《2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第七章7.4正弦定理、余弦定理（word含答案解析）.DOC》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第七章7.4正弦定理、余弦定理（word含答案解析）.DOC（27页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、74正弦定理、余弦定理(教师独具内容)1借助向量的运算，通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能运用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题通过教材实例理解正弦定理、余弦定理的推导，结合教材实例掌握正弦定理、余弦定理及其应用2能运用余弦定理、正弦定理解决三角形形状的判断问题能够综合运用余弦定理、正弦定理解决实际问题3重点提升逻辑推理、数学运算和数学建模素养(教师独具内容)1解三角形问题是高考的高频考点，属于中低档题目，三种题型都有可能考查，大多放在解答题的第一题或第二题，命题的关注点在于两个定理的简单应用正确掌握正弦定理与余弦定理，这是实现边角互化的基础；熟练掌
2、握三角恒等变换，这是准确简化已知条件求角的基础2高考中经常将三角恒等变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到而三角恒等变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式3正弦定理、余弦定理应用的主要功能是实现三角形中的边角互化正弦定理、余弦定理的灵活应用需深入领会化归与转化思想，在解题中多归纳、多总结，抽象概括，总结方法规律4涉及应用正弦定理、余弦定理的
3、另一种题型是判断三角形的形状，通常从两个方向进行变形：一个方向是边，考虑代数变形，通常正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，考虑三角变形，通常运用正弦定理(教师独具内容)(教师独具内容)1正弦定理2R(R为ABC外接圆的半径)正弦定理的常见变形(1)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.(2)sinA，sinB，sinC.(3)abcsinAsinBsinC.(4).(5)asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA2余弦定理a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC.余弦定理的常见变形(1)cosA.(2)cosB.
4、(3)cosC注：(1)应用正弦定理及三角形内角和定理可以求解以下两类解三角形问题：已知两角和任一边，求其他的边和角；已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角(2)应用余弦定理可以求解以下三类解三角形问题：已知三边求三内角；已知两边和它们的夹角，求第三边和求其他两个内角；已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角3三角形的面积公式(1)SABCaha(ha为边a上的高)(2)SABCabsinCbcsinAacsinB.(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)(4)SABC，其中p(abc)4常用结论(1)三角形中的三角函数关系sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；sincos；
5、cossin；在ABC中，最大内角的取值范围是，最小内角的取值范围是；在锐角三角形ABC中，sinAcosB，sinBcosC，sinCcosA.(2)在ABC中，内角A，B，C成等差数列B，AC.(3)在斜三角形ABC中，tanAtanBtanCtanAtanBtanC.(4)三角形中的射影定理在ABC中，abcosCccosB，bacosCccosA，cbcosAacosB.(5)在ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，ABabsinAsinBcosAcosB.(6)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行
6、转化(7)注意题目中的隐含条件，如ABC，0A，bcabc等5在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数12111思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)在ABC中，若sinAsinB，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素()(4)当b2c2a20时，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；当b2c2a20时，ABC为钝角三角形()答案(1)(2)(3)(4)2在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC等于()A.BC.D
