的概念函数的概念一、常量与变量一、常量与变量第2页，共121页，编辑于2022年，星期一 设在某个变化过程中存在两个变量设在某个变化过程中存在两个变量x,y,x,y,若对于若对于某一非空数集中的每一个某一非空数集中的每一个x x值值
2、,按照某一确定的关系按照某一确定的关系f f都有唯一一个实数都有唯一一个实数y y与之对应与之对应,则称变量则称变量y y是变量是变量x x的函的函数数,记为记为 二、函数的概念二、函数的概念 定义定义11定义域定义域 f(D)称为值域称为值域 函数图形函数图形:自变量自变量因变量因变量第3页，共121页，编辑于2022年，星期一二是在定义域范围内二是在定义域范围内,变量变量x x与与 y y有确定有确定的对应关系的对应关系,这两个要素决定值域这两个要素决定值域R R。理解：理解：函数的定义有两个要素：函数的定义有两个要素：一是自变量一是自变量x x必须有明确的定义域必须有明确的定义域D D；
3、如果两个函数相等如果两个函数相等,则这两个要素必须完全相则这两个要素必须完全相同。同。思考：两个思考：两个函数函数是否相等？是否相等？第4页，共121页，编辑于2022年，星期一例例1 1 求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：解：解：即即因此因此f(x)f(x)的定义域为的定义域为:约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有定义域是自变量所能取的使算式有(实际实际)意义意义的一切实数值的一切实数值.第5页，共121页，编辑于2022年，星期一例例3 3 已知函数已知函数 求求 。解：解：令令x+1=tx+1=t，则，则x=t-1x=t-1，将其代入原式，将其代入原式，即即得得例例2 2 已知
4、函数已知函数 ,求求 解：解：第6页，共121页，编辑于2022年，星期一邻域邻域:所谓是指如果所谓是指如果x x0 0是实数轴上一点，是实数轴上一点，为正实数，则开区间为正实数，则开区间-x-x0 0+称为点称为点x x0 0的邻域，记为的邻域，记为第7页，共121页，编辑于2022年，星期一 单调增加函数和单调减少函数统称为单单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数。调函数。1.1.2 1.1.2 函数的特性函数的特性一、单调性一、单调性 设函数设函数f(x)f(x)的定义于为的定义于为D D，如果在，如果在D D 中某中某一个子区间一个子区间I I中任意取两个值中任意取两个值x x1 1
5、和和x x2 2，当，当x x1 1xx2 2时，有时，有f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2)，则称函数在区间则称函数在区间I I上是单调增加（或单调减少）上是单调增加（或单调减少）的。的。第8页，共121页，编辑于2022年，星期一 单调增加函数对应的曲线随自变量单调增加函数对应的曲线随自变量x x的的逐渐增大而上升；单调减少函数对应的逐渐增大而上升；单调减少函数对应的曲线随自变量曲线随自变量x x逐渐增加而下降。逐渐增加而下降。单调函数图像的特点是：单调函数图像的特点是：第9页，共121页，编辑于2022年，星期一 设函数设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为D,D,如果
6、对如果对D D内任意内任意一点一点x(-xD),x(-xD),都满足都满足f(x)=f(-x),f(x)=f(-x),则称函数则称函数f(x)f(x)在在D D内是偶函数内是偶函数;若函数若函数f(x)f(x)对定义域对定义域D D内内任意一点任意一点x x，都满足，都满足f(x)=-f(x),f(x)=-f(x),则称函数在则称函数在D D内是奇函数。内是奇函数。二、奇偶性二、奇偶性 函数函数y=xy=x2 2是在其定义域是在其定义域(-,+)(-,+)上是偶上是偶函数函数;函数函数y=sinxy=sinx是在其定义域是在其定义域(-,+)(-,+)是是奇函数奇函数;函数函数y=sinx+c
7、osxy=sinx+cosx在其定义域在其定义域(-(-,+),+)上非奇非偶上非奇非偶.第10页，共121页，编辑于2022年，星期一偶函数偶函数yxox-x奇函数奇函数yxox-x偶函数的图像是关偶函数的图像是关于于y y轴对称轴对称奇函数的图像是关奇函数的图像是关于原点对称于原点对称第11页，共121页，编辑于2022年，星期一 设函数设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为D,D,如果存在一个如果存在一个正数正数M,M,使得对于使得对于D D中某一个子区间中某一个子区间I I内任意内任意一点一点x,x,总有总有|f(x)|M(|f(x)|M(即即-Mf(x)M),-Mf(x)M),则
