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1、 第一章:等差数列与等比数列的综合核心考点一:等差、等比数列的判断与证明方法总结判断和证明数列是等差、等比数列常见的3中方法如下：（1）定义法：对于的任意正整数，都有（或）为同一常数（用于证明）（2）通项公式法：若，则数列为等差数列（用于判断）；若，则数列为等比数列（用于判断）；（3）中项公式法：若（），则数列为等差数列（用于证明）；若（），则数列为等比数列（用于证明）；例1.(1)设为等差数列，证明：数列（）是等比数列。(2)设为正项等比数列，证明：数列（）是等差数列。解析（1）为等差数列，则（，为常数），令，则是常数，所以数列是等比数列。（2）为正项等比数列，则（）令，则是常数，所以数列是
2、等差数列。例2. 在数列中，且（1）设，求证：数列是等比数列（2）设，求证：数列是等差数列解析 （1）由-得，所以.当时，所以所以，令，所以，故数列是等比数列.（2）因为数列是等比数列，.所以，则，所以令，又，故，因此数列是等差数列.例3. 数列的前项和为，已知，（），证明：数列是等比数列。解析 由得，所以，所以又，因此数列是等比数列.例4.已知数列满足，（）. (1)证明：数列为等比数列。 (2)求数列的通项公式。 (3)若数列满足（），证明：数列是等差数列。解析 （1）因为，所以，即，（），又，故数列是首项为2，公比为2的等比数列。（2）由（1）得（）故，（）叠加得到，所以（）时也成立，所
3、以（）（3）由（2）可知，即，故设为数列的前项和，则 ， ，两式相减得即 则有 （）得，即（）故数列是等差数列。例5.（2012年陕西理17）设是公比不为1的等比数列，其前项和为，且，成等差数列(1)求数列的公比；(2)证明：对任意成等差数列解析 （1）依题意，设公比不为1的等比数列的公比为，由成等差数列，得，所以，得，解得（舍），（2）要证明对任意，成等差数列，只需证明因为所以对任意，成等差数列.或利用求和公式展开.，因此对任意，成等差数列.例6.在数列中, (,且).(1)求的值;(2)设,证明：是等差数列.【解析】(1)a13,an2an12n3(n2).a22a1436431.a32a
4、223313.(2)证明：对于任意nN*,bn1bn(an12an)3(2n13)31,数列bn是首项为0,公差为1的等差数列.例7. (2014大纲全国卷)数列满足.(1)设,证明是等差数列;(2)求的通项公式.【解析】由an22an1an2得an2an1an1an2,即bn1bn2.又b1a2a11,所以bn是首项为1,公差为2的等差数列.由得bn12(n1)2n1,即an1an2n1.于是(ak1ak)(2k1),所以an1a1n2,即an1n2a1.又a11,所以an的通项公式为ann22n2.核心考点二:等差、等比数列的交汇问题例1. 已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为（）
5、，且，成等差数列，求数列的通项公式。解析 设等比数列的公比为，因为，成等差数列，所以2（）=+，即，于是，又数列不是递减数列，所以，故数列的通项公式例2.在等差数列中，公差，是与的等比中项，已知数列，成等比数列，求数列的通项解析 依题意可得，所以，由可得，则，由已知得是等比数列。因为所以成等比数列，首项为1，公比为3，由此，所以（），故数列的通项为例3. 设是各项均不为零的项等差数列，且公差.若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序排列）是等比数列。（1）当时，求的数值； 求的所有可能值.（2）求证：对于给定的正整数，存在一个各项及公差均不为0的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不
6、能组成等比数列。解析 （1）依题意，等差数列为，假设要删去或，当删去时，既是等差数列又是等比数列，故，与题意不合；当删除时，既是等差数列又是等比数列，故，与题意不合；因此删去的项只能是或若删去，则由成等比数列，得因，故由上式得，即 4此时数列为，满足题设若删去，则成等比数列，得 因，故由上 式得，即 1此时数列为 满足题设综上可知的值为或1 一个“基本事实”：一个数列既是等差数列又是等比数列,则该数列是非零常数数列。当n6时，则从满足题设的数列中删去任意一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故知，数列的公差必为0，这与题设矛盾所以满足题设的数列的项数 又
