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1、76复数(教师独具内容)1通过方程的解，认识复数理解复数的代数表示与分类及其几何意义，理解两个复数相等的含义掌握共轭复数的概念掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义2掌握复数代数形式的加、减运算法则会用复数代数形式的加、减运算法则进行简单的复数加、减运算了解复数代数形式的加、减运算的几何意义掌握复数乘、除运算的运算法则会用复数乘、除运算的运算法则进行简单的复数乘、除运算理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律3重点提升数学抽象、数学运算和逻辑推理素养(教师独具内容)1本考点是高考必考内容，属于中低档题目，主要以选择题或填空题的形式考查命题的关注点在复数的乘法与除法运
2、算熟练掌握复数的基本运算法则，准确理解复数的相关概念是解决问题的关键2考查方向有三个方面：一是复数的四则运算，主要考查复数的乘法与除法运算；二是复数的概念，以复数的基本运算为背景，考查复数的模、共轭复数以及实部、虚部等基本概念；三是复数的几何意义，与复数的基本运算相结合主要考查复数对应的点以及模的几何意义的应用(教师独具内容)(教师独具内容)1复数的定义与分类(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部(2)分类满足条件(a，bR)复数的分类abi为实数b0abi为虚数b0abi为纯虚数a0且b02复数的有关概念复数相等abicdiac，bd(a，b，c
3、，dR)共轭复数abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)复数的模设对应的复数为zabi(a，bR)，则向量的模叫做复数zabi的模(或绝对值)，记作|z|或|abi|，即|z|abi|(a，bR)3复数的几何意义复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面实轴、虚轴在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的几何表示复数zabi(a，bR) 复平面内的点Z(a，b)平面向量4复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减
4、法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即，.(3)复数加法的运算定律设z1，z2，z3C，则复数加法满足以下运算律：交换律：z1z2z2z1；结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)(4)复数乘法的运算定律对于任意z1，z2，z3C，复数乘法满足以下运算律：交换律：z1z2z2z1；结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)；分配律：z1(z2z3)z1z2z1z3.
5、5常用结论(1)(1i)22i，i，i.(2)baii(abi)(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)；i4ni4n1i4n2i4n30(nN*)(4)z|z|2|2，|z1z2|z1|z2|，|zn|z|n.1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若aC，则a20.()(2)已知zabi(a，bR)，当a0时，复数z为纯虚数()(3)复数zabi(a，bR)的虚部为bi.()(4)方程x2x10没有解()答案(1)(2)(3)(4)2已知复数z，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数为_答案1i解析因为复数z1i，所以复数z的共轭复数1i.3已知x0，若(xi)2是
6、纯虚数(其中i为虚数单位)，则x_.答案1解析因为(xi)2x22xii2x212xi为纯虚数，所以解得x1.4已知复数z，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为_答案解析解法一：zi，所以z的虚部是.解法二：设zabi(a，bR)，则2i(abi)1i，即2b2ai1i，所以2b1，得b.5已知i为虚数单位，复数zi的模为_答案解析|z|.1(2021新高考卷)已知z2i，则z(i)()A62iB42iC62iD42i答案C解析z(i)(2i)(2ii)(2i)(22i)44i2i2i262i.故选C.2(2021新高考卷)复数在复平面内对应的点所在的象限为()A第一象限B第二象限C第三象限D第
7、四象限答案A解析，所以该复数在复平面内对应的点为，该点在第一象限故选A.3(2021全国甲卷)已知(1i)2z32i，则z()A1iB1iCiDi答案B解析z1i.故选B.4(2021全国乙卷)设2(z)3(z)46i，则z()A12iB12iC1iD1i答案C解析设zabi(a，bR)，则abi,2(z)3(z)4a6bi46i，所以a1，b1，所以z1i.故选C.5(2021全国乙卷)设iz43i，则z()A34iB34iC34iD34i答案C解析由iz43i两边同时乘i，得z4i3，所以z34i.故选C.6(2020全国卷)复数的虚部是()ABC.D答案D解析因为i，所以复数的虚部为.故
8、选D.一、基础知识巩固考点复数的分类及有关概念例1已知i为虚数单位，aR，若(a1)(a1i)是纯虚数，则a的值为()A1或1B1C1D3答案C解析(a1)(a1i)(a21)(a1)i是纯虚数，a1.故选C.例2已知2i，则(z的共轭复数)为()A3iB3iC3iD3i答案C解析由题意得z(2i)(1i)3i，所以3i.故选C.例3设z2i，则|z|()A0BC1D答案C解析因为z2i2ii2ii，所以|z|1.故选C.1.已知复数z的实部与虚部的和为2，则实数a的值为()A0B1C2D3答案D解析易知zi，由题意得2，解得a3.故选D.2若(m2m)(m23m2)i是纯虚数，则实数m的值为