8、则称函数在称函数在I I上是有界的，否则是无界的。上是有界的，否则是无界的。三、有界性三、有界性oyxM-My=f(x)I有界有界第12页，共121页，编辑于2022年，星期一(2)(2)有界与否是和有界与否是和I I有关的有关的.(1)(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的当一个函数有界时，它的界是不唯一的.注意注意:如如sinx sinx、cosxcosx对区间对区间(-,+)(-,+)上任上任意一点意一点x,x,存在存在M=1,M=1,使得使得所以它们在区间所以它们在区间(-,+)(-,+)上都是有界函数。上都是有界函数。lnx lnx在区间在区间(0,+)(0,+)上为无界函数上为无
9、界函数,因为因为找不到那样一个正数找不到那样一个正数M,M,使使 成立。成立。第13页，共121页，编辑于2022年，星期一 如如f(x)=1/xf(x)=1/x在开区间在开区间(0(0，1)1)上是无上是无界的界的,但在闭区间但在闭区间1,21,2上却是有界函数上却是有界函数,因为在此因为在此区间上能找到区间上能找到M1,M1,使当使当x1,2x1,2时时,成立。成立。设函数的定义域为设函数的定义域为D,D,如果存在一个非零常数如果存在一个非零常数T,T,使得对于任意一点使得对于任意一点xD,f(x+T)=f(x)xD,f(x+T)=f(x)恒成立恒成立,则称则称f(x)f(x)在在D D上
10、为周期函数上为周期函数,T,T称为的周期。称为的周期。通常所说的周期是指最小正周期。通常所说的周期是指最小正周期。四、周期性四、周期性第14页，共121页，编辑于2022年，星期一 周期函数的图像特点是在这函数的定周期函数的图像特点是在这函数的定义域内义域内,每个长度为周期每个长度为周期T T的区间上的区间上,函数所函数所对应的曲线有相同的形状。对应的曲线有相同的形状。xyT/2-T/23T/2-3T/2o o第15页，共121页，编辑于2022年，星期一1.1.3 1.1.3 初等函数初等函数一、基本初等函数一、基本初等函数 基本初等函数通常是指幂函数、指数函数、对数基本初等函数通常是指幂函
11、数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。函数、三角函数和反三角函数。(1)(1)幂函数幂函数是常数是常数,取值取值不同函数的定不同函数的定义域不同义域不同y=xy=xy=1/xy=1/xy=xy=x2 2第16页，共121页，编辑于2022年，星期一(2)(2)指数函数指数函数0a10a10a10a1a11 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 41 1 1 1-1-1-1-1第17页，共121页，编辑于2022年，星期一(3)(3)对数函数对数函数a1a10a10a 0当 x=0当 x 0 在定义域内不同的区间上在定义域内不同的区间上,由不同解析式所表由不同解析式所表示的函
12、数称为分段函数。示的函数称为分段函数。1.1.4 1.1.4 分段函数和反函数分段函数和反函数一、分段函数一、分段函数 分段函数通常不是初等函数分段函数通常不是初等函数,不过不过,在不同段内在不同段内的表达式的表达式,通常由初等函数表示。通常由初等函数表示。第29页，共121页，编辑于2022年，星期一二、反函数二、反函数 在一般情况下，如果在一般情况下，如果y=f(x)y=f(x)在某个区间在某个区间上有定义且是单调函数，就能保证它的反函上有定义且是单调函数，就能保证它的反函数数 存在；存在；【定义定义4 4】设函数设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为D,D,值域为值域为R,R,若对于
13、任意一个若对于任意一个yRyR，有唯一一个，有唯一一个xDxD，使使f(x)=yf(x)=y成立成立,则则x x与与y y的对应关系在的对应关系在R R上定义上定义了一个新函数了一个新函数,称为函数称为函数y=f(x)y=f(x)的反函数的反函数,记记为为。若把函数若把函数y=f(x)y=f(x)称为直接函数称为直接函数,则直接函则直接函数的定义域数的定义域(或值域或值域)恰好是它的反函数恰好是它的反函数 的值域的值域(或定义域或定义域)。第30页，共121页，编辑于2022年，星期一 一般习惯上自变量用一般习惯上自变量用x x表示表示,因变量用因变量用y y来表示来表示,这时这时y=f(x)
