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1、空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算邹城市第二中学 孙爱青 邮编 273500教学目标：（1） 通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。能力目标：（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识教学重点：（1）空间向量的有关概念（2） 空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（1） 空间想象能力的培养，思想
2、方法的理解和应用。（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用教学用具：多媒体教学方法：研讨、探究、启发引导。教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。教学设计：1、（老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？（矢量，由大小和方向确定）。（学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个
3、力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：通过这个实验，我们发现研究的问题是三个力的问题，但三角形钢板受到的三个力的特点是：（1）三个力不共面，（2）三力既有大小又有方向，但不在同一平面上。所以解决这类问题，需要空间知识，而这种不在同一平面上的既有大小，又有方向的量，我们称之为“空间向量”。这就是我们今天所研究的内容：“空间向量及其运算”（板书黑板）。实际上空间向量我们随处可见（同学们可先举）。然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量）2、（自
4、主学习）：现在我们来研究空间向量有哪些知识、概念和特点呢？与平面向量有什么区别和联系？平面向量的运算法则、运算律空间中适用吗？（类比学习学生看书、然后讨论研究了哪些内容，体现类比思想）学生回答所学内容（目的，增强自主学习性）一、平面向量、空间向量的基本概念向量概念：在平面上（对比：在空间中），既有大小又有方向的量叫向量；画法：用有向线段画出来；表示方式：或（用小写的字母表示）；零向量：（在平面、空间中）长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的；单位向量：（在平面、空间中）模为1的向量称为单位向量；相反向量：（在平面、空间中）长度相等，方向相反的两个向量，互称为相反向量；相等向量：（在平面
5、、空间中）方向相同且模相等的向量称为相等向量；向量的平移。OABCOAB二、平面向量、空间向量的加法法则：（称为三角形法则或平行四边形法则）：记为；几何意义：如图为为平行四边形的对角线，或三角形ABO中边。减法法则：记为；几何意义：如图中为平行四边形的对角线，方向指向被减向量。三、平面向量、空间向量的运算律：交换律，结合律。四、推广到平面中的多个力的和（首尾相接的多个力的和）、向量构成封闭图形时合力为零。（需要借助图形理解平面向量加减运算及其运算律的意义，体现数形结合思想）。（课件演示）：）：3、（引导学生归纳总结）用类比（表格）形式对比给出空间向量的相关定义，采用填空形式填写下列有关内容：（
6、课件） 内容平面向量空间向量概念在平面上，既有大小又有方向的量在空间，具有大小和方向的量画法及其表示用有向线段画出来；表示方式：或用有向线段AB画出来；表示方式：或零向量长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的单位向量平面中模为1的向量空间中模为1的向量相反向量平面中长度相等，方向相反的两个向量，空间中长度相等，方向相反的两个向量，相等向量平面中方向相同且模相等的向量空间中方向相同且模相等的向量加法法则记为，首尾连接的向量，和向量为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点（注意展示几何意义的图形及解释）记为，空间中，首尾连接的向量，和向量为第一
7、个向量的起点指向最后一个向量的终点（注意展示几何意义的图形及解释）加法运算律交换律，结合律（图示）可借助图形理解平面向量加减运算及其运算律的意义交换律，结合律（图示）可借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义减法法则记为，同起点的两个向量，差向量连接两个向量的终点，并且指向被减向量。记为，空间中，同起点的两个向量，连接两个向量的终点，并且指向被减向量。4、（研讨课件）（1）空间中，任意两个向量是否可能异面？（学生讨论、演示、回答）（2）平面向量可在同一平面内平移，而空间向量也可在空间中平移。平移后的向量与原向量是同一向量。由此得出：空间任意两个向量都可转化为共面向量。任意的空间中的两个向量
8、，平面向量的结论都适用。（体现转化思想：空间问题向共面问题的转化）。（3）注意与异面直线（不同在任何一个平面上的两条直线称为异面直线）作好区别。1、如图，向量 互相平行，标出 5、课堂巩固练习：（采用学生做，学生上黑板做题、讲解）2、如图，已知平行六面体 ，化简下列各表达式，并在图中标出化简结果的向量：6、探究：（课件）（课本中P92页）结合平行六面体，数形结合，理解空间向量运算的加法交换律和结合律。（学生做、学生讨论、学生回答）总结为：一般地，三个不共面的向量的和可以与分别以这三个向量为边的平行六面题的对角线建立起联系。7、思维巩固性练习（快速猜想训练）（课件）训练1、如图,共始点的两个不共线向量的加法满足平行四边形法则.和向量是平行四边形的对角线。请问,共始点的三个不共面的向量满足什么法则？和向量是什么向量？ABCD训练：如图,已知 , 那么D是AB的中 点. 已知O为ABC平面外一点,如果 , 那么D在图中ABC平面中的位置为（重心）?（类比、应用）8、探究练习：（课件）（1）在平行六面体中,用表示。（学生讨论、总结类比、整和、应用的思维方式）9、（课件）课堂小结：（学生先总结，然后演示）10、作业P92页1、2；P106页1、211、（学生讨论问题：通过学习得到的启示和感想）