9、()A0B1或2C1D0或1答案A解析(m2m)(m23m2)i是纯虚数，解得m0.故选A.3已知i为虚数单位，复数z，则|z|_.答案解析|z|.解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式zabi(a，bR)，则该复数的实部为a，虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数复数z1abi与z2cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)考点复数的运算例4若z(1i)2i，则z()A1iB1iC1iD1i答案D解析由题意得z1i.故选D.例5已知复数z的共轭复数为，若(1i)2
10、i(i为虚数单位)，则z()AiBi1Ci1Di答案C解析由已知可得1i，则z1i.故选C.例6已知复数z满足z|z|1i，则z()AiBiC1iD1i答案B解析解法一：设zabi(a，bR)，则z|z|abi1i，所以解得所以zi.故选B.解法二：把各选项代入验证，知选项B满足题意4.若复数z满足2z32i，其中i为虚数单位，则z等于()A12iB12iC12iD12i答案B解析设zabi(a，bR)，则abi，2(abi)(abi)32i，整理得3abi32i，解得z12i.故选B.5若z43i，则等于()A1B1C.iDi答案D解析z43i，|z|5，i.故选D.6若复数z满足(34i)
11、z|43i|，则z的虚部为()A4BC4D答案D解析设zabi，故(34i)(abi)3a3bi4ai4b|43i|，所以解得b.故选D.(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化，解题时要注意把i的幂写成最简形式考点复数的几何意义例7设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则xyi在复平面内所对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案D解析x，y是实数，(1i)xxxi1yi，解得xyi在复平面内所对应的点为(
12、1，1)，位于第四象限故选D.例8(2019全国卷)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21B(x1)2y21Cx2(y1)21Dx2(y1)21答案C解析由已知条件，可得zxyi.|zi|1，|xyii|1，x2(y1)21.故选C.例9(2020全国卷)设复数z1，z2满足|z1|z2|2，z1z2i，则|z1z2|_.答案2解析解法一：设z1abi，z2cdi，|z1|z2|2，a2b24，c2d24，z1z2abicdii，ac，bd1，(ac)2(bd)2a2c22acb2d22bd4，2ac2bd4，z1z2abi(cdi)ac(bd)i，
13、|z1z2|2.解法二：|z1|z2|2，可设z12cos2sini，z22cos2sini，z1z22(coscos)2(sinsin)ii，两式平方作和，得4(22coscos2sinsin)4，化简得coscossinsin.|z1z2|2(coscos)2(sinsin)i|2.7.(2021武汉模拟)已知i是虚数单位，复数m1(2m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是()A(，1)B(1,2)C(2，)D(，1)(2，)答案A解析因为复数m1(2m)i在复平面内对应的点在第二象限，所以解得m1.所以实数m的取值范围为(，1)故选A.8(2021福州质检)设复数z满足
14、|z1|zi|，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()Ax0By0Cxy0Dxy0答案D解析复数z满足|z1|zi|，化简，得xy0.故选D.9若虚数(x2)yi(x，yR)的模为，则的最大值是()A.BCD答案D解析因为(x2)yi是虚数，所以y0.又因为|(x2)yi|，所以(x2)2y23(y0)因为是复数xyi对应的点与原点连线的斜率，如图所示，所以maxtanAOB，所以的最大值为.故选D.准确理解复数的几何意义(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即向量对应的复数反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段所表示的向量即
15、复数对应的向量(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般根据复数与复平面内的点一一对应，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化二、核心素养提升例1(多选)已知复数z1cos2isin2(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是()A复数z在复平面内对应的点可能落在第二象限Bz可能为实数C|z|2cosD.的实部为答案BCD解析因为，所以2，所以1cos21，所以01cos22，故A错误；当sin20，0时，复数z是实数，故B正确；|z| 2cos，故C正确；，的实部是，故D正确故选BCD.例2在复平面内，满足条件|z4i|2|zi|的复数z对应的点的轨迹是()A直线B圆C椭圆D双曲线答案B解析
16、设复数zxyi(xR，yR)，则|z4i|x(y4)i|，|zi|x(y1)i|，结合题意有x2(y4)24x24(y1)2，整理可得x2y24.故选B.准确理解复数的几何意义(1)复数z、复平面内的点Z及向量相互联系，即zabi(a，bR)一一对应Z(a，b)一一对应.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观(3)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式(4)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数abi(a，bR)与复平面内的点(a，b)一一对应课时作业一、单项选择题1复数的共轭
