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1、绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在
2、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1ABCD2已知集合，则中元素的个数为A9B8C5D43函数的图象大致为4已知向量，满足，则A4B3C2D05双曲线的离心率为，则其渐近线方程为ABCD6在中，则ABCD7为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入ABCD8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是ABCD9在长方体中，则异面直线及所成角的余弦值为ABCD10若在是减函数，则的最大值是ABCD11已知是定义域为的奇函数，满足若，则AB
3、0C2D5012已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13曲线在点处的切线方程为_14若满足约束条件则的最大值为_15已知，则_16已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，及圆锥底面所成角为45，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值18（1
4、2分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了及时间变量的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型：（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由19（12分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线及交于，两点，（1）求的方程；（2）求过点，且及的准线相切的圆的方程20（12分）如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点
5、在棱上，且二面角为，求及平面所成角的正弦值21（12分）已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系及参数方程（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率23选修45：不等式选讲（10分）设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1D2A3B4B5A6A7B8C9C10
6、A11C12D二、填空题131491516三、解答题17解：（1）设的公差为d，由题意得由得d=2所以的通项公式为（2）由（1）得所以当n=4时，取得最小值，最小值为1618解：（1）利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)（2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至20
7、16年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到的预测值2261亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分19解：（1）由题意得，l的方程为设，由得，故所以由题设知，解得（舍去），因此l的方程为（2）由（1）得AB的中点坐标
8、为，所以AB的垂直平分线方程为，即设所求圆的圆心坐标为，则解得或因此所求圆的方程为或20解：（1）因为，为的中点，所以，且连结因为，所以为等腰直角三角形，且，由知由知平面（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系由已知得取平面的法向量设，则设平面的法向量为由得，可取，所以由已知得所以解得（舍去），所以又，所以所以及平面所成角的正弦值为21解：（1）当时，等价于设函数，则当时，所以在单调递减而，故当时，即（2）设函数在只有一个零点当且仅当在只有一个零点（i）当时，没有零点；（ii）当时，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增故是在的最小值若，即，在没有零点；若，即，在只有一
9、个零点；若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，所以故在有一个零点，因此在有两个零点综上，在只有一个零点时，22解：（1）曲线的直角坐标方程为当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以有两个解，设为，则又由得，故，于是直线的斜率23解：（1）当时，可得的解集为（2）等价于而，且当时等号成立故等价于由可得或，所以的取值范围是21（12分）已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求解：（1），当时，当时，所以在单调递减，在单调递增，故，在单调递增因为，所以（2）当时，设，则，在只有一个零点等价于在只有一个零点，当时，当时，所以在单调递减，在单调递增，故若，则，在没有零点若，则，在有唯一零点若，因为，由（1）知当时，故存在，使第 9 页