第01章矢量分析PPT讲稿.ppt

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1、第01章矢量分析第1页，共67页，编辑于2022年，星期日主要内容n标量场和矢量场的概念（理解）n矢量场的散度、旋度及标量场的梯度（掌握）n矢量分析中的高斯定理及斯托克斯定理（掌握）n亥姆霍兹定理（了解）第2页，共67页，编辑于2022年，星期日本章内容n1.1 标量场和矢量场n1.2 矢量的运算n1.3 矢量的通量、散度 n1.4 高斯定理n1.5 矢量的环流量、旋度 n1.6 斯托克斯定理n1.7 标量场的梯度n1.8 亥姆霍兹定理第3页，共67页，编辑于2022年，星期日1.1标量场和矢量场标量场和矢量场标量标量：仅由数量确定的物理量。仅由数量确定的物理量。矢量：矢量：用数值和方向表示的

2、物理量，常用黑体字母用数值和方向表示的物理量，常用黑体字母 或带箭头的字母表示或带箭头的字母表示。矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线一个矢量可用一条有方向的线 段来表示段来表示1.1.1 1.1.1 标量和矢量标量和矢量矢量的几何表示矢量的几何表示a矢量的大小或模：矢量的大小或模：第4页，共67页，编辑于2022年，星期日矢量的坐标分量表示矢量的坐标分量表示矢量的模：矢量的模：方向余弦：方向余弦：第5页，共67页，编辑于2022年，星期日单位矢量：单位矢量：第6页，共67页，编辑于2022年，星期日1.1.2.1.1.2.场的概念场的概念 场是一个标量或矢量的未知函数，即

3、场中的任一个点都对应一个确定的标量或矢量。场的分类场的分类静态场：场量不随时间发生变化的场。动态场：场量随时间的变化而变化的场。动态场也称为时变场。a.按物理量的性质分：标量场：描述场的物理量是标量。矢量场：描述场的物理量是矢量。b.按场量与时间的关系分：第7页，共67页，编辑于2022年，星期日例如，在直角坐标系下：标量场标量场如温度场、电位场、势场矢量场矢量场如速度场、电场、磁场第8页，共67页，编辑于2022年，星期日1.1.31.1.3、矢量的运算法则、矢量的运算法则（1）加法加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形法则平行四边形法则。a.满足交换律：b.满足结合律：第9页，共67

4、页，编辑于2022年，星期日（2 2）减法：）减法：换成加法运算相反矢量：相反矢量：和 的模相等，方向相反，互为相反矢量。第10页，共67页，编辑于2022年，星期日在直角坐标系中两矢量的减法运算：推论：推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。第11页，共67页，编辑于2022年，星期日（3 3）乘法：）乘法：矢量的数乘（标量与矢量的乘积）：矢量的数乘（标量与矢量的乘积）：方向不变，大小为|倍方向相反，大小为|倍矢量与矢量的乘积矢量与矢量的乘积标量积标量积（数量积、内积、点积）（数量积、内积、点积）第12页，共67页，编辑于

5、2022年，星期日两矢量点积的含义两矢量点积的含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。推论1：满足交换律交换律推论2：满足分配律分配律推论3：当两个非零矢量点积为零点积为零,则这两个矢量必正交正交。第13页，共67页，编辑于2022年，星期日在直角坐标系中，三个坐标轴是相互正交的，即有两矢量点积：结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。两矢量点积等于对应分量的乘积之和。第14页，共67页，编辑于2022年，星期日（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）qsinABq矢量矢量 与与 的叉积的叉积 两矢量叉积叉积，结果得一新矢量矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四平

6、行四边形的面积边形的面积，方向为该面的法线法线方向，且三者符合右手螺旋法则。推论1：不服从交换律：推论2：服从分配律：推论3：不服从结合律：推论推论4 4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。第15页，共67页，编辑于2022年，星期日用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为若若 ，则，则若若 ，则，则第16页，共67页，编辑于2022年，星期日（3）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：矢量，标量与矢量相乘。矢量，矢量三重积。a.标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。定义：含义：含义：标量三重积结果为三矢

7、量构成的标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积平行六面体的体积 。标量，标量三重积。第17页，共67页，编辑于2022年，星期日注意：先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：第18页，共67页，编辑于2022年，星期日b.b.矢量三重积：矢量三重积：设设见课本P6第19页，共67页，编辑于2022年，星期日例：求：中的标量 a、b、c。解：则：设第20页，共67页，编辑于2022年，星期日例3：已知求：确定垂直于 、所在平面的单位矢量。解：已知所得矢量垂直于 、所在平面。第21页，共67页，编辑于2022年，星期日作业作业nP15 1.1 1.2 1.3 1.4 1.