7、答案C解析在ABC中，设ABc5，ACb3，BCa7，所以由余弦定理得cosBAC，因为BAC(0，)，所以BAC.故选C.3在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A，B，c3，则a()A.B2C3D4答案C解析因为A，B，所以C.由，得a3.故选C.4(多选)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是()Aa2b2c22bccosABasinBbsinACabcosCccosBDacosBbcosAsinC答案ABC解析对于A，由余弦定理得a2b2c22bccosA，故A正确；对于B，由正弦定理得，asinBbsinA，故B正确；对于C，由余弦定理得bco
8、sCccosBbca，故C正确；对于D，由余弦定理得acosBbcosAabcsinC，故D错误故选ABC.5在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_答案2解析因为，所以sinB1，所以B90，所以AB2，所以SABC222.1(2021全国甲卷)在ABC中，已知B120，AC，AB2，则BC()A1BCD3答案D解析解法一：由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcosB，得BC22BC150，解得BC3或BC5(舍去)故选D.解法二：由正弦定理，得sinC，从而cosC(C是锐角)，所以sinAsin(BC)sin(BC)sinBcosCcosBsinC.又，所以BC3.故选
9、D.2(2020全国卷)在ABC中，cosC，AC4，BC3，则cosB()A.BC.D答案A解析在ABC中，cosC，AC4，BC3，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosC42322439，AB3，cosB.故选A.3(2021新高考卷)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，ba1，ca2.(1)若2sinC3sinA，求ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解(1)因为2sinC3sinA，所以2c2(a2)3a，则a4，故b5，c6，cosC，所以C为锐角，则sinC，因此SABCabsinC45.(2
10、)显然cba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得cosC0，解得1a3，则0aa2，可得a1，又aZ，故a2.一、基础知识巩固考点利用正弦、余弦定理解三角形例1在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB()A4BCD2答案A解析因为cosC2cos21221，所以AB2BC2AC22BCACcosC12521532，所以AB4.故选A.例2在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcosAasinB.(1)求角A的大小；(2)若a2，B，求b，c的长解(1)由bcosAasinB及正弦定理，得sinBcosAsinAsinB，又sinB0，所以tanA，因为0A，所以A.
11、(2)由bcosAasinB，a2，B，得b2，解得b4.由余弦定理，得a2b2c22bccosA16c224c8，即c24c80，解得c22或c22，又CAB，CB，所以c22.1.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinBcosCcsinBcosAb，且ab，则B()A.BCD答案A解析asinBcosCcsinBcosAb，由正弦定理得sinAsinBcosCsinCsinBcosAsinB，即sinB(sinAcosCsinCcosA)sinB.sinB0，sin(AC)，即sinB.ab，AB，即B为锐角，B.故选A.2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，
12、c.若a2，A30，C105，则b()A1BC2D2答案C解析A30，C105，ABC180，B45.由正弦定理可知，即，解得b2.故选C.应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a，b，c或其他相应变形公式求解(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA，sinB，sinC或其他相应变形公式求解(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2b2c2ab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理考点利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例3设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosCccosBasinA，