14、y=f(x)的反函数的反函数 就可以写成就可以写成 。例如例如,在定义域在定义域(-(-,+),+),上是单调函数上是单调函数,它的值域是它的值域是(0,+),(0,+),所以它的反函数所以它的反函数 存在存在,其定义域是其定义域是(0,+),(0,+),即即y(0,+),y(0,+),值域值域是是(-,+)(-,+)。如函数如函数 的反函数一般不写成的反函数一般不写成 ,习惯上写成习惯上写成 .第31页，共121页，编辑于2022年，星期一 函数函数与其反函数与其反函数的图形关于直线的图形关于直线对称对称 .例如例如 ,与对数函数与对数函数互为反函数互为反函数,它们都单调递增它们都单调递增,
15、其图形关于直线其图形关于直线对称对称.指数函数指数函数 y=f(x)y=f(x)的图像与其反函数的图像与其反函数 的图的图像相同像相同,但与但与 不同。不同。第32页，共121页，编辑于2022年，星期一内容小结内容小结定义域定义域对应规律对应规律2.2.函数的特性函数的特性单调性单调性,奇偶性奇偶性,有有界性界性,周期性周期性3.3.初等函数的结构初等函数的结构作业作业:1.1.函数的定义及函数的二要素函数的定义及函数的二要素第33页，共121页，编辑于2022年，星期一且备用题备用题证明证证:令则由消去得时其中a,b,c 为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设第34页，共121页，编辑于20
16、22年，星期一1.2 1.2 函数的极限函数的极限引例引例:设有半径为设有半径为r r的圆的圆,逼近圆面积逼近圆面积S.S.如图所示如图所示,可知可知当当n n无限增大时无限增大时,无限逼近无限逼近 S.S.用其内接正用其内接正n n边形的面积边形的面积第35页，共121页，编辑于2022年，星期一刘徽刘徽(约约约约225 295 295年年)我国古代魏末晋初的杰出数学家我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的他撰写的重重 差差对对九章算术九章算术中的方法和公式作了全面的评中的方法和公式作了全面的评 注注,指出并纠正了其中的错误指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学在数学方法和数学 理论上作出
17、了杰出的贡献理论上作出了杰出的贡献.他的他的“割圆术割圆术”求圆周率求圆周率“割之弥细割之弥细,所失弥小所失弥小,割之又割割之又割,以至于不可割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣”它包含了它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知,用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要的重要极限思想极限思想.的方法的方法:第36页，共121页，编辑于2022年，星期一数列极限数列极限 当自变量按自然数当自变量按自然数1,2,3,1,2,3,依次顺依次顺序增大时序增大时,函数值按一定的法则排列的函数值按一定的法则排列的一列数一列数 称为数列称为数列,记为记为 。例例4 4 以下例子均为数列以下例子
18、均为数列:1.2.1 1.2.1 数列极限数列极限第37页，共121页，编辑于2022年，星期一注意：注意：1.1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.2.数列是整数函数数列是整数函数第38页，共121页，编辑于2022年，星期一 对于数列对于数列 ,如果当如果当n n无限增大时无限增大时,数数列列 无限接近某一个确定常数无限接近某一个确定常数A,A,则称则称A A为数为数列列 的极限的极限,或称数列或称数列 收敛于收敛于A,A,记为记为 ,否则称数列发散。否则称数列发散。【定义定义5 5】趋势不定趋势不定收收敛敛发散发散第
19、39页，共121页，编辑于2022年，星期一又如又如,收收 敛敛第40页，共121页，编辑于2022年，星期一解：给定数列，即解：给定数列，即2 2，4 4，8 8，当时，的数值无限增大，即它不趋向于当时，的数值无限增大，即它不趋向于一个确定的常数，所以数列是发散的。一个确定的常数，所以数列是发散的。例例5 5 讨论数列的极限。讨论数列的极限。第41页，共121页，编辑于2022年，星期一1.2.2 1.2.2 函数极限函数极限一、一、时时,函数函数f(x)f(x)的极限的极限自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式:对对 ,注注:Y=0:Y=0为为 的水平渐近线的水平渐近线.引例引例