8、5 1.6第22页，共67页，编辑于2022年，星期日1.3 1.3 矢量的通量、散度矢量的通量、散度 1.3.1 矢量线（力线、场线）矢量线（力线、场线）意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。概念：概念：矢量线是这样的有向曲线，其上矢量线是这样的有向曲线，其上 每一点的切线方向代表了该点矢每一点的切线方向代表了该点矢 量场的方向。该点附近曲线的疏量场的方向。该点附近曲线的疏 密和该点的矢量大小成正比密和该点的矢量大小成正比矢量线矢量线ba 第23页，共67页，编辑于2022年，星期日1.3.2 1.3.2 矢量场的通量矢量场的通量 矢量面积元

9、规定该面积元的正法线为矢量面积元对于封闭曲面，约定其外法线为正法线方向第24页，共67页，编辑于2022年，星期日问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。引入通量的概念。通量的概念通量的概念：矢量场分布所在的区：矢量场分布所在的区域中任取一点域中任取一点P，在，在P点附近取一面点附近取一面积元积元 ，其正法线，其正法线 ，该点的矢量，该点的矢量场为场为定义：矢量场定义：矢量场 穿过面积元穿过面积元 的通量为：的通量为：面积元矢量面积元矢量第25页，共67页，编辑于2022年，星期日其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢

10、量；穿过面积元穿过面积元 的通量；的通量；矢量穿过一有限大面积的通量矢量穿过一有限大面积的通量 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面法矢量由闭合曲面内指向外，矢是闭合的，则规定曲面法矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：量场对闭合曲面的通量是：第26页，共67页，编辑于2022年，星期日有净流量流出有净流量流出闭合曲面闭合曲面有净流量进有净流量进入闭合曲面入闭合曲面进入与穿出闭合进入与穿出闭合曲面的流量相等曲面的流量相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果通量的物理意义通量的物理意义源源“洞洞”第27页，共67页，编辑于2022年，星期日1

11、.3.2 矢量场的散度矢量场的散度n 设想有一包围P点的闭曲面，逐渐缩小到P点附近，则闭曲面所包围的体积 逐渐减少，且矢量场 穿过闭曲面的通量 也逐渐减少。在一般情况下，两者比值有一极值，该极值与闭合曲面的形状无关。n 定义：矢量场 的散度等于该极值n 散度：标量标量第28页，共67页，编辑于2022年，星期日n意义：矢量场 穿过过包围单位体积的闭合面的通量，又称通量密度。有源有源有洞有洞无散场无散场第29页，共67页，编辑于2022年，星期日矢量场 表示为：直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 不失一般性，令包围不失一般性，令包围P点的体积元点的体积元 V 为一平行六面体

12、，为一平行六面体，如图所示。则如图所示。则第30页，共67页，编辑于2022年，星期日在x方向上：计算穿过 和 面的通量为根据泰勒定理：则：在 x 方向上的总通量：第31页，共67页，编辑于2022年，星期日在z方向上,穿过 和 面的总通量：整个封闭曲面的总通量：同理：在y方向上,穿过 和 面的总通量：第32页，共67页，编辑于2022年，星期日该闭合曲面所包围的体积：通常散度表示为：称为向量微分算子或哈密尔顿算符（读作del或Nabla）可视为一种特殊的矢量，它的每个“分量”为微分符号，因而对“乘”到得项起求导的作用。将矢量的微分运算变为与 之间的矢量代数运算。第33页，共67页，编辑于20

13、22年，星期日1.4 高斯定理（散度定理）高斯定理（散度定理）由散度的定义：由散度的定义：，该式只对微小体积，该式只对微小体积 成立。成立。对于有限大体积对于有限大体积V，分为许多小体积元分为许多小体积元 、.体积的剖分体积的剖分VSdS2dS1V1V2第34页，共67页，编辑于2022年，星期日左左:,为整个有限体积为整个有限体积右右:面积之和面积之和 （1）V内两个相邻小体积的分界面内两个相邻小体积的分界面 （2）V的外表面的外表面 左左 =右右 得高斯定理得高斯定理第35页，共67页，编辑于2022年，星期日n数学角度：高斯定理建立了面积分和体积分的关系。数学角度：高斯定理建立了面积分和

14、体积分的关系。散度的意义散度的意义n数学角度：高斯定理建立了面积分和体积分的关系。数学角度：高斯定理建立了面积分和体积分的关系。n物理角度：高斯定理建立了区域物理角度：高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域中的场和包围区域 V 的闭的闭合面合面 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的中的场，根据高斯定理即可求出边界场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。第36页，共67页，编辑于2022年，星期日n例：已知点电荷q所产生的电场强度 ，求其在任何一点M处的散度 解：可见，除点电荷q所在位置（r=0）外，电场的散度处处