7、因题设，故或当时，由（1）中的讨论知存在满足题设的数列当时，若存在满足题设的数列，则由“基本事实”知，删去的项只能是，从而成等比数列，故且分别化简上述两个等式，得和，故矛盾因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列综上可知，只能为4 （2） 假设对于某个正整数，存在一个公差为的项等差数列，其中三项，成等比数列，这里，则有，整理得，由得：且或者当且时，若且，则，矛盾。若，等式右边为有理数，当为无理数时就产生矛盾。因此，只要为无理数，中任意三项不构成等比数列。例4.(2012福建)在等差数列和等比数列中, , 的前项和.(1)求和;(2)现分别从和的前项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两
8、项的值相等的概率.【解答】解：(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q.由题得：S10=10+1092d=55;b4=q3=8;解得：d=1,q=2.所以：an=n,bn=2n1.(2)分别从从an和bn的前3项中各随机抽取一项,得到的基本事件有9个：(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4).两项的值相等的有(1,1),(2,2).这两项的值相等的概率：29.例5.等比数列的前项和为,已知成等差数列.求的公比;若,求.【解析】(1)2,2n12(2)S1,S3,S2成等差数列,a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2).由
9、于a10,故2q2q0,又q0,从而q.由已知可得a1a1()23,故a14,从而Sn.第二节:求解数列的通项公式与前n项和核心考点一：求通项例1.(2012广东)设数列前项和为,数列的前项和为,满足.(1)求的值;(2)求数列的通项公式.【解答】解：(1)当n=1时,T1=2S11因为T1=S1=a1,所以a1=2a11,求得a1=1(2)当n2时,Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-2Sn-1-(n-1)2=2Sn-2Sn-1-2n+1所以Sn=2Sn1+2n1所以Sn+1=2Sn+2n+1得 an+1=2an+2所以an+1+2=2(an+2),即an+1+2an+2=2(n2)求得a1
10、+2=3,a2+2=6,则a2+2a1+2=2所以an+2是以3为首项,2为公比的等比数列所以an+2=32n-1，所以an=32n-1-2,nN*.核心考点二：公式求和法1.(2008辽宁)在数列是各项均为正数的等比数列,设cn=bnan(nN*).(1)数列是否为等比数列?证明你的结论;(2)设数列的前项和分别为, .若,SnTn=n2n+1,求数列的前项和.【解答】解：(1)cn是等比数列.证明：设an的公比为q1(q10),bn的公比为q2(q20),则cn+1cn=bn+1an+1anbn=bn+1bnanan+1=q2q10,故cn为等比数列.(2)数列lnan和lnbn分别是公差
11、为lnq1和lnq2的等差数列.由条件得nlna1+n(n-1)2lnq1nlnb1+n(n-1)2lnq2=n2n+1,即2lna1+(n-1)lnq12lnb1+(n-1)lnq2=n2n+1.故对n=1,可得lna1lnb1=13,又a1=2,可得b1=8,于是2lna1+(n-1)lnq12lnb1+(n-1)lnq2=n2n+1可变为(2lnq1lnq2)n2+(4lna1lnq12lnb1+lnq2)n+(2lna1lnq1)=0对任意的正整数n恒成立于是2lnq1-lnq2=04lna1-lnq1-2lnb1+lnq2=02lna1-lnq1=0.将a1=2代入得q1=4,q2=
12、16,b1=8.从而有cn=816n-124n-1=4n.所以数列cn的前n项和为4+42+4n=43(4n-1).2.(2009辽宁)等比数列的前项和为,已知成等差数列,(1)求的公比;(2)求,求.【解答】解：(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2)由于a10,故2q2+q=0又q0,从而q=-12(2)由已知可得a1-a1(-12)2=3故a1=4,从而Sn=41-(-12)n1-(-12)=831-(-12)n3.(2009福建)等比数列中,已知.(1)求数列的通项公式;(2)若分别为等差数列的第项和第项,试求数列的通项公式及前项和.【解答】解：(I)设an的