20、第42页，共121页，编辑于2022年，星期一 如果当如果当x x绝对值无限增大绝对值无限增大(记为记为 )时时,所对应的函数所对应的函数f(x)f(x)值无限趋近于某一值无限趋近于某一个确定的常数个确定的常数A A，则称，则称A A为函数的极限，为函数的极限，记为记为或或直线直线y=Ay=A为曲线为曲线的水平渐近线的水平渐近线几何意义几何意义:【定义定义6 6】注意：注意：第43页，共121页，编辑于2022年，星期一如如有水平渐近线有水平渐近线y=y=/2/2有水平渐近线有水平渐近线y=y=/2/2第44页，共121页，编辑于2022年，星期一如如第45页，共121页，编辑于2022年，星
21、期一又如：又如：都有水平渐近线都有水平渐近线f(x)f(x)及及g(x)g(x)都有水平渐近线都有水平渐近线再如，再如，第46页，共121页，编辑于2022年，星期一二、二、时时,函数函数f(x)f(x)的极限的极限第47页，共121页，编辑于2022年，星期一 【定义定义7 7】设函数在点设函数在点x x0 0的某个邻域的某个邻域(x(x0 0点可点可以没有定义以没有定义)内有定义，如果当自变量内有定义，如果当自变量x x无无限接近点限接近点x x0 0(但但 )时时,函数函数f(x)f(x)值无限值无限接近某一个确定的常数接近某一个确定的常数A,A,则称则称A A为函数的极为函数的极限限,
22、记为记为或或 如果仅从如果仅从x x0 0点的左侧趋于点的左侧趋于x x0 0,记记 ,这时的极限称为这时的极限称为f(x)f(x)在点在点x x0 0的左极限的左极限,记为记为 类似可以定义右极限类似可以定义右极限,记为记为 。第48页，共121页，编辑于2022年，星期一 当当 时时,函数函数f(x)f(x)极限存在的充分极限存在的充分必要条件是函数必要条件是函数f(x)f(x)的左右极限同时存在的左右极限同时存在且相等且相等.即即 .如果函数如果函数f(x)f(x)的左右极限至少有一个不的左右极限至少有一个不存在或这两个极限都存在但不相等存在或这两个极限都存在但不相等,这时函这时函数数f
23、(x)f(x)的极限就不存在。的极限就不存在。定理定理 第49页，共121页，编辑于2022年，星期一左极限左极限:右极限右极限:定理定理 小结：小结：第50页，共121页，编辑于2022年，星期一例例6 6 设函数设函数试讨论试讨论f(x)f(x)在点在点0 0的极限。的极限。解：解：所以函数所以函数f(x)f(x)在点在点0 0极限不存在。极限不存在。第51页，共121页，编辑于2022年，星期一思考与练习思考与练习:1.1.若极限若极限存在存在,作业作业:是否一定有是否一定有？2.2.设函数设函数且且存在存在,则则第52页，共121页，编辑于2022年，星期一一、无穷小量的概念一、无穷小
24、量的概念1.2.3 1.2.3 无穷小量无穷小量 定义定义88如果如果 ,则称则称f(x)f(x)为为 (或或 )时的无穷小量时的无穷小量,简称无穷小简称无穷小,此此时也称函数时也称函数f(x)f(x)收敛于收敛于0 0。言简之言简之,以零为极限的函数称为无穷小量以零为极限的函数称为无穷小量.如如 时时,都是无穷小都是无穷小;当当 时时,是无穷小是无穷小;当当 时时,是无穷小是无穷小.第53页，共121页，编辑于2022年，星期一注意：注意：1)1)无无穷穷小小量量是是一一个个变变量量,而而不不是是一一个个数数.但但0 0可以作为无穷小的唯一一个常数。可以作为无穷小的唯一一个常数。3)3)此此
25、概概念念对对数数列列极极限限也也适适用用,若若 ,称数列称数列 为为 时的无穷小。时的无穷小。2)2)无穷小量与自变量变化过程有关。无穷小量与自变量变化过程有关。第54页，共121页，编辑于2022年，星期一二、无穷小量定理二、无穷小量定理 【定理定理2 2】有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量.【定理定理3 3】有界函数与无穷小量乘积仍为无穷小量有界函数与无穷小量乘积仍为无穷小量.如如说明说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小 !【定理定理1 1】在自变量的同一变化过程在自变量的同一变化过程 （或（或 ）中）中,的充分必要条件是的充
26、分必要条件是 ,其中其中 .第55页，共121页，编辑于2022年，星期一当当 再如再如:,函数函数 时为无穷小时为无穷小;【推论推论1 1】常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。【推论推论2 2】无穷小量与无穷小量的乘积仍为无穷小量。无穷小量与无穷小量的乘积仍为无穷小量。例如例如:例如例如:第56页，共121页，编辑于2022年，星期一三、无穷大量三、无穷大量【定义定义9 9】如果当如果当 （或（或 ）时）时,无限增大无限增大(即即 ）,则称则称f(x)f(x)为为 (或或 )时的无穷大量。时的无穷大量。类似可以定义类似可以定义:和和如如 时时,1/x,1/x、
