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1、关于异面直线及其夹角第1页，讲稿共30张，创作于星期六例例1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面直线所成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1；ABCDD1C1B1A1第2页，讲稿共
2、30张，创作于星期六例例1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面直线所成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1；ABCDD1C1B1A1第3页，讲稿共30张，创作于星期六例例1 1 在
3、正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面直线所成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以下各对异面直线所成的角：以下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1；ABCDD1C1B1A1第4页，讲稿共30张，创作于星期六例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA
4、A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；D1ABCDD1C1B1A1第5页，讲稿共30张，创作于星期六例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；D1ABCDD1C1B1A1第6页，讲稿共30张，创作于星期六例例1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A1
5、 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面直线所成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；D1ABCDD1C1B1A1第7页，讲稿共30张，创作于星期六例例1 1 在正方体在正方体ABC
6、DABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面直线所成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；D1ABCDD1C1B1A1第8页，讲稿共30张，创作于星期六例例1 1 在正
7、方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面直线所成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；D1ABCDD1C1B1A1第9页，讲稿共30张，创作于星期
8、六例例1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面直线所成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；AB
9、CDD1C1B1A1第10页，讲稿共30张，创作于星期六例例1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面直线所成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CD
10、CD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。ABCDD1C1B1A1第11页，讲稿共30张，创作于星期六例例1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面直线所成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的
11、角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。ABCDD1C1B1A1第12页，讲稿共30张，创作于星期六例例1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面直线所成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体
12、ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以下各对异面直线所成的角：以下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。ABCDD1C1B1A1第13页，讲稿共30张，创作于星期六例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）AB
13、AB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。ABCDD1C1B1A1第14页，讲稿共30张，创作于星期六例例2 2 已已知知空空间间四四边边形形ABCDABCD中中，F F、G G分分 别别 是是 BC,ADBC,AD的的 中中 点点，AC=BD=2AC=BD=2，FG=FG=，求异面直线，求异面直线AC,BDAC,BD所成的角。所成的角。FGABCD第15页，讲稿共30张，创作于星期六例例2 2 已已知知空空间间四四边边形形ABCDABCD中中，F F、G G分分 别别 是是BC,ADBC,AD的的 中中 点点，AC=BD=2AC=BD=2，FG=FG=，求异面直线，
14、求异面直线AC,BDAC,BD所成的角。所成的角。MFGABCD第16页，讲稿共30张，创作于星期六例例2 2 已已知知空空间间四四边边形形ABCDABCD中中，F F、G G分分 别别 是是 BC,ADBC,AD的的 中中 点点，AC=BD=2AC=BD=2，FG=FG=，求异面直线，求异面直线AC,BDAC,BD所成的角。所成的角。MFGABCD第17页，讲稿共30张，创作于星期六例例3 3 如如图图，在在正正方方体体ACAC1 1中中，M M、N N分分别别是是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的的中中点点，求：求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN所成角的大小；所成