13、公比为q由已知得16=2q3,解得q=2an=a1qn-1=2n(2)由(I)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32设bn的公差为d,则有b1+2d=8b1+4d=32解得b1=-16d=12.从而bn=16+12(n1)=12n28所以数列bn的前n项和Sn=n(-16+12n-28)2=6n2-22n.4.(2010新课标)设等差数列满足.(1)求的通项公式;(2)求的前项和Sn及使得最大的序号的值.【解答】解：(1)由an=a1+(n1)d及a3=5,a10=9得a1+9d=9,a1+2d=5解得d=2,a1=9,数列an的通项公式为an=112n(2)由(1)知Sn=na1+n
14、(n-1)2d=10nn2.因为Sn=(n5)2+25.所以n=5时,Sn取得最大值.5.(2010重庆)已知是首项为,公差为的等差数列, 为的前项和.(1)求通项及;(2)设是首项为,公比为的等比数列,求数列的通项公式及其前项和.【解答】解：(1)an是首项为19,公差为4的等差数列an=194(n1)=4n+23.an是首项为19,公差为4的等差数列其和为Sn=a1n+n(n-1)2dSn=19n+n(n-1)2(-4)=-2n2+21n(2)由题意bnan是首项为1,公比为2的等比数列,bnan=2n1,所以bn=an+2n1=2n14n+23Tn=Sn+1+2+22+2n1=2n2+2
15、1n+2n16.(2010北京)已知为等差数列,且.(1)求的通项公式;(2)若等比数列满足,求数列的前项和公式.【解答】解：(1)设等差数列an的公差d.因为a3=6,a6=0所以a1+2d=-6a1+5d=0解得a1=10,d=2所以an=10+(n1)2=2n12(2)设等比数列bn的公比为q因为b2=a1+a2+a3=24,b1=8,所以8q=24,即q=3,所以bn的前n项和公式为Sn=b1(1-qn)1-q=4(1-3n)7.(2010陕西)已知是公差不为零的等差数列, ,且成等比数列.(1)求数列的通项;(2)记bn=2an,求数列的前项和.【解答】解：(I)设公差为d,由题意可
16、得 (a1+2d)2=a1(a1+8d),即d2d=0,解得 d=1或d=0(舍去)所以 an=1+(n1)=n.(II)bn=2an=2n,故 数列bn是以2为首项,以2为公比的等比数列.数列bn的前n项和Sn=2+4+8+2n=2(1-2n)1-2=2n+1-2.8.(2011新课标)已知等比数列中, ,公比.(1) 为的前项和,证明：1-an2(2)设,求数列的通项公式.【解答】证明：(I)数列an为等比数列,a1=13,q=13an=13(13)n-1=13n,Sn=13(1-13n)1-13=1-13n2又1-an2=1-13n2=SnSn=1-an2(II)an=13nbn=log
17、3a1+log3a2+log3an=log33+(2log33)+(nlog33)=(1+2+n)=n(n+1)2数列bn的通项公式为：bn=n(n+1)29.(2011福建)已知等差数列中, .(1)求数列的通项公式;(2)若数列的前项和,求的值.【解答】解：(I)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n1)d由a1=1,a3=3,可得1+2d=3,解得d=2,从而,an=1+(n1)(2)=32n;(II)由(I)可知an=32n,所以Sn=n1+(3-2n)2=2nn2,进而由Sk=35,可得2kk2=35,即k22k35=0,解得k=7或k=5,又kN+,故k=7为所求.核心考点三
18、：裂项相消1.(2011新课标)等比数列的各项均为正数,且, ,(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列1bn的前项和.【解答】解：(1)设数列an的公比为q,由a32=9a2a6得a32=9a42,所以q2=19.由条件可知各项均为正数,故q=13.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=13.故数列an的通项式为an=13n. (2)bn=log3a1+log3a2+log3an=(1+2+n)=n(n+1)2,故1bn=2n(n+1)=2(1n1n+1)则1b1+1b2+1bn=2(112)+(1213)+(1n1n+1)=2nn+1,所以数列1bn的前n项和为2nn+1.