27、1/sinx 1/sinx 都是无穷大量；都是无穷大量；时时,lnx,lnx 是无穷大量；是无穷大量；时时,tanx,tanx 是无穷大量；是无穷大量；第57页，共121页，编辑于2022年，星期一无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系若若若若 为无穷大为无穷大,为无穷小为无穷小;为无穷小为无穷小,且且则则为无穷大为无穷大.则则在在 (或或 时时),),注意：注意：(1)(1)无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;(2)(2)无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界但是无界变量未必是无穷大变量未必是无穷大.第58页，共121页，编辑于2022年
28、，星期一内容小结内容小结1.1.无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大的定义;2.2.无穷小定理无穷小定理;3.3.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系.第59页，共121页，编辑于2022年，星期一一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则1.2.4 1.2.4 极限的运算极限的运算则有则有设设【定理定理4 4】其中其中 B B00第60页，共121页，编辑于2022年，星期一证明证明:由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得其中其中由定理由定理1 1可得可得:第61页，共121页，编辑于2022年，星期一【推论推论3 3】(C(C为常数为常数)【推论推论4 4】(n(n为正整数为正整数)例
29、例:设设n n次多项式次多项式则则例例7 7 求求 解解:第62页，共121页，编辑于2022年，星期一【推论推论3 3】(C(C为常数为常数)【推论推论4 4】(n(n为正整数为正整数)1.1.设设n n次多项式次多项式则则结论结论:第63页，共121页，编辑于2022年，星期一例例8 8 求求 解解:第64页，共121页，编辑于2022年，星期一例例9 9 求求 解解:由无穷小量和无穷大量之间的倒由无穷小量和无穷大量之间的倒数关系数关系,得得第65页，共121页，编辑于2022年，星期一一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数为非负常数)第66页，共121页，编辑于2022年，星期一例例
30、10 10 求求 解解:第67页，共121页，编辑于2022年，星期一内容小结内容小结1.1.极限运算法则极限运算法则(1)(1)无穷小运算法则无穷小运算法则(2)(2)极限四则运算法则极限四则运算法则注意使用条件注意使用条件2.2.求分式函数极限求法求分式函数极限求法时时,用代入法用代入法(分母不为分母不为0)0)时时,对对型型,约去公因子约去公因子时时,分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂第68页，共121页，编辑于2022年，星期一思考及练习思考及练习1.1.是否存在是否存在?为什么为什么?答答:不存在不存在 .否则由否则由利用极限四则运算法则可知利用极限四则运算法则可知存在存在 ,
31、与已知条件与已知条件矛盾矛盾.解解:原式原式2.2.问问第69页，共121页，编辑于2022年，星期一3.3.求求解法解法 1 1 原式原式 =解法解法 2 2 令令则则原式原式 =第70页，共121页，编辑于2022年，星期一4.4.试确定常数试确定常数a a使使解解 :令令则则故故因此因此第71页，共121页，编辑于2022年，星期一二、两个重要极限二、两个重要极限 【定理定理5 5】（两边夹定理）（两边夹定理）如果函数如果函数 满足下列条件：满足下列条件：(1)(1)自变量自变量x x在点在点x x0 0的某个邻域（可以不考的某个邻域（可以不考虑点虑点x x0 0）内）内,不等式不等式