15、角的大小；NMA1B1C1D1DCBA第18页，讲稿共30张，创作于星期六例例3 3 如如图图，在在正正方方体体ACAC1 1中中，M M、N N分分别别是是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的的中中点点，求：求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN所成角的大小；所成角的大小；NMA1B1C1D1DCBAQ第19页，讲稿共30张，创作于星期六例例3 3 如如图图，在在正正方方体体ACAC1 1中中，M M、N N分分别别是是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的的中中点点，求：求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN所成角的大小；所成角的大小；NMA1B1C1
16、D1DCBAP第20页，讲稿共30张，创作于星期六例例3 3 如如图图，在在正正方方体体ACAC1 1中中，M M、N N分分别别是是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的的中中点点，求：求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN所成角的大小；所成角的大小；（2 2）异面直线）异面直线AMAM与与BDBD所成角的大小；所成角的大小；MA1B1C1D1DCBA第21页，讲稿共30张，创作于星期六例例3 3 如如图图，在在正正方方体体ACAC1 1中中，M M、N N分分别别是是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的的中中点点，求：求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CN
17、CN所成角的大小；所成角的大小；（2 2）异面直线）异面直线AMAM与与BDBD所成角的大小；所成角的大小；MA1B1C1D1DCBAR第22页，讲稿共30张，创作于星期六例例3 3 如图，在正方体如图，在正方体ACAC1 1中，中，M M、N N分别是分别是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的中点，求：的中点，求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN所成角的大小；所成角的大小；（2 2）异面直线）异面直线AMAM与与BDBD所成角的大小；所成角的大小；（3 3）异面直线）异面直线AMAM与与BDBD1 1所成角的大小。所成角的大小。MA1B1C1D1DCBA第23页，讲稿共
18、30张，创作于星期六例例3 3 如如图图，在在正正方方体体ACAC1 1中中，M M、N N分分别别是是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的的中中点点，求：求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN所成角的大小；所成角的大小；（2 2）异面直线）异面直线AMAM与与BDBD所成角的大小；所成角的大小；（3 3）异面直线）异面直线AMAM与与BDBD1 1所成角的大小。所成角的大小。MA1B1C1D1DCBAS第24页，讲稿共30张，创作于星期六例例4 4：长方体长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA=AA1 1=2 cm，AD=1cm，求异面直线，求异面直线A1C1与与B
19、D1所成角的余所成角的余弦值。弦值。取B B1的 中 点M，连O1M，则 O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1 交于O1，于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解：解：为什么？为什么？第25页，讲稿共30张，创作于星期六解法二解法二：方法归纳：方法归纳：补形法补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。面直线的关系。在在 A1C1E中，中，由余弦定理得由余弦定理得A1C1与与BD1所成角的余弦值为所成角
20、的余弦值为 如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结连结A1E，C1E，则，则 A1C1E为为A1C1与与BD1所成所成的角的角(或补角或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方体的方体B1F，第26页，讲稿共30张，创作于星期六例例5、解答题、解答题已知正方体的棱长为已知正方体的棱长为 a,M a,M 为为 AB AB 的中点的中点,N,N 为为 B BB B1 1的中点，求的中点，求 A A1 1M M 与与 C C1 1 N N 所成角的余弦值。所成角的余弦值。解：解：A1D1C1B1ABCDMNEG如图，取如图，
21、取AB的中点的中点E,连连BE,有有BE A A1 1M M 取取CC1的中点的中点G,连连BG.有有BG C C1 1N N 则则EBG即为所求角。即为所求角。BG=BE=a,F C1=a由余弦定理，由余弦定理，cosEBG=2/5F取取EB1的中点的中点F，连，连NF,有有BE NF则则FNC为所求角。为所求角。想一想：想一想：还有其它定角的方法吗？还有其它定角的方法吗？在在EBG中中第27页，讲稿共30张，创作于星期六定角一般方法有：定角一般方法有：定角一般方法有：定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）平移法（常用方法）小结：小结：1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面、求异面直线
22、所成的角是把空间角转化为平面 角，体现了化角，体现了化归的数学思想。归的数学思想。2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：范围：（1）当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为（2）当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为（3）当当 cos =0 时，所成角为时，所成角为 3、当异面直线当异面直线垂直垂直时，还可应用线面垂直的有时，还可应用线面垂直的有 关知识解决。关知识解决。90o（2）补形法）补形法化归的一般步骤是：化归的一般步骤是：定角定角求角求角第28页，讲稿共30张，创作于星期六说明说明：异面直线所成角的范围是（：异面直线所成角的范围是（0，在，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负余弦值为负值值时，其对应角为钝角，这时，其对应角为钝角，这不符合不符合两条异面直两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。点要注意。第29页，讲稿共30张，创作于星期六感感谢谢大大家家观观看看第30页，讲稿共30张，创作于星期六