19、2.(2009广东)已知点(1,12)是函数的图象上一点,等比数列的前项和为,数列的首项为,且前项和满足Sn+Sn-1.(1)求数列和的通项公式;(2)若数列1bnbn+1前n项和为,问满足9992010的最小正整数n是多少?【解答】解：(1)f(1)=a=12f(x)=(12)x,a1=f(1)c=12c,a2=f(2)cf(1)c=14,a3=f(3)cf(2)c=-18又数列an成等比数列,a1=a22a3=12,a1=12c12=12c,c=1又公比q=a2a1=12所以an=-12(12)n1=(12)n,nN;SnSn1=(Sn+Sn-1)(SnSn-1)=Sn+Sn-1(n2)又
20、bn0,Sn0,Sn-Sn-1=1;数列Sn构成一个首项为1公差为1的等差数列,Sn=1+(n1)1=n,Sn=n2当n2,bn=SnSn1=n2(n1)2=2n1;又b1=c=1适合上式,bn=2n1(nN);(2)Tn=1b1b2+1b2b3+1bnbn+1=113+135+157+1(2n-1)(2n+1)=12(113)+12(1315)+12(15-17)+12(12n-1-12n+1)=12(112n+1)=n2n+1由Tn=n2n+19992010,得n3334满足Tn9992010的最小正整数为84.3.(2013新课标1)已知等差数列的前项和满足.(1)求的通项公式;(2)求
21、数列1a2n-1a2n+1的前项和.【解答】解：(1)设数列an的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d2.由已知可得3a1+3d=05a1+5(5-1)2d=-5,即a1+d=0a1+2d=-1,解得a1=1,d=1,故an的通项公式为an=a1+(n1)d=1+(n1)(1)=2n;(2)由(1)知1a2n-1a2n+1=1(3-2n)(1-2n)=12(12n-3-12n-1).从而数列1a2n-1a2n+1的前n项和Sn=12(1-1-11)+(11-13)+(12n-3-12n-1)=12(-1-12n-1)=n1-2n.4.(2013大纲版)等差数列an中,a7=4,
22、a19=2a9,(1)求an的通项公式; (2)设bn=1nan,求数列bn的前n项和Sn.【解答】解：(I)设等差数列an的公差为da7=4,a19=2a9,a1+6d=4a1+18d=2(a1+8d)解得,a1=1,d=12an=1+12(n-1)=1+n2(II)bn=1nan=2n(n+1)=2n-2n+1sn=2(1-12+12-13+1n-1n+1)=2(1-1n+1)=2nn+15.【2015高考新课标1,理17】为数列的前项和.已知0,=.(1)求的通项公式;(2)设 ,求数列的前项和.【解析】 (1)当时,因为,所以=3,当时,=,即,因为,所以=2,所以数列是首项为3,公差
23、为2的等差数列,所以=;(2)由(1)知,=,所以数列前n项和为= =.6.(2013江西)正项数列an满足：an2(2n1)an2n=0.(1)求数列an的通项公式an;(2)令bn=1(n+1)an,求数列bn的前n项和Tn.【解答】解：(1)由正项数列an满足：an2(2n1)an2n=0,可得(an2n)(an+1)=0所以an=2n.(2)因为an=2n,bn=1(n+1)an,所以bn=1(n+1)an=12n(n+1)=12(1n-1n+1),Tn=12(1-12+12-13+1n-1n+1)=12(1-1n+1)=n2n+2.数列bn的前n项和Tn为n2n+27.(2013课标
24、全国卷1)已知等差数列an的前n项和Sn满足S30,S55.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和.【尝试解答】(1)设an的公差为d,则Snna1d.由已知可得解得故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知,从而数列的前n项和为.8.(2014山东高考)已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.求数列an的通项公式;令 bn(1)n1,求数列bn的前n项和Tn.【解】因为S1a1,S22a122a12,S44a124a112,由题意得(2a12)2a1(4a112),解得a11,所以an2n1.bn(1)n1(1)n1(1)n1.当n为偶数时,Tn1