32、成立。成立。(2)(2)。则函数则函数f(x)f(x)的极限存在且的极限存在且 。第72页，共121页，编辑于2022年，星期一例例11 11 证证明明 因为对任意实数因为对任意实数,都有都有成立成立又因又因 时，时，均为无穷小，均为无穷小，由定理由定理5 5和定理和定理1 1知，知，证证:第73页，共121页，编辑于2022年，星期一证明证明圆扇形圆扇形AOB的面积的面积即即AOB 的面积的面积AOD的面积的面积第74页，共121页，编辑于2022年，星期一当当当当x0 x0,x0,x0,x0,所以所以例例12 12 求求解解:例例13 13 求求解解:原式原式=第75页，共121页，编辑于
33、2022年，星期一例例14 14 求练习：求练习：求解解:令令则则因此因此原式原式解：解：令令则则第76页，共121页，编辑于2022年，星期一2.2.当当n n逐渐增大时，数列的变化趋势见表逐渐增大时，数列的变化趋势见表1-41-4。从表从表1-41-4看出，看出，当当n n逐渐增大时，逐渐增大时，也逐渐增大，当也逐渐增大，当 时，时，即即,当当n n为任何实数时，为任何实数时，结论仍成立结论仍成立,即即第77页，共121页，编辑于2022年，星期一则则令令即即例例15 15 求求解解:例例16 16 求求解解:第78页，共121页，编辑于2022年，星期一2.2.两个重要极限两个重要极限或
34、或注注:代表相同的表达式代表相同的表达式内容小结内容小结1.1.数列极限存在的夹逼准则数列极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则第79页，共121页，编辑于2022年，星期一思考与练习思考与练习填空题填空题(1(14)4)作业作业:4 (4),(5)第80页，共121页，编辑于2022年，星期一1.2.5 1.2.5 无穷小量的比较无穷小量的比较都是无穷小都是无穷小,引例引例:但但 不存在不存在,不可比不可比.极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.而而 第81页，共121页，编辑于2022年，星期一【定义定义1010】中中,设设
35、在自变量同一变化过程在自变量同一变化过程为无穷小为无穷小,且且若若则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小,记作记作若若则称则称(x)(x)是比是比(x)(x)低阶的无穷小低阶的无穷小;若若,则称则称(x)(x)与与(x)(x)的同阶无的同阶无穷小穷小;特别当特别当c=1c=1时时,称称(x)(x)与与(x)(x)是等价无穷小是等价无穷小,记记作作第82页，共121页，编辑于2022年，星期一例如，例如，即即即即当当x0 x0时时,x,x2 2是比是比3x3x的高阶无穷小的高阶无穷小.当当x0 x0时时,sinx,sinx与与3x3x是同阶无穷小是同阶无穷小.当当x0 x0时时,sinx,
36、sinx是比是比x x2 2的较低阶无穷小的较低阶无穷小.当当x0 x0时时,sinx,sinx与与x x是等价无穷小是等价无穷小.即即即即第83页，共121页，编辑于2022年，星期一例如例如,当当时时故故时时,是关于是关于x x的高阶无穷小的高阶无穷小,且且又如又如,当当x3x3时时,x,x2 2-9-9与与x-3x-3是是同阶无穷小同阶无穷小.第84页，共121页，编辑于2022年，星期一内容小结内容小结1.1.无穷小的比较无穷小的比较设设,对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小,且且 是是 的的高阶高阶无穷小无穷小 是是 的的低阶低阶无穷小无穷小 是是 的的同阶同
37、阶无穷小无穷小 是是 的的等价等价无穷小无穷小 是是 的的 k k 阶阶无穷小无穷小第85页，共121页，编辑于2022年，星期一作业作业:常用等价无穷小常用等价无穷小:第86页，共121页，编辑于2022年，星期一1.3 1.3 函数的连续性函数的连续性1.3.1 1.3.1 函数的连续性函数的连续性 设函数设函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义,当自变量由点当自变量由点x x0 0变到另一点变到另一点x x时时,称称x-x-x x0 0值为自值为自变量的增量变量的增量,记为记为x=x-xx=x-x0 0,相应地相应地f(xf(x0 0+x)-
38、f(x+x)-f(x0 0)值为函数的增量值为函数的增量,记为记为y=f(x)-f(xy=f(x)-f(x0 0).).【增量定义增量定义】因为因为,故有故有第87页，共121页，编辑于2022年，星期一第88页，共121页，编辑于2022年，星期一【定义定义1111】设函数设函数y=f(x)y=f(x)在在x x0 0点的某一邻域内有定义点的某一邻域内有定义,在在x x0 0点给自变量以增量点给自变量以增量x=x-xx=x-x0 0,相应地函数相应地函数的增量的增量y=f(x)-f(xy=f(x)-f(x0 0)=f(x)=f(x0 0+x)-f(x+x)-f(x0 0),),如果如果 ,则