15、为零。第37页，共67页，编辑于2022年，星期日1.5 矢量的环流量、旋度n1.5.1 1.5.1 环流量环流量在矢量场分布的空间，取一有向闭曲线矢量场的环流第38页，共67页，编辑于2022年，星期日1.5.2 1.5.2 环流密度环流密度n以l为周界的曲面为周界的曲面 ，规定，规定 的正法线方向的正法线方向 和和 的绕行方向构成右手螺旋关系。的绕行方向构成右手螺旋关系。n当当 缩小到缩小到P点附近，以下极限有一确定值：点附近，以下极限有一确定值：n称该极限为矢量场称该极限为矢量场 在在P点处沿点处沿 方向的环流密度。方向的环流密度。（该值与（该值与 的形状无关，但与所围面积的法线的形状无

16、关，但与所围面积的法线 有关）有关）第39页，共67页，编辑于2022年，星期日1.5.2 1.5.2 旋度旋度矢量场 在P点的旋度旋度是一个矢量矢量大小：该点最大环流密度方向：取得最大环流密度的方向由旋度的定义可知：沿任一方向 的环流投影密度等于旋度沿该方向的投影。（旋度在该方向的分量）第40页，共67页，编辑于2022年，星期日旋度的计算旋度的计算旋度的散度恒为零旋度的散度恒为零第41页，共67页，编辑于2022年，星期日*旋度的物理意义yxzVx旋度的计算公式反映了某点处的实际旋转趋势，旋度矢量反映的是场量沿其垂直方向上的变化情况。如 沿y、z方向、沿x、z方向、沿x、z方向的变化率等等

17、，其效果是可能引起漩涡，旋度不等于0是产生漩涡的基本条件。第42页，共67页，编辑于2022年，星期日例：求矢量场例：求矢量场在点在点M（1,2,1）处的旋度以及在这点沿矢径方向）处的旋度以及在这点沿矢径方向的环流密度。的环流密度。解：由旋度的计算公式：解：由旋度的计算公式：第43页，共67页，编辑于2022年，星期日2.M点的矢径点的矢径于是，矢量场于是，矢量场 在在M点沿点沿 方向的环流密度方向的环流密度第44页，共67页，编辑于2022年，星期日n作业：p15 10 11第45页，共67页，编辑于2022年，星期日1.6 1.6 斯托克斯定理斯托克斯定理或或n由旋度的定义可知，对于无限小

18、的面积元由旋度的定义可知，对于无限小的面积元n对于有限大面积对于有限大面积l为为s的周界的周界方向相反大小相方向相反大小相等结果抵消等结果抵消n曲面的曲面的剖分剖分l第46页，共67页，编辑于2022年，星期日4、散度和旋度的区别、散度和旋度的区别 第47页，共67页，编辑于2022年，星期日1.7 1.7 标量场的梯度标量场的梯度1.7.1 1.7.1 标量场的标量场的等值面等值面 标量场中量值相等的点构成的面标量场中量值相等的点构成的面热源等温面等温面如等温面、等势面第48页，共67页，编辑于2022年，星期日1.7.2 1.7.2 方向导数方向导数标量场：函数的总体分布情况 等值面随空间

19、的变化方向导数：等值面沿某一给定方向方向导数：等值面沿某一给定方向l0的变化率。的变化率。30oC20oC10oC0oCA100mBC200m80m第49页，共67页，编辑于2022年，星期日三者每米的温度变化为；(0oC-30oC)/100m=-3/10oC/m(0oC-30oC)/200m=-3/20oC/m(0oC-30oC)/80m=-3/8oC/m甲乙丙同一个温度场中，等温面沿不同方向的变化率不同l1 的方向导数为-3/10l2 的方向导数为-3/20l3 的方向导数为-3/8第50页，共67页，编辑于2022年，星期日一般情况下：标量场u在M0点l0的方向导数方向导数M0nlM第5

20、1页，共67页，编辑于2022年，星期日1.7.31.7.3 梯度梯度1.标量场中标量场中M0点的梯度是一个点的梯度是一个矢量矢量大小：该点的最大方向导数，即沿过该点等值 面的法线方向的方向导数。方向：过 M0点等值面的法线方向。规定沿等值面增加的方向为正法线。第52页，共67页，编辑于2022年，星期日2.梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系u+uuM0nlNM标量场沿标量场沿l l方向的方向导数等方向的方向导数等于梯度沿该方向的投影于梯度沿该方向的投影第53页，共67页，编辑于2022年，星期日3.梯度的计算（直角坐标系中）梯度的计算（直角坐标系中）n直角坐标系中，由方向导数与梯度的关