25、.当n为奇数时,Tn1.所以Tn9.数列an的通项公式是an,前n项和为9,则n等于()A.9 B.99 C.10 D.100【答案】B10.已知等差数列an的前n项和为Sn,a55,S515,则数列的前100项和为()A. B. C. D.【答案】A11.设函数f(x)x22x,则数列(nN*)的前10项和为()A. B. C. D.【答案】C12.已知数列an的前n项和为Sn,且an,则S2 013 .【答案】13.(10分)(2013江西高考)正项数列an满足：a(2n1)an2n0.(1)求数列an的通项公式an;(2)令bn,求数列bn的前n项和Tn.【解】(1)由a(2n1)an2
26、n0,得(an2n)(an1)0.由于an是正项数列,所以an2n.(2)由an2n,bn,则bn,Tn.14.设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1,则数列(nN*)的前n项和是 .【答案】核心考点四：错位相减1.设等差数列an的前n项和为Sn,且S44S2,a2n2an1.(1) 求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足1,nN*,求bn的前n项和Tn.【尝试解答】(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d.由S44S2,a2n2an1,得解得因此an2n1,nN*.(2)由已知1,nN*,当n1时,;当n2时,1.所以,nN*.由(1)知an2n1,nN*,所以bn,nN*.所以
27、Tn,Tn.两式相减,得Tn,所以Tn3.2.(2007山东)设数列an满足a1+3a2+32a3+3n1an=n3(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=nan,求数列bn的前n项和Sn.【解答】解：(1)a1+3a2+32a3+3n1an=n3,当n2时,a1+3a2+32a3+3n2an1=n-13.,得3n1an=13,所以an=13n(n2),在中,令n=1,得a1=13也满足上式.an=13n.(2)bn=nan,bn=n3n.Sn=3+232+333+n3n.3Sn=32+233+334+n3n+1.,得2Sn=n3n+1(3+32+33+3n),即2Sn=n3n+
28、13(1-3n)1-3.Sn=(2n-1)3n+14+34.3.(2007福建)数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(nN*).(1)求数列an的通项an;(2)求数列nan的前n项和Tn.【解答】解：(I)an+1=2Sn,Sn+1Sn=2Sn,Sn+1Sn=3.又S1=a1=1,数列Sn是首项为1、公比为3的等比数列,Sn=3n1(nN*).当n2时,an2Sn1=23n2(n2),an=1amp;,n=123n-2amp;,n2(II)Tn=a1+2a2+3a3+nan,当n=1时,T1=1;当n2时,Tn=1+430+631+2n3n2,3Tn=3+431+632+2n
29、3n1,得：2Tn=2+4+2(31+32+3n2)2n3n1=2+23(1-3n-2)1-3-2n3n-1=1+(12n)3n1Tn=12+(n12)3n1(n2).又Tn=a1=1也满足上式,Tn=12+(n12)3n1(nN*)4.(2008全国卷1)在数列an中,a1=1,an+1=2an+2n.(1)设bn=an2n-1.证明：数列bn是等差数列;(2)求数列an的前n项和Sn.【解答】解：由an+1=2an+2n.两边同除以2n得an+12n=an2n-1+1an+12n-an2n-1=1,即bn+1bn=1bn以1为首项,1为公差的等差数列(2)由(1)得an2n-1=1+(n-
30、1)1=nan=n2n1Sn=20+221+322+n2n12Sn=21+222+(n1)2n1+n2nSn=20+21+22+2n1n2n=1-2n1-2-n2n=(1-n)2n-1Sn=(n1)2n+15.(2009江西)数列an的通项an=n2(cos2n3sin2n3),其前n项和为Sn.(1)求Sn;(2)bn=S3nn4n,求数列bn的前n项和Tn.【解答】解：(1)由于cos2n3-sin2n3=cos2n3,an=n2cos2n3故S3k=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+(a3k2+a3k1+a3k)=(-12+222+32)+(-42+522+62)+-(3k-2