39、称函数则称函数 y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0连续连续,并称点并称点x x0 0为函数为函数f(x)f(x)的连续点的连续点.第89页，共121页，编辑于2022年，星期一【定义定义1212】设函数设函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0的某一邻域内有定的某一邻域内有定义义,若当若当 时时,函数函数f(x)f(x)的极限存在且等的极限存在且等于于f(xf(x0 0),),即即 则称函数则称函数 y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0连续连续.即函数即函数在点在点(1)(1)在点在点即即(2)(2)极限极限(3)(3)连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存
40、在 ;有定义有定义,存在存在 ;。由函数在一点由函数在一点x x0 0处的连续定义及处的连续定义及 ,有有第90页，共121页，编辑于2022年，星期一例例17 17 验证函数验证函数y=sinxy=sinx在区间在区间 上是连续上是连续在区间在区间 上任取一点上任取一点x,x,当当x x有增量，有增量，证：证：对应的函数增量为：对应的函数增量为：当时，当时，是无穷小量是无穷小量,且且 为有界函数为有界函数,根据定理可知根据定理可知仍为无穷小量仍为无穷小量,从而有从而有,所以函数所以函数y=sinxy=sinx在区间在区间 上连续上连续同样可证同样可证:函数函数在在内连续内连续.第91页，共1
41、21页，编辑于2022年，星期一【定义定义1313】设函数设函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0的左邻域内的左邻域内(x(x0 0+,x,x0 0内有定义内有定义,若若 ,则称函数则称函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0处左连续。处左连续。同理可定义函数同理可定义函数f(x)f(x)在在x x0 0点右连续，即点右连续，即 函数函数f(x)f(x)在在x x点连续的充分必要条件是它在点连续的充分必要条件是它在x x点即左连续又右连续，即点即左连续又右连续，即第92页，共121页，编辑于2022年，星期一如例如例7 7中中,函数函数 在在x=0 x=0点有定义点有定义,但
42、但 所以所以 不存在。不存在。左连续。如图所示。左连续。如图所示。因此因此f(x)f(x)在在0 0点不连续点不连续,但但第93页，共121页，编辑于2022年，星期一若若f(x)f(x)在区间（在区间（a,ba,b）上每一点都连续）上每一点都连续,则称则称 f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上连续上连续;如果如果f(x)f(x)在在x=ax=a点右连续点右连续,而而在在x=bx=b点左连续点左连续,则称则称f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上连续上连续例如例如,在在上连续上连续,即即:(有理整函数有理整函数)又如又如,有理分式函数有理分式函数义域内连续。义域内连续。在其定在其定只
43、要只要都有都有第94页，共121页，编辑于2022年，星期一1.3.2 1.3.2 间断点间断点 如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0处不连续处不连续,则称则称x x0 0点为点为种情况之一时种情况之一时,点点x x0 0为函数为函数f(x)f(x)的间断点的间断点:(1)(1)函数函数f(x)f(x)在在无定义无定义 ;在在在在(2)(2)函数函数f(x)f(x)不存在不存在;(3)(3)函数函数f(x)f(x)存在存在,但但虽有定义虽有定义,但但虽有定义虽有定义,且且f(x)f(x)的间断点或不连续点。的间断点或不连续点。根据定义根据定义1212可知可知,当函数当函
