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1、2021空间向量及其运算高中数学陆老师空间向量及其运算最新考纲考情考向分析1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容.一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方
2、向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，a，b，c叫作空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间
3、任取一点O，作a，b，则AOB叫作向量a，b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫作向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b.(2)空间向量数量积的运算律(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4.空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b
4、0)cosa，b概念方法微思考1.共线向量与共面向量相同吗？提示不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.2.零向量能作为基向量吗？提示不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc).()(3)对于非零向量b，由abbc，则
5、ac.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.()(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有0.()(6)若ab0，则a，b是钝角.()题组二教材改编2.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()A.abc B.abcC.abc D.abc答案A解析()c(ba)abc.3.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_.答案解析|22()22222()1222122(12cos 120021cos 120)2，|，EF的长为.题组三易错自纠4.在空间直角坐标系中，已知A
6、(1,2,3)，B(2，1,6)，C(3，2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直 B.平行C.异面 D.相交但不垂直答案B解析由题意得，(3，3,3)，(1,1，1)，3，与共线，又AB与CD没有公共点，ABCD.5.已知a(2,3,1)，b(4,2，x)，且ab，则|b|_.答案2解析ab，ab2(4)321x0，x2，|b|2.6.O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且t，若P，A，B，C四点共面，则实数t_.答案解析P，A，B，C四点共面，t1，t.题型一空间向量的线性运算例1如图所示，在空间几何体ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设a，b
7、，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2).解(1)因为P是C1D1的中点，所以aacacb.(2)因为M是AA1的中点，所以aabc.又ca，所以abc.思维升华 用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.跟踪训练1(1)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点.用，表示，则_.答案解析()，().(2)如图，在三棱锥O ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设a，b，c，用
8、a，b，c表示，则等于()A.(abc)B.(abc)C.(abc)D.(abc)答案B解析()()(abc).题型二共线定理、共面定理的应用例2如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH.证明(1)连接BG，则()，由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面.(2)因为()，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.思维升华 证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面且同过点Pxy对空间任一点O，t对空间任一点
9、O，xy对空间任一点O，x(1x)对空间任一点O，xy(1xy)跟踪训练2如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k(0k1).(1)向量是否与向量，共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解(1)k，k，kkk()k()kkk()(1k)k，由共面向量定理知向量与向量，共面.(2)当k0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当0k1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知与，共面，MN平面ABB1A1.综上，当k0时，MN在平面ABB1A1内；当0k1时，MN平面ABB1A1.题型三空间向量数量积的应用例3如图所示，已
10、知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.(1)证明设p，q，r.由题意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.，即MNAB.同理可证MNCD.(2)解设向量与的夹角为.()(qr)，qp，(qr).又|a，|cos aacos .cos.向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，
11、通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求平面与平面的夹角.(3)可以通过|a|，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.跟踪训练3如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.(1)求的长；(2)求与夹角的余弦值.解(1)记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|，即AC1的长为.(2)bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1，cos，.即与夹角的余弦值为.1.已知a(2,3，4)，b(
12、4，3，2)，bx2a，则x等于()A.(0,3，6) B.(0,6，20)C.(0,6，6) D.(6,6，6)答案B解析由bx2a，得x4a2b(8,12，16)(8，6，4)(0,6，20).2.在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3答案A解析a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义
13、知，空间任意两向量a，b都共面，故不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.3.已知向量a(2m1,3，m1)，b(2，m，m)，且ab，则实数m的值等于()A. B.2C.0 D.或2答案B解析当m0时，a(1,3，1)，b(2,0,0)，a与b不平行，m0，ab，解得m2.4.在空间直角坐标系中，已知A(1，2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|PB|，则P点坐标为()A.(3,0,0) B.(0,3,0)C.(0,
14、0,3) D.(0,0，3)答案C解析设P(0,0，z)，则有，解得z3.5.已知a(1,0,1)，b(x,1,2)，且ab3，则向量a与b的夹角为()A. B. C. D.答案D解析abx23，x1，b(1,1,2)，cosa，b，又a，b0，a与b的夹角为，故选D.6.如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A. B. C.1 D.答案D解析，|2|2|2|22221113，故|.7.已知a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若a，b，c三向量共面，则_.答案9解析由题意知cxayb，即(7,6，)x(2,
15、1，3)y(1,2,3)，解得9.8.已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，则c_.答案(3，2,2)解析因为ab，所以，解得x2，y4，此时a(2,4,1)，b(2，4，1)，又因为bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2).9.已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VAVBVCVD，.则VA与平面PMN的位置关系是_.答案平行解析如图，设a，b，c，则acb，由题意知bc，abc.因此，共面.又VA平面PMN，VA平面PMN.10.已知ABCDA1B1C1D1为正方体，()232；()0；向量与向量的夹角是60；正方体ABCDA1B1C1D
16、1的体积为|.其中正确的序号是_.答案解析中，()222232，故正确；中，因为AB1A1C，故正确；中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60，但与的夹角为120，故不正确；中，|0，故不正确.11.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足().(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内.解(1)由题意知3，()()，即，共面.(2)由(1)知，共面且过同一点M，M，A，B，C四点共面.点M在平面ABC内.12.已知a(1，3,2)，b(2,1,1)，A(3，1,4)，B(2，2,2).(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b？
17、(O为原点)解(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)令t(tR)，所以t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t.因此存在点E，使得b，此时E点的坐标为.13.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2，若xyz，则xyz_.答案解析连接ON，设a，b，c，则()bca，aabc.又xyz，所以x，y，z，因此xyz.14.A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，M为BC中点，则AMD是()A.钝角三角形 B.锐
18、角三角形C.直角三角形 D.不确定答案C解析M为BC中点，()，()0.AMAD，AMD为直角三角形.15.已知O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是_.答案(1,1,2)解析由题意，设，则(，2)，即Q(，2)，则(1，2，12)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(12)(22)621266(1)2，当1时取最小值，此时Q点坐标为(1,1,2).16.如图，在直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为棱AB，BB的中点.(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值.(1)证明设a，b，c，根据题意得|a|b|c|，且abbcca0，bc，cba，c2b20，即CEAD.(2)解ac，|a|，|a|，(ac)c2|a|2，cos，即异面直线CE与AC所成角的余弦值为.