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1、37函数的图象(教师独具内容)1在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数2会运用函数的图象理解和研究函数的性质，函数图象是函数性质在“形”上的直接体现，借助函数图象的直观性可以帮助我们迅速解决方程解的个数与不等式解集的问题3通过函数图象的识别与应用两个方面提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养(教师独具内容)1本考点是历年高考常考的内容，属于中档题目，多为选择题，命题的重点是判断给出解析式的函数对应的图象，函数图象的应用多渗透在解答题中2考查方向主要有三个方面：一是考查函数图象的识别，根据给出的函数解析式识别其图象；二是考查图象的变换，常见类型为函数图象的平移、对称、伸
2、缩变换；三是考查函数图象的应用，根据函数图象求参数、解不等式及确定两函数图象的交点个数3要熟练掌握基本初等函数的图象与性质，准确识记函数图象变换的规律，掌握函数图象识别的一些基本技巧，如利用图象的对称性、函数值的符号等排除干扰项，从而得到正确选项(教师独具内容)(教师独具内容)1利用描点法作函数图象的方法步骤其基本步骤是列表、描点、连线首先，确定函数的定义域并化简函数的解析式，讨论函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性).其次，列表，除考虑点的一般性外，尤其要注意特殊点，如：与坐标轴的交点、顶点、端点、最(极)值点、对称点等然后，画出直角坐标系，准确描出表中所表示的各个点最后，用光滑的曲线
3、依次连接所描的各个点，得到图象2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)伸缩变换yf(x)yf(x)yf(x)yAf(x)(3)对称变换yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)yax(a0且a1)ylogax(a0且a1)(4)翻折变换yf(x)y|f(x)|yf(x)yf(|x|)1李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶则与以上事件吻合最好的图象是()答案C解析距学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降的快2下列图象是函数y的图象的是()答案C解析其图象是由
4、yx2图象中x0时，y|x|与yax的图象只有一个交点，方程|x|ax只有一个实数解1(2021浙江高考)已知函数f(x)x2，g(x)sin x，则图象如图的函数可能是()A.yf(x)g(x)B.yf(x)g(x)Cyf(x)g(x)Dy答案D解析易知函数f(x)x2是偶函数，g(x)sin x是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数选项A，yf(x)g(x)x2sin x为非奇非偶函数，不符合题意，排除A；选项B，yf(x)g(x)x2sin x也为非奇非偶函数，不符合题意，排除B；选项C，因为当x(0，)时，f(x)单调递增，且f(x)0，当x时，g(x)单调递增，且g(x)0，所以yf
5、(x)g(x)在上单调递增，由图象可知所求函数在上不单调，排除C.故选D.2(2020天津高考)函数y的图象大致为()答案A解析因为f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，排除C，D；当x1时，y20，排除B.故选A.3(2019全国卷)函数f(x)在，的图象大致为()答案D解析f(x)f(x)，f(x)为奇函数，排除A.又f()0，排除B，C.故选D.一、基础知识巩固考点作函数的图象例1作出下列函数的图象(1)y(2)y2x2；(3)yx22|x|1.解(1)分段分别作出函数的图象，如图1所示(2)y2x2的图象是由y2x的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如
6、图2所示(3)y其图象如图3所示1.作出函数y2x11的图象解将y2x的图象向左平移1个单位，得到y2x1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y2x11的图象，如图所示2作出函数y|x22x1|的图象解y其图象如图所示作函数图象的方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序考点函数图象的识辨例2(2021正定模拟)若函数f(x)axax(a0且a1)在R上为减函数，则函数yloga(|x|1)的图象可以是()答案C
7、解析由函数f(x)axax在R上为减函数，可知0a1或x1，故排除A，B；又yloga(|x|1)可知yloga(|x|1)在(1，)上单调递减，故排除D.例3如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线lAB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AEx，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是()答案C解析当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢故选C.3.(2021青岛模拟)函数f(x)的部分图象大致为()答案B解析因为f(x)f
8、(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C；又f(2)，因为20，所以f(2)0，排除D.故选B.4.如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，则当P沿ABCM运动时，点P经过的路程x与APM的面积y的函数yf(x)的图象大致是下图中的()答案A解析当点P在AB上时，yx1x，0x1；当点P在BC上时，yS正方形ABCDSADMSABPSPCMx，1x2；当点P在CD上时，y1x，2x.由函数可知，有三段直线，又当点P在BC和CD上时是减函数故选A.1辨析函数图象的入手点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性
