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1、2.3 幂函数一、A组1.幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如下图,那么A.n0,0m1B.n0,0m0,m1D.n12.函数y=3x-2的图象过定点()A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)3.在以下幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+)上是增函数的是()A.f(x)=x-1B.f(x)=x-2C.f(x)=x3D.f(x)=x124.a=1.212,b=0.9-12,c=1.1,那么()A.cbaB.cabC.bacD.acb5.当x(1,+)时,函数y=x的图象恒在直线y=x的下方,那么的取值范围是()A.01B.0C.16.函数y=x-2在区间12,2
2、上的最大值为.7.函数y=(m2-9m+19)x2m-9是幂函数,且图象不过原点,那么m=.8.为了保证信息的平安传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x(为常数),如“4通过加密后得到密文“2.假设接收方接到密文“3,那么解密后得到的明文是.9.函数y=(a2-3a+2)xa2-5a+5(a为常数),问:(1)当a为何值时,此函数为幂函数?(2)当a为何值时,此函数为正比例函数?(3)当a为何值时,此函数为反比例函数?10.(2022江苏泰州中学高一期中)函数h(x)=(m2-5m+1)xm+1为幂函数,且为奇
3、函数.(1)求m的值;(2)求函数g(x)=h(x)+1-2h(x)在区间0,12上的值域.二、B组1.(2022浙江杭州高一期末)幂函数f(x)=kx(kR,R)的图象经过点12,2,那么k+=()A.12B.1C.32D.22.幂函数f(x)=xm2-2m-3(mZ)为偶函数,且在(0,+)上是减函数,那么m的值可能为()A.0,1,2B.0,2C.1,2D.13.以下函数中,既是偶函数又在区间(-,0)上单调递增的是()A.f(x)=1x2B.f(x)=x2+1C.f(x)=x3D.f(x)=2-x4.点(2,2)在幂函数f(x)的图象上,点-2,-12在幂函数g(x)的图象上,那么当x
4、=时,有f(x)g(x).5.假设(a+1)130,a1)在区间-1,2上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x在区间0,+)上是增函数,那么a=.7.f(x)=ax+a-x2,g(x)=ax-a-x2(其中a0,且a1).(1)由5=2+3,请你探究g(5)能否用f(2),g(2),f(3),g(3)来表示;(2)如果你在(1)中获得了一个结论,请探究能否将其推广.8.(2022湖南长沙一中高一期中)幂函数f(x)=xk2-2k-3(kN*)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+)上是减函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)假设ak,比拟(ln a)0.7与(ln a)0
5、.6的大小.2.3 幂函数答案一、A组1.答案:B2.答案:A3.答案:C4.答案:A解析:b=0.9-12=910-12=10912,c=1.1=1.112,120且1.21091.1,1.212109121.112,即abc.5.答案:C解析:由幂函数的图象特征知1.6.答案:4解析:函数y=x-2在区间12,2上是减函数,故该函数在区间12,2上的最大值为12-2=4.7.答案:3解析:令m2-9m+19=1,得m=3或m=6.当m=6时,原函数为y=x3过原点,不合题意,舍去.故m=3.8.答案:9解析:由题目可知加密密钥y=x(是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,
6、就必须先求出的值.由题意,得2=4,解得=12,那么y=x12.由x12=3,得x=9,即明文是9.9.解:(1)由题意知a2-3a+2=1,即a2-3a+1=0,解得a=352.(2)由题意知a2-5a+5=1,a2-3a+20,解得a=4.(3)由题意知a2-5a+5=-1,a2-3a+20,解得a=3.10.解:(1)函数h(x)=(m2-5m+1)xm+1为幂函数,m2-5m+1=1,解得m=0或m=5.h(x)为奇函数,m=0.(2)由(1)可知,g(x)=x+1-2x,令1-2x=t,那么x=1-t22.x0,12,t0,1.g(t)=-12t2+t+12=-12(t-1)2+1,
7、易知其值域为12,1.二、B组1.答案:A解析:幂函数f(x)=kx(kR,R)的图象经过点12,2,k=1,12=2,=-12.k+=1-12=12.应选A.2.答案:D解析:当m=0或m=2时,f(x)=x-3为奇函数,排除A,B,C选项.应选D.3.答案:A解析:由偶函数的定义知,A,B为偶函数,易知f(x)=1x2在区间(-,0)上单调递增,f(x)=x2+1在区间(-,0)上单调递减,应选A.4.答案:(-,0)(1,+)解析:设f(x)=x,g(x)=x,由题意,得2=(2),即=2;-12=(-2),即=-1.作出f(x)与g(x)的图象如下图.从图中可看出当x1时,f(x)g(
8、x).5.答案:(3,+)解析:幂函数y=x13在R上为增函数,(a+1)13(2a-2)13,a+13.6.答案:14解析:当a1时,有a2=4,a-1=m,此时a=2,m=12,此时g(x)=-x在区间0,+)上为减函数,不合题意;假设0a1,那么a-1=4,a2=m,故a=14,m=116,检验知符合题意.7.解:(1)g(5)=a5-a-52,而f(2)g(3)+g(2)f(3)=a2+a-22a3-a-32+a2-a-22a3+a-32=14(a5+a-a-1-a-5+a5-a+a-1-a-5)=12(a5-a-5),g(5)=f(2)g(3)+g(2)f(3).(2)由(1)可得g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).证明:f(x)g(y)+g(x)f(y)=ax+a-x2ay-a-y2+ax-a-x2ay+a-y2=14(ax+y+ay-x-ax-y-a-y-x+ax+y-ay-x+ax-y-a-x-y)=12(ax+y-a-x-y)=g(x+y).8.解:(1)因为幂函数f(x)=xk2-2k-3(kN*)在区间(0,+)上是减函数,所以k2-2k-30,解得-1k1.当1ae时,0ln a1,(ln a)0.7e时,ln a1,(ln a)0.7(ln a)0.6.故当1ae时,(ln a)0.7e时,(ln a)0.7(ln a)0.6.