44、数f(x)f(x)在点在点x x0 0有下列三有下列三第95页，共121页，编辑于2022年，星期一 例例18 18 函数函数 在在x=1x=1点无意义点无意义,所以所以x=1x=1是此函数的间断点是此函数的间断点,见图见图.第96页，共121页，编辑于2022年，星期一如例如例7 7中中,函数函数 在在x=0 x=0点有定义点有定义,但但 所以所以 不存在不存在,因此因此x=0 x=0是该函数的间断点是该函数的间断点,如图所示。如图所示。第97页，共121页，编辑于2022年，星期一例例19 19 函数函数 在在x=0 x=0处有定义处有定义,但但,所以所以x=0 x=0是是f(x)f(x)
45、的间断点的间断点,所以所以x=0 x=0是是f(x)f(x)的间断点的间断点,如图所示。如图所示。第98页，共121页，编辑于2022年，星期一为其无穷间断点为其无穷间断点 .为其振荡间断点为其振荡间断点 .例如例如:第99页，共121页，编辑于2022年，星期一显然显然为其可去间断点。为其可去间断点。(4)(4)(5)(5)为其跳跃间断点。为其跳跃间断点。第100页，共121页，编辑于2022年，星期一内容小结内容小结左连续左连续右连续右连续在点在点连续的等价形式连续的等价形式2.2.作业：作业：第101页，共121页，编辑于2022年，星期一思考与练习思考与练习1.1.讨论函数讨论函数x=
46、2 x=2 是第二类无穷间断点。是第二类无穷间断点。的间断点。的间断点。2.2.设设时，时，提示提示:为为连续函数。连续函数。答案答案:x=1:x=1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点,第102页，共121页，编辑于2022年，星期一一切基本初等函数在其定义域内都是连续的。一切基本初等函数在其定义域内都是连续的。1.3.3 1.3.3 初等函数的连续性初等函数的连续性一、基本初等函数的连续性一、基本初等函数的连续性二、连续函数的运算二、连续函数的运算【定理定理6 6】设函数设函数f(x)f(x)、g(x)g(x)在点连续在点连续,则则f(x)g(x)f(x)g(x)在点连续；在点连续；f(
47、x).g(x)f(x).g(x)在点连续；在点连续；当当 时时,f(x)/g(x),f(x)/g(x)在点连续。在点连续。例如例如,在在内连续。内连续。在其定义域内连续。在其定义域内连续。第103页，共121页，编辑于2022年，星期一三、复合函数的连续性三、复合函数的连续性 【定理定理7 7】设函数设函数 当当 时极限存在且等时极限存在且等于于 ,即即 ;函数函数y=f(u)y=f(u)在相应点在相应点 连续连续,即即 ,则复合函数则复合函数 当当 时时的极限也存在且等于的极限也存在且等于 ,即即 。【推论推论5 5】设函数设函数 ,当当 时连续时连续,即即,函数函数y=f(u)y=f(u)
48、在相应点在相应点 连续连续,则复合函数则复合函数 当当 时连续时连续,即即:理解：理解：第104页，共121页，编辑于2022年，星期一例例20 20 求极限求极限 。解：解：连续连续,根据定理根据定理7 7有有 函数函数 可看作由可看作由复合而成复合而成,因为因为 ,而而 在相应点在相应点例例21 21 讨论函数讨论函数 的连续性。的连续性。解：解：函数函数 可看作由可看作由 复合而成复合而成,因因为为 在在 上连续上连续,在在 上连续上连续,根据推论根据推论5 5得得 在在 上连续。上连续。第105页，共121页，编辑于2022年，星期一练习练习1:1:求求解解:原式原式练习练习2:2:求
49、求解解:令令则则原式原式说明说明:当当时时,有有第106页，共121页，编辑于2022年，星期一是由连续函数是由连续函数在在上连续上连续 .练习练习4 4：讨论讨论 的连续性的连续性解：解：因此因此复合而成复合而成,练习练习3 3 求求解：解：第107页，共121页，编辑于2022年，星期一 初等函数在其定义区间内是连续的初等函数在其定义区间内是连续的,所谓定所谓定义区间是只包含在定义域内的区间。义区间是只包含在定义域内的区间。四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性例例22 22 求函数求函数 的连续区间的连续区间,并求并求当当 时时,f(x),f(x)的极限。的极限。解：解：续区间就是它的
50、定义区间续区间就是它的定义区间,f(x),f(x)在在(-,-1)(-,-1)及在及在因为因为 是初等函数是初等函数,所以所以f(x)f(x)的连的连(-1,1)(1,+)(-1,1)(1,+)上有定义上有定义,故故f(x)f(x)的连续区间的连续区间为为(-1)(-1,1)(1,+).(-1)(-1,1)(1,+).又因为又因为x=0 x=0为为f(x)f(x)第108页，共121页，编辑于2022年，星期一连续区间内一点连续区间内一点,所以所以 ,即即 函数函数y=f(x)y=f(x)在区间上单值在区间上单值,单调增加单调增加(或单调或单调减少减少)且连续且连续,则其反函数则其反函数 在对