9、，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象2函数图象的识别问题需注意的“三关”(1)取“特殊点关”，即根据已知函数的解析式选取特殊的点，判断选项中的图象是否经过这些点，若不满足则排除(2)用“性质关”，即根据选项中的图象特点，结合函数的奇偶性、单调性等来排除选项(3)用“极限思想关”，即应用极限思想来处理，达到巧解妙算的效果，使解题过程费时少、准确率高考点函数图象的应用例4已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，单调递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，单调递减区间是
10、(，1)Cf(x)是奇函数，单调递减区间是(1，1)Df(x)是奇函数，单调递增区间是(，0)答案C解析f(x)x|x|2x画出函数f(x)的图象如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1，1)上单调递减例5函数f(x)是定义在4，4上的偶函数，其在0，4上的图象如图所示，那么不等式0；当x时，ycos x0.结合yf(x)，x0，4上的图象可知，当1x时，0.又函数y为偶函数，所以在4，0上，0的解集为，所以0)得ln x(x0)，即ln x(x0).令y1ln x(x0)，y2(x0)，在同一直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，如图所示根据图象可
11、知两函数图象只有一个交点，所以原方程实根的个数为1.5.(多选)对任意两个实数a，b，定义mina，b若f(x)2x2，g(x)x2，下列关于函数F(x)minf(x)，g(x)的说法正确的是()A函数F(x)是偶函数B方程F(x)0有三个解C函数F(x)在区间1，1上单调递增D函数F(x)有4个单调区间答案ABD解析由题意，知函数mina，b为取小函数根据f(x)2x2与g(x)x2，画出F(x)minf(x)，g(x)的图象如图所示由图可知，函数F(x)minf(x)，g(x)的图象关于y轴对称，所以A正确；函数图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)0有三个解，所以B正确；函数F(x)在(
12、，1上单调递增，在1，0上单调递减，在0，1上单调递增，在1，)上单调递减，所以C错误，D正确6.(2021福州市第一学期抽测)如图，函数f(x)的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f(x)x2xa的解集中有且仅有1个整数，则实数a的取值范围是()Aa|2a1Ba|2a1Ca|2a2Da|a2答案B解析根据题意可知f(x)不等式f(x)x2xa等价于ax2xf(x)，令g(x)x2xf(x)作出g(x)和ya的大致图象，如图所示，又g(0)2，g(1)1，g(1)2，所以要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则2a1，则实数a的取值范围是a|2a1，则实数m的取值范围是 答案0(，0
13、)(e，)解析f(f(0)f(1)ln 10.如图所示，可得f(x)的图象与直线y1的交点分别为(0，1)，(e，1).若f(m)1，则实数m的取值范围是(，0)(e，).1利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本初等函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标2利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解二、核心素养提升例1(多选)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个
14、函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)log2(x1)，f2(x)log2(x2)，f3(x)log2x2，f4(x)log2(2x)，其中“同形”函数是()Af2(x)与f4(x) Bf1(x)与f3(x)Cf1(x)与f4(x) Df3(x)与f4(x)答案AC解析f3(x)log2x2是偶函数，图象关于y轴对称，故其他函数的图象经过平移后不可能与f3(x)的图象重合，故排除B，D；f4(x)log2(2x)1log2x，将f2(x)log2(x2)的图象沿着x轴先向右平移两个单位得到ylog2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位可得到f4(x)log2(2x)1log2x的图象，可
15、知A是“同形”函数；将f1(x)log2(x1)的图象沿着x轴向右平移一个单位得到ylog2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位可得到f4(x)log2(2x)1log2x的图象，可知C是“同形”函数故选AC.例2(2021淮安模拟)已知定义在R上的函数f(x)在(，2)上是减函数，若g(x)f(x2)是奇函数，且g(2)0，则不等式xf(x)0的解集是()A(，22，)B4，20，)C(，42，)D(，40，)答案C解析g(x)f(x2)的图象是把函数f(x)的图象向右平移2个单位得到的，且g(2)g(0)0，f(4)g(2)g(2)0，f(2)g(0)0，画出f(x)的大致图象如图所示结合