17、复数是()A2iB2iC2iD2i答案B解析因为2i，所以复数的共轭复数是2i.故选B.2(2021广东珠海高三模拟)已知i为虚数单位，若复数zai(aR)为实数，则a()A2B1C1D2答案D解析因为zai12iai1(a2)i为实数，所以a2.故选D.3(2021福建泉州高三模拟)法国数学家棣莫弗(16671754)发现的公式(cosxisinx)ncosnxisinnx推动了复数领域的研究根据该公式，可得4()A1BiC1Di答案B解析根据公式得4cosisini.故选B.4(2021江苏常州高三一模)已知z12i，z213i，则复数的虚部为()A1B1C2D2答案A解析由题意，复数z1
18、2i，z213i，可得i，可得复数的虚部为1.故选A.5已知复数z，则下列说法正确的是()Az的模为Bz的虚部为iCz的共轭复数为iDz的共轭复数表示的点在第四象限答案A解析zi.z的模为 ，故A正确；z的虚部为，故B错误；z的共轭复数为i，故C错误；z的共轭复数表示的点为，在第一象限，故D错误故选A.6(2021江门市培英高级中学高三模拟)已知i是虚数单位，若复数z满足2i，则|z|()A.B2C2D4答案C解析由2i，得z2i(1i)22i，则|z|2.故选C.7复数z满足等式(2i)zi，则复数z在复平面内对应的点所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案B解析因为(2
19、i)zi，所以zi，故复数z在复平面内对应的点为，在第二象限故选B.8(2021重庆高三三模)若复数z满足|z1i|12i|，其中i为虚数单位，则z对应的点(x，y)满足方程()A(x1)2(y1)2B(x1)2(y1)25C(x1)2(y1)2D(x1)2(y1)25答案B解析由题意得zxyi(x，yR)，代入|z1i|12i|，得(x1)2(y1)25.故选B.二、多项选择题9设z为复数，在复平面内z，对应的点分别为P，Q，坐标原点为O，则下列命题中正确的有()A当z为纯虚数时，P，O，Q三点共线B当z1i时，POQ为等腰直角三角形C对任意复数z，D当z为实数时，答案ABD解析设zabi(
20、a，bR)，则abi.对于A，当z为纯虚数时，zbi(b0)，bi对应的点分别为P(0，b)，Q(0，b)，O，P，Q均在y轴上，所以P，O，Q三点共线，故A正确；对于B，当z1i时，1i，所以P(1,1)，Q(1，1)，所以|OP|OQ|，而|PQ|2，所以|OP|2|OQ|2|PQ|2，所以POQ为等腰直角三角形，故B正确；对于C，(a，b)，(a，b)，当b0时，(a,0)，故C错误，D正确故选ABD.10设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题正确的是()A若z0，则z0B若zR，则zRC若zcosisin，则|z|1D若|zi|1，则|z|的最大值为2答案ABD解析若z0，即|
21、z|20，|z|0，则z0，A正确；若zR，即z的虚部为0，则zR，B正确；若zcosisin，则|z|1，C错误；若|zi|1，设zxyi(x，yR)，即x2(y1)21，则|z|表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D正确故选ABD.三、填空题11若复数m3(m29)i0，则实数m的值为_答案3解析m3(m29)i0，解得m3.12(2021安徽师范大学附属中学高三模拟)若复数z在复平面内所对应的点的坐标为，则z2021_.答案0解析由已知可得zi，则z22ii，所以z31，所以z2021z36732z20.13在复平面内，设点A，P所对应的复数分别为i，cosisin(i为虚数单位)，
22、则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是_答案解析由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为(0，)，如图当t时，点P的坐标为P1，当t时，点P的坐标为P2，向量所扫过的图形区域的面积是AP1P2的面积与弓形的面积之和由于P1，P2关于实轴对称，所以AP1P2的面积等于OP1P2的面积(因为这两个三角形同底且等高)，故向量所扫过的图形区域的面积是扇形P1OP2的面积因为P1OP22，所以扇形P1OP2的面积为12.14已知实数x和复数m满足(43i)x2mx43i0，则|m|的最小值是_答案8解析设mabi，(43i)x2(abi)x43i0，(4x2ax4)(3x2bx3)i0，a，b
23、，|m|8，当且仅当x21时“”成立四、解答题15已知复数z是虚数，z.(1)当z12i时，求的虚部；(2)当R时，求|z|.解(1)当z12i时，z12i12i12i24i32i，因此的虚部为2.(2)设zabi(a，bR)，则zabiabiii，因为R，则b0，所以b0或a2b210.因为z为虚数，所以b0，故a2b210，因此|z|.16已知复数zm2(1i)m(3i)6i，mR.(1)当m为何值时，z为纯虚数？(2)当m为何值时，z在复平面内对应的点在第三象限？解复数zm2(1i)m(3i)6i(m23m)(m2m6)i，(1)由题意，得解得m0，所以当m0时，z为纯虚数(2)若z在复平面内对应的点在第三象限，则解得0m3，所以当0m3时，z在复平面内对应的点在第三象限17若zxyi(x，yR)，i为虚数单位，在复平面内z所对应的点为Z，且|z22i|1.(1)求满足上述条件的点Z的集合是什么图形并且求该图形的方程；(2)求|z22i|的最小值解(1)由|z22i|1，得|z(22i)|1，因此复数z在复平面内对应的点Z在以z022i对应的点Z0(2,2)为圆心，1为半径的圆上，方程为(x2)2(y2)21.如图所示(2)设t|z22i|，则t是点Z到22i对应的点A(2,2)的距离又|AZ0|4，由图知tmin|AZ0|13.