31、)2+(3k-1)22+(3k)2=132+312+18k-52=k(4+9k)2S3k-1=S3k-a3k=k(4-9k)2,S3k-2=S3k-1-a3k-1=k(4-9k)2+(3k-1)22=12-k=-3k-23-16,故Sn=-n3-16n=3k-2(n+1)(1-3n)6n=3k-1n(3n+4)6n=3k(kN*)(2)bn=S3nn4n=9n+424n,Tn=12134+2242+9n+44n,4Tn=1213+224+9n+44n-1,两式相减得3Tn=1213+94+94n-1-9n+44n=1213+94-94n1-14-9n+44n=8-122n-3-9n22n+1,
32、故Tn=83-1322n-3-3n22n+1.6.(2010四川)已知等差数列an的前3项和为6,前8项和为4.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=(4an)qn1(q0,nN*),求数列bn的前n项和Sn.【解答】解：(1)设an的公差为d,由已知得3a1+3d=68a1+28d=-4解得a1=3,d=1故an=3+(n1)(1)=4n;(2)由(1)的解答得,bn=nqn1,于是Sn=1q0+2q1+3q2+nqn1.若q1,将上式两边同乘以q,得qSn=1q1+2q2+3q3+nqn.将上面两式相减得到(q1)Sn=nqn(1+q+q2+qn1)=nqnqn-1q-1于是Sn=nq
33、n+1-(n+1)qn+1(q-1)2若q=1,则Sn=1+2+3+n=n(n+1)2所以,Sn=nqn+1-(n+1)qn+1(q-1)2(q1)n(n+1)2(q=1).7.(2010安徽)设C1,C2,Cn,是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,且都与直线y=33x相切,对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn+1相互外切,以rn表示Cn的半径,已知rn为递增数列.(1)证明：rn为等比数列;(2)设r1=1,求数列nrn的前n项和.【解答】解：(1)将直线y=33x的倾斜角记为,则有tan=33,sin=12,设Cn的圆心为(n,0),则由题意得知rnn=12,得n=2rn;同
34、理n+1=2rn+1,从而n+1=n+rn+rn+1=2rn+1,将n=2rn代入,解得rn+1=3rn故|rn|为公比q=3的等比数列.(2)由于r1=1,q=3,故rn=3n1,从而nrn=n*31-n,记Sn=1r1+2r2+nrn,则有Sn=1+231+332+n31nSn3=1*3-1+2*3-2+(n-1)*31-n+n*3-n,得2Sn3=1+3-1+3-2+31-n-n*3-n =1-3-n23-n*3-n=32-(n+32)*3-n,Sn=94-12(n+32)*31-n=9-(2n+3)*31-n48. (2014课标全国卷1)已知an是递增的等差数列,a2,a4是方程x2
35、5x60的根.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和.【解】(1)方程x25x60的两根为2,3,由题意得a22,a43.设数列an的公差为d,则a4a22d,故d,从而a1.所以an的通项公式为ann1.(2)设的前n项和为Sn.由(1)知,则Sn,Sn.两式相减得Sn.所以Sn2.9.(错位相减、裂项相消)已知公比为q的等比数列an是递减数列,且满足a1a2a3,a1a2a3.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列(2n1)an的前n项和为Tn;(3)若bn(nN*),证明：.【规范解答】(1)由a1a2a3,及等比数列性质得a,即a2,1分由a1a2a3得a1a3.由得所以,即