13、则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定答案B解析由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsin2A，sin(BC)sin2A，即sinAsin2A.A(0，)，sinA0，sinA1，即A，ABC为直角三角形故选B.例4(多选)已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是()A若tanAtanBtanC0，则ABC是锐角三角形B若acosAbcosB，则ABC是等腰三角形C若bcosCccosBb，则ABC是等腰三角形D若，则ABC是等边三角形答案ACD解析tanAtanBtanCtanAtanBtanC0，A，B，C均为锐角，A正确
14、；由acosAbcosB及正弦定理，可得sin2Asin2B，AB或AB，ABC是等腰三角形或直角三角形，B错误；由bcosCccosBb及正弦定理，可知sinBcosCsinCcosBsinB，sinAsinB，AB，C正确；由已知和正弦定理，易知tanAtanBtanC，D正确故选ACD.3.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosAbcosB，且c2a2b2ab，则ABC的形状为()A等腰三角形或直角三角形B等腰直角三角形C直角三角形D等边三角形答案D解析因为acosAbcosB，所以sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，又A，B(0，)，故可得
15、AB或AB.由c2a2b2ab，得cosC，又C(0，)，故可得C.综上所述，ABC，故ABC是等边三角形故选D.4(多选)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是()AsinAsinBsinC(cosAcosB)BCcos2DacosBbcosAc答案ACD解析sinAsinBsinC(cosAcosB)，利用正弦定理角化边有abc(cosAcosB)，整理得ccosBbcosCacosCccosAc(cosAcosB)，有(ab)cosC0，因为ab0，所以cosC0C，故A正确；可知当三角形为等边三角形时，同样成立，故B错误；cos2，
16、根据半角公式，得ccosBaccosBccosBbcosC，整理得bcosC0C，故C正确；acosBbcosAc，因为在任意的三角形中都有acosBbcosAc，所以两式相减可得2bcosA0A，故D正确故选ACD.判断三角形形状的方法(1)化边：通过因式分解、配方等得到边的相对应关系，从而判断三角形的形状(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状(此时要注意应用ABC这个结论)注：(1)钝角三角形：a2b2c2或A90.(2)锐角三角形：a为最大边，且满足a2b2c2或A为最大角，且A90.考点与三角形面积有关的问题例5ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
17、已知sinAcosA0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解(1)由已知条件可得tanA，A(0，)，所以A，在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240，解得c6(舍去)或c4.(2)解法一：如图，由题设可得CAD，所以BADBACCAD，故ABD的面积与ACD的面积的比值为1，又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为.解法二：由余弦定理得cosC，在RtACD中，cosC，所以CD，所以AD，DBCD，所以SABDSACD2.解法三：BAD，由余弦定理得cosC，在RtACD中，cosC，所以CD，所以AD，所以SA
18、BD4sinBAD.例6已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)若ABC的面积为，且ac8，求边b的长度解(1)由正弦定理及诱导公式得，整理得2sinAcosBsin(BC)0，即2sinAcosBsinA0，即sinA(2cosB1)0，A(0，)，sinA0，cosB，又B(0，)，B.(2)ABC的面积为，SABCacsinBac，可得ac15，由余弦定理得b2a2c22accosBa2c2ac(ac)2ac821549，因此b7.例7在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其外接圆的半径是1，且满足2(sin2Asin2C)(ab)s
19、inB.(1)求角C的大小；(2)求ABC面积的最大值解(1)在ABC中，其外接圆的半径是1，2R2，sinA，sinB，sinC.又2(sin2Asin2C)(ab)sinB，2(ab)，即a2b2c2ab，cosC.又C(0，)，C.(2)C，AB，即BA.2，即a2sinA，b2sinB，SABCabsinC2sinAsinBsinsinAsinBsinAsinsinAsinAcosAsin2Asin2A(1cos2A)sin，A，2A，当2A，即A时，ABC的面积取得最大值为.5.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积为()A6BC3