16、函数的图象可知，当x4或x2时，xf(x)0.故选C.例3(2021深圳模拟)已知函数f(x)若不等式f(x)kxk10的解集为空集，则实数k的取值范围为()A(22，0 B(23，0C22，0 D1，0答案C解析因为不等式f(x)kxk10且x0时，y，排除A；当x2时，y1ln 20，排除D；f(1)ln 20，排除C；fln 0，排除B.故选A.5若函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x1)的图象大致为()答案C解析要想由yf(x)的图象得到yf(x1)的图象，需要先将yf(x)的图象关于x轴对称得到yf(x)的图象，然后向左平移一个单位长度得到yf(x1)的图象，根据上述步骤可知
17、C正确故选C.6.如图，有四个平面图形，分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆垂直于x轴的直线l：xt(0ta)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数yf(x)的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是()答案C解析由yf(x)的图象可知面积递增的速度先快后慢，对于C，后半程是匀速递增，所以平面图形的形状不可能是C.故选C.7若直角坐标系内A，B两点满足：点A，B都在f(x)的图象上；点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”已知函数f(x)则f(x)的“和谐点对”有(
18、)A1个 B2个 C3个 D4个答案B解析作出函数yx22x(x0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y(x0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个故选B.8已知图1中的图象对应的函数为yf(x)，则图2中的图象对应的函数为()Ayf(|x|) Byf(|x|)Cy|f(x)| Dyf(|x|)答案B解析观察函数图象，知题图2是由题图1保留y轴左侧部分图象，并将左侧图象翻折到右侧所得，因此题图2中对应的函数解析式为yf(|x|).二、多项选择题9(2022烟台模拟)对于函数f(x)lg (|x2|1)，下列说法正确的是()Af(x2)是偶函数Bf(x
19、2)是奇函数Cf(x)在区间(，2)上是减函数，在区间(2，)上是增函数Df(x)没有最小值答案AC解析f(x2)lg (|x|1)为偶函数，A正确，B错误；作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(，2)上是减函数，在(2，)上是增函数，由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误10已知函数f(x)x，g(x)x4，则下列结论正确的是()A若h(x)f(x)g(x)，则函数h(x)的最小值为4B若h(x)f(x)|g(x)|，则函数h(x)的值域为RC若h(x)|f(x)|g(x)|，则函数h(x)有且仅有一个零点D若h(x)|f(x)|g(x)|，则|h(x)|4恒成立答案BCD解析对于
20、A，h(x)x(x4)x24x(x2)24，当x2时，h(x)的最小值为4，故A错误；对于B，h(x)x|x4|画出h(x)的图象如图1所示，则h(x)的值域为R，故B正确；对于C，h(x)|x|x4|画出h(x)的图象如图2所示，则h(x)有一个零点2，故C正确；由C选项的分析，结合h(x)图象可知|h(x)|4恒成立，故D正确故选BCD.三、填空题11设函数yf(x1)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，在区间(，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x1)f(x)0的解集为 答案x|x0或1x2解析作出f(x)的大致图象如图所示不等式(x1)f(x)0可化为或由图可知符合条件的
21、解集为x|x0或1x212已知函数f(x)a，b，c，d是互不相同的正数，且f(a)f(b)f(c)f(d)，则abcd的取值范围是 答案(24，25)解析作出函数f(x)的大致图象如图所示因为a，b，c，d互不相同，不妨设abcd，由于f(a)f(b)f(c)f(d)，则有log4alog4b，即log4alog4b0，可得ab1，则abcdcd.由cd10，且cd，可得cd1(x0)，所以当f(x)exa的图象上存在奇对称点时，实数a的取值范围是(1，).14已知函数f(x)其中m0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的实数根，则m的取值范围是 答案(3，)解析当m0时，函
22、数f(x)的图象如图所示，xm时，f(x)x22mx4m(xm)24mm24mm2，要使得关于x的方程f(x)b有三个不同的实数根，则4mm20)，即m23m(m0)，解得m3，m的取值范围是(3，).四、解答题15画出下列函数的图象(1)yeln x；(2)y|x2|(x1).解(1)因为函数的定义域为x|x0，所以yeln xx(x0)，其图象如图所示(2)当x20，即x2时，y(x2)(x1)x2x2；当x20，即x0在R上恒成立，求实数m的取值范围解(1)令F(x)|f(x)2|2x2|，G(x)m，画出F(x)的图象如图所示由图象可知，当m0或m2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个实数解；当0m0)，H(t)t2t(t0)，因为H(t)在区间(0，)上是增函数，所以H(t)H(0)0.因此要使t2tm在区间(0，)上恒成立，应有m0，即实数m的取值范围为(，0.17若关于x的不等式4ax13x4(a0，且a1)对于任意的x2恒成立，求a的取值范围.解不等式4ax13x4等价于ax1x1.令f(x)ax1，g(x)x1，当a1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图1所示，由图知不满足条件；当0a1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图2所示，当x2时，f(2)g(2)，即a2121，解得a.所以a的取值范围是.