36、3q210q30,解得q3,或q.3分因为an是递减数列,故q3舍去,q,由a2,得a11故数列an的通项公式为an(nN*).4分(2)由(1)知(2n1)an,所以Tn1Tn5分得：Tn112122所以Tn38分(3)因为bn(nN*)n,9分所以2211分因为n1,所以.10.已知等差数列an的前3项和为6,前8项和为4.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn(4an)qn1(q0,nN*),求数列bn的前n项和Sn.【解】(1)设an的公差为d,则由已知得即解得a13,d1,故an3(n1)4n.(2)由(1)知,bnnqn1,于是Sn1q02q13q2nqn1,若q1,上式两边同乘
37、以q.qSn1q12q2(n1)qn1nqn,两式相减得：(1q)Sn1q1q2qn1nqnnqn.Sn.若q1,则Sn123n,Sn11.(13分)已知等差数列an满足a20,a6a810.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列的前n项和.【解】(1)设等差数列an的公差为d,由已知条件可得解得故数列an的通项公式为an2n.(2)设数列的前n项和为Sn,Sn.记Tn1,则Tn,得：Tn1,Tn.即Tn4.Sn444核心考点五：分组求和1.(2010大纲版2)已知an是各项均为正数的等比数列a1+a2=2(1a1+1a2),a3+a4+a5=64(1a3+1a4+1a5)(1)求an的通项
38、公式;(2)设bn=(an+1an)2,求数列bn的前n项和Tn.【解答】解：(1)设正等比数列an首项为a1,公比为q,由题意得：a1(1+q)=21a11q(1+q)a1q2(1+q+q2)=641a1q4(1+q+q2)a12q=2a12q6=64a1=1q=2an=2n1(6分)(2)bn=(2n-1+12n-1)2=4n-1+(14)n-1+2bn的前n项和Tn=1(1-4n)1-4+1(1-14n)1-14+2n=134n-43(14)n+2n+12.(2011重庆)设an是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4.(1)求an的通项公式;(2)设bn是首项为1,公差为2的等差
39、数列,求数列an+bn的前n项和Sn.【解答】解：(1)设an是公比为正数的等比数列设其公比为q,q0a3=a2+4,a1=22q2=2q+4 解得q=2或q=1q0q=2 an的通项公式为an=22n1=2n(2)bn是首项为1,公差为2的等差数列bn=1+(n1)2=2n1数列an+bn的前n项和Sn=2(1-2n)1-2+n(1+2n-1)2=2n+12+n2=2n+1+n22 (1)若anbncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用分组求和法求an的前n项和.(2)通项公式为an的数列,其中数列bn,cn是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.3. an的通项公式是an(1)n(
40、2n1),则a1a2a3a100()A.200 B.100 C.200 D.100【答案】D4.数列an的通项公式anncos ,其前n项和为Sn,则S2 012等于()A.1 006 B.2 012 C.503D.0【答案】A5. (2014湖南高考)已知数列an的前n项和Sn,nN*.求数列an的通项公式;设bn2an(1)nan,求数列bn的前2n项和.【解】当n1时,a1S11;当n2时,anSnSn1n.故数列an的通项公式为ann.由知ann,故bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n,则T2n(212222n)(12342n).记A212222n,B12342n,则A22n12,B(12)(34)(2n1)2nn,故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.6.(12分)在等差数列an中,a3a4a584,a973.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意mN*,将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm,求数列bm的前m项和Sm.【解】(1)因为an是一个等差数列,