20、D答案B解析由条件可知c2a2b22ab6，由余弦定理可知c2a2b22abcosCa2b2ab，所以由可知62abab，即ab6，则ABC的面积为SabsinC6.故选B.6ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_答案6解析由余弦定理得b2a2c22accosB，又b6，a2c，B，364c2c222c2，c2，a4，SABCacsinB426.7在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC(2bc)cosA.(1)求角A的大小；(2)若a2，求ABC面积的最大值解(1)由正弦定理可得，sinAcosC2sinBcosAsinCco
21、sA，从而可得，sin(AC)2sinBcosA，即sinB2sinBcosA，又B为三角形的内角，所以sinB0，于是cosA，又A(0，)，所以A.(2)由余弦定理a2b2c22bccosA得，4b2c22bc2bcbc，当且仅当bc时取等号，所以bc4(2)，所以SbcsinA2.所以ABC面积的最大值为2.1求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键2已知三角形面积求边、角的方法
22、(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解二、核心素养提升例1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，2sinAsinB，且b6，则c的值为_答案4解析由余弦定理得a2b2c22bcb2c2bc.又2sinAsinB，故由正、余弦定理可得2ab，即a2b24c20，则b2c2bcb24c20.又b6，所以c22c240，解得c4.例2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c7，sinC.若ab11，则ABC的面积为_答案6解析在ABC中，因为sinC，所以cosC.当cosC
23、时，根据余弦定理c2a2b22abcosC，及ab11，c7，得491212ab，所以ab30.所以解得或所以ABC的面积SABCabsinC6.当cosC时，根据余弦定理c2a2b22abcosC，及ab11，c7，得ab45，此时方程组无解综上，ABC的面积为6.例3已知四边形ABCD为矩形，AB，BC1，E为AB上一点，AC与DE相交于点F，若DF2FE，则的值为_答案解析如图，在矩形ABCD中，CDAB，CDAB，则AEFCDF，所以，所以AE.在DAE中，由正弦定理得.“解三角形”的总体难度适中，入手比较容易，但在具体解决问题时，易出现公式记忆不准确；在三角函数公式的变形中转化不当，
24、导致后续求解复杂或运算错误；忽视三角形中的隐含条件，求边、角时忽略其范围等问题解决此类问题要强化以下三个意识：一、边角互化；二、函数与方程思想的应用；三、认知图形课时作业一、单项选择题1已知ABC中，a1，b，B45，则A等于()A150B90C60D30答案D解析由正弦定理，得，得sinA.又ab，AB45.A30.故选D.2若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2AasinB，且c2b，则()A.BCD答案D解析解法一：bsin2AasinB，则sinB2sinAcosAsinAsinB，因为sinAsinB0，所以cosA，又A(0，)，故A.由c2b，得sinC
25、2sinB2sin，化简整理得cosC0，且C(0，)，故C，B，.故选D.解法二：由bsin2AasinB，得2sinBsinAcosAsinAsinB，得cosA，又c2b，由余弦定理得a2b2c22bccosAb24b24b23b2，得.故选D.3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(bac)(bca)3bc，则ABC的形状为()A直角三角形B等腰非等边三角形C等边三角形D钝角三角形答案C解析因为，所以，所以bc.又(bca)(bca)3bc，所以b2c2a2bc，所以cosA.因为A(0，)，所以A，所以ABC是等边三角形故选C.4在ABC中，B，BC边上的高等于BC，
26、则cosA()A.BCD答案C解析如图，设BC边上的高为AD，则BC3AD.结合题意知BDAD，DC2AD，所以ACAD，ABAD.由余弦定理，得cosA.故选C.5在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosAacosBc2，ab2，则ABC的周长为()A7.5B7C6D5答案D解析解法一：bcosAacosBc2，ab2，由余弦定理可得bac2，整理可得2c22c3，解得c1，则ABC的周长为abc2215.故选D.解法二：由正弦定理得sinBcosAsinAcosBcsinC，即sin(AB)sinCcsinC，所以c1，故ABC的周长为abc2215.故选D.6(2022
27、山东菏泽一中模拟)在ABC中，下列四个命题中不正确的是()A若AB，则sinAsinBB若sinAsinB，则AB，则D若Acos2B答案C解析若AB，则ab，由正弦定理得2RsinA2RsinB，所以sinAsinB，故A正确；同理B正确；当A120，B30时，0，故C不正确；若AB，则sinAsinB，所以sin2A1sin2B，所以cos2Acos2B，故D正确故选C.7(2022河北唐山模拟)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若ABC外接圆的半径为1，则b()A.B2CD答案C解析由题意，得2bcosBacosCccos
