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1、第01章矢量分析(1)第1页，共23页，编辑于2022年，星期日1-8 格林定理格林定理*1-9 矢量场的唯一性定理矢量场的唯一性定理*1-10 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理*1-11 正交曲面坐标系正交曲面坐标系本章习题：本章习题：1-1、1-7、1-20、1-24第2页，共23页，编辑于2022年，星期日1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度 简介矢量的定义、运算等。重点讲解标量与矢量、物简介矢量的定义、运算等。重点讲解标量与矢量、物理场、常矢量与变矢量的异同；梯度、散度和旋度的物理理场、常矢量与变矢量的异同；梯度、散度
2、和旋度的物理概念和数学表示；格林定理和亥姆霍兹定理的涵义；三种概念和数学表示；格林定理和亥姆霍兹定理的涵义；三种常用坐标系的构成，线元、面（积）元和体（积）元以及常用坐标系的构成，线元、面（积）元和体（积）元以及矢量在三种坐标系中的表示。矢量在三种坐标系中的表示。此外，对一些常用的矢量恒等式要记住。此外，对一些常用的矢量恒等式要记住。第3页，共23页，编辑于2022年，星期日1.1 矢量代数矢量代数1.标量和矢量标量和矢量标量标量：一个只用大小描述的物理量。：一个只用大小描述的物理量。矢量的代数表示：矢量的代数表示：矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字：一个既有大小又有方向特
3、性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有：一个矢量可用一条有 方向的线段来表示方向的线段来表示 矢量的几何表示矢量的几何表示矢量的几何表示矢量的几何表示第4页，共23页，编辑于2022年，星期日矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zxy矢量的大小或模矢量的大小或模：矢量的单位矢量矢量的单位矢量：注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。第5页，共23页，编辑于2022年，星期日（1）矢量的加减法）矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量
4、为邻两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线边的平行四边形的对角线,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法矢量的减法矢量的减法 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律结合律交换律交换律第6页，共23页，编辑于2022年，星期日（2）标量乘矢量）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律q矢量矢量 与与 的夹角的夹角第7页，共23页，编辑于2022年，星期日（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）qs
5、inABq矢量矢量 与与 的叉积的叉积用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为若若 ，则，则若若 ，则，则从图示不难看出：矢积所得矢量的方从图示不难看出：矢积所得矢量的方向与向与 和和 成有螺旋关系，积矢量垂成有螺旋关系，积矢量垂直于由直于由 和和 所确定的平面所确定的平面其大小则为由两矢量所确定的平行四边形的面积其大小则为由两矢量所确定的平行四边形的面积第8页，共23页，编辑于2022年，星期日（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积第9页，共23页，编辑于2022年，星期日1.2 三种常用的正交
6、曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。确定。在电磁场与电磁波理论中，在电磁场与电磁波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直直角角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称为为坐标变量坐标变量。第10页，共23页，编辑于2022年
7、，星期日1、直角坐标系、直角坐标系 位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量体积元体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量 点点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）（平面）o x y z0 xx=（平面）（平面）0zz=（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydx第11页，共23页，编辑于2022年，星期日2、圆柱面坐标系、圆柱面坐标系坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量第12页，共23页，编辑于2022年，星期日3、球面坐标
8、系、球面坐标系球面坐标系球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量第13页，共23页，编辑于2022年，星期日4、坐标单位矢量之间的关系、坐标单位矢量之间的关系 直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系oqrz单位圆单位圆 柱坐标系与求坐标系之间柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系qq ofxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐
9、标单位矢量的关系 f第14页，共23页，编辑于2022年，星期日1.3 标量场的梯度标量场的梯度q如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。例如例如：流速场、重力场、电场、磁场等。：流速场、重力场、电场、磁场等。q如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为：在某一时刻，确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对在某一时刻，确定空间区域上
10、的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个应，称在该区域上定义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：第15页，共23页，编辑于2022年，星期日1.1.标量场的等值面标量场的等值面标量场的等值线标量场的等值线(面面)等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；等
11、值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。等值面的特点等值面的特点：意义意义:形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。u=2u=2u=3u=3u=4u=4等值面等值面第16页，共23页，编辑于2022年，星期日2.标量场方向导数标量场方向导数意义意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。概念概念：u(M)沿沿 方向增加；方向增加；u(M)沿沿 方向减小；方向减小；u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。M0M方向导数的概
12、念方向导数的概念 特点特点：方向性导数既与点方向性导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。问题问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？的方向余弦。的方向余弦。式中式中：第17页，共23页，编辑于2022年，星期日梯度的表达式梯度的表达式：圆柱面坐标系圆柱面坐标系 球面坐标系球面坐标系直角面坐标系直角面坐标系 3、标量场的梯度（、标量场的梯度（或或 ）意义意义：描述标量描述标量场在空间某点的最大变化率及其变化最大的方向场在空间某点的最大变化率及其变化最大的方向概念概念：，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向第18页，共
13、23页，编辑于2022年，星期日标量场的梯度是标量场的梯度是矢量场矢量场，它在空间某点的方，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。方向上的投影。梯度的性质：梯度的性质：梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）第19页，共23页，编辑于2022年，星期日 解解 (1)由梯度计算公式，可求
14、得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为 例例1.2.1 设设一一标标量量函函数数 (x,y,z)=x2y2z 描描述述了了空空间间标标量量场。试求：场。试求：(1)该该函函数数 在在点点P(1,1,1)处处的的梯梯度度，以以及及表表示示该该梯梯度度方方向向的的单位矢量；单位矢量；(2)求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量 方方向向的的方方向向导导数数，并并以以点点P(1,1,1)处处的的方方向向导导数数值值与与该该点点的的梯梯度度值值作以比较，得出相应结论。作以比较，得出相应结论。第20页，共23页，编辑于2022年，星期日表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 (2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为方向的方向导数为对于给定的对于给定的P P点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为第21页，共23页，编辑于2022年，星期日而该点的梯度值为而该点的梯度值为 显显然然，梯梯度度 描描述述了了P P点点处处标标量量函函数数 的的最最大大变变化化率率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。第22页，共23页，编辑于2022年，星期日第23页，共23页，编辑于2022年，星期日