21、系可得标量场u沿三个坐标轴的方向导数：第54页，共67页，编辑于2022年，星期日3.3.梯度的性质梯度的性质梯度的线积分与路径无关梯度的线积分与路径无关该积分与路径无关的条件是被积该积分与路径无关的条件是被积函数可表示为某一函数的全微分函数可表示为某一函数的全微分第55页，共67页，编辑于2022年，星期日几个重要公式几个重要公式标量场的梯度的旋度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零矢量场的旋度的散度恒为零矢量场的旋度的散度恒为零推论：如果矢量场的旋度恒推论：如果矢量场的旋度恒等于零，则该矢量场可由一等于零，则该矢量场可由一个标量场的梯度来表示个标量场的梯度来表示推论：如果矢量场的散度恒等于推论：

22、如果矢量场的散度恒等于零，则该矢量场可用另一矢量场零，则该矢量场可用另一矢量场的旋度来表示的旋度来表示第56页，共67页，编辑于2022年，星期日拉普拉斯运算拉普拉斯运算n1 标量场的拉普拉斯 为一矢量场，若在再对 求散度，则称为标量函数u的拉普拉斯运算，即称为Laplace算子，在直角坐标系中Laplace算子，作用于标量函数上时，表示标量函数的梯度的散度，是一标量函数第57页，共67页，编辑于2022年，星期日1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理在有限区域内的任一矢量场，由它的散度、旋度和在有限区域内的任一矢量场，由它的散度、旋度和边界条件唯一确定，这就是边界条件唯一确定，这就是亥姆霍兹定理亥

23、姆霍兹定理 已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见，已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见，矢量场被其矢量场被其源源及及边界条件边界条件共同决定的共同决定的。第58页，共67页，编辑于2022年，星期日1、矢量场的源、矢量场的源散度源散度源：是是标量标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散度；旋度源旋度源：是是矢量矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过

24、一曲面，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。（或正比于）矢量场在该点的旋度。第59页，共67页，编辑于2022年，星期日2、矢量场按源的分类、矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场无旋场的无旋场的线积分与路径无关线积分与路径无关，是保守场。，是保守场。仅有散度源仅有散度源而而无旋度源无旋度源的矢量场，的矢量场，无旋场无旋场可以用可以用标量场的梯度标量场的梯度表示为表示为例如：静电场、重

25、力场例如：静电场、重力场uF-=r性质性质：第60页，共67页，编辑于2022年，星期日（2）无散场）无散场 仅仅有旋度源有旋度源而而无散度源无散度源的矢量场，即的矢量场，即无散场在任意闭合面上的净通量等于零无散场在任意闭合面上的净通量等于零例如，恒定磁场例如，恒定磁场性质性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度第61页，共67页，编辑于2022年，星期日（4 4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场两部分两部分无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分第62页，共67页，编辑于2022年

26、，星期日 n作业：P16 16 19 20 23第63页，共67页，编辑于2022年，星期日知识回顾知识回顾1.三个三个“度度”中文表述中文表述 学名学名 助记符助记符 直角标系表达式直角标系表达式 标矢量标矢量矢量矢量的散度的散度标量标量矢量矢量的旋度的旋度矢量矢量标量标量的散度的散度矢量矢量第64页，共67页，编辑于2022年，星期日散度的意义与性质散度的意义与性质n散度的对象是散度的对象是矢量矢量，结果结果是是标量标量n散度散度 的意义的意义：M点为场中任一点点为场中任一点(1),(2),(2),n散度描述矢量场沿散度描述矢量场沿场量本身方向上场量本身方向上的变化率的变化率n散度定理的意

27、义：矢量场散度定理的意义：矢量场 穿过任意闭合面穿过任意闭合面 的通量的通量 =矢量场的散度矢量场的散度 在在 所包围的体积所包围的体积dV上的积分上的积分M点有正源点有正源M点有负源点有负源M点无源点无源第65页，共67页，编辑于2022年，星期日散度的常用计算公式散度的常用计算公式第66页，共67页，编辑于2022年，星期日旋度的意义与性质旋度的意义与性质n散度的对象是散度的对象是矢量矢量，结果结果是是矢量矢量n旋度旋度 的意义的意义：M点为场中任一点点为场中任一点 (1),(2),n散度描述矢量场沿散度描述矢量场沿垂直于场量方向上垂直于场量方向上的变化率的变化率n散度定理的意义：矢量场散度定理的意义：矢量场 穿过任意闭合曲线穿过任意闭合曲线 的环量的环量=矢量场的旋度矢量场的旋度 在在 所包围的面积所包围的面积dS上的通量上的通量M点有旋转趋势点有旋转趋势M点无旋转趋势点无旋转趋势第67页，共67页，编辑于2022年，星期日