28、A，由正弦定理，得2sinBcosBsinAcosCsinCcosA，即2sinBcosBsin(AC)sinB，故cosB，则B.又ABC外接圆的半径为1，则b2RsinB.故选C.8在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a1，b.则SABC()A.BCD2答案C解析因为A，B，C依次成等差数列，所以B60，所以由余弦定理得b2a2c22accosB，得c2，所以SABCacsinB.故选C.二、多项选择题9在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是()Ab7，c3，C30Bb5，c4，B45Ca6，b3，B60Da20，b30，A30答案B
29、C解析对于A，因为b7，c3，C30，所以由正弦定理可得sinB1，无解；对于B，b5，c4，B45，所以由正弦定理可得sinC1，且cb，有一解；对于C，因为a6，b3，B60，所以由正弦定理可得sinA1，A90，此时C30，有一解；对于D，因为a20，b30，A30，所以由正弦定理可得sinB1，且ba，所以B有两个值，有两解故选BC.10在ABC中，已知bcosCccosB2b，且，则()Aa，b，c成等比数列BsinAsinBsinC21C若a4，则SABCDA，B，C成等差数列答案BC解析因为bcosCccosB2b，所以sinBcosCsinCcosBsin(BC)sinA2si
30、nB，即a2b.又因为，所以，即sin2CsinAsinB，c2ab，所以a，c，b成等比数列，故A错误；因为a2b，c2ab，所以abc21，即sinAsinBsinC21，故B正确；若a4，则b2，c2，则cosB，因为0B，所以sinB.故SABC42，故C正确；若A，B，C成等差数列，则2BAC.又因为ABC，则B.因为abc21，设a2k，bk，ck，k0，则cosB，故D错误故选BC.三、填空题11在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A60，则c_.答案3解析由余弦定理，得a2b2c22bccosA，c22c30，解得c3(c1舍去)12在锐角三角形ABC
31、中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosB，b4，SABC4，则ABC的周长为_答案44解析由cosB，得sinB，由三角形面积公式可得acsinBac4，则ac12，由b2a2c22accosB，可得16a2c2212，则a2c224.联立可得ac2，所以ABC的周长为44.13在ABC中，C60，且2，则ABC的面积S的最大值为_答案解析由C60及2，可得c.由余弦定理得3b2a2abab(当且仅当ab时取等号)，SabsinC3，ABC的面积S的最大值为.14已知在ABC中，AC，BC，ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使BDC，则CD_.答案解析因为AC，BC，A
32、BC的面积为ACBCsinACBsinACB，所以sinACB，所以ACB或，若ACB，则BDC，与三角形内角和定理矛盾，所以ACB，所以在ABC中，由余弦定理得AB，所以ABAC，所以B，所以在BDC中，由正弦定理可得CD.四、解答题15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2Bcos2Csin2AsinAsinB.(1)求角C的大小；(2)若A，ABC的面积为4，M为BC的中点，求AM.解(1)由cos2Bcos2Csin2AsinAsinB，得sin2Csin2Bsin2AsinAsinB.由正弦定理，得c2b2a2ab，即a2b2c2ab，所以cosC.因为0C，所
33、以C.(2)因为A，所以B.所以ABC为等腰三角形，且顶角C.因为SABCabsinCa24，所以a4.在MAC中，AC4，CM2，C，所以AM2AC2CM22ACCMcosC16424228，所以AM2.16ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b.(1)求ABC外接圆的直径；(2)求ac的取值范围解(1)因为角A，B，C成等差数列，所以2BAC，又因为ABC，所以B.根据正弦定理得，ABC外接圆的直径2R1.(2)解法一：由B，知AC，可得0A.由(1)知ABC外接圆的直径为1，根据正弦定理得1，所以acsinAsinCsinAsinsin.因为0A，所
34、以A，所以sin1，从而sin，所以ac的取值范围是.解法二：由(1)知，B，b2a2c22accosB(ac)23ac(ac)232(ac)2(当且仅当ac时，取等号)，因为b，所以(ac)23，即ac，又三角形两边之和大于第三边，所以ac，所以ac的取值范围是.17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(ac)(sinAsinC)(bc)sinB.(1)求角A的大小；(2)若a2bcosC，试判断ABC的形状并给出证明解(1)(ac)(sinAsinC)(bc)sinB，由正弦定理得(ac)(ac)(bc)b，根据余弦定理知cosA.又角A为ABC的内角，A.(2)ABC为等边三角形证明如下：a2bcosC，由正弦定理得sinA2sinBcosC.由三角形内角和公式得A(BC)，故sinAsin(BC)，sin(BC)2sinBcosC，整理得sinBcosCcosBsinC0，sin(BC)0，又BC(，)，BC.又由(1)知A，ABC为等边三角形