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1、9.2 -9.2 -异面直线及其夹角异面直线及其夹角 (2)(2) yyyy年年M月月d日星期日星期W教学目标：教学目标：1.1.熟练掌握两条异面直线所成角的定义熟练掌握两条异面直线所成角的定义; ;2.2.明确异面直线所成角的范围明确异面直线所成角的范围; ;3.3.掌握求两异面直线所成角的方法掌握求两异面直线所成角的方法; ;4.4.会用反三角表示非特殊角的异面直线所成的角会用反三角表示非特殊角的异面直线所成的角. .教学重点：教学重点：异面直线所成的角异面直线所成的角教学难点：教学难点：异面直线所成的角的求法异面直线所成的角的求法 空间直线的三种位置关系空间直线的三种位置关系:（1）相交
2、直线）相交直线（2）平行直线）平行直线（3）异面直线）异面直线有且仅有一个公共点有且仅有一个公共点在同一个平面内，没有公共点在同一个平面内，没有公共点不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内,没有公共点没有公共点aObbaMba(1)(3)(2)复复 习习如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个等角定理：角相等。如果把“方向”改为“方向”，那思考结果1：相同相反是什么呢？2思考 ：相同一边相同另一边如果把“方向”改为“方向，而方向”，那结果相反又是什么呢？两角相等两角互补推论如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。abcd异面直
3、线所成的角异面直线所成的角(1)定义定义 直线直线a,b是异面直线是异面直线,经过空间任一点经过空间任一点O,作直线作直线a,b,并使并使aa, bb,我们把我们把a和和b所成的锐角所成的锐角(或或直角直角)叫做叫做异面直线异面直线a和和b所成的角所成的角aboab.O为了简便，点 常取在两异面直线中的一条上aOba (2)说明说明异面直线异面直线a,b所成的角所成的角,由由a,b的相对位置确定的相对位置确定,与与O点位置无关点位置无关.但但O点常取某一直线的点点常取某一直线的点,(即为特殊点即为特殊点)(3)范围范围(0,2(4)方法方法平移平移,化空间问题为平面问题化空间问题为平面问题.异
4、面垂直异面垂直(1)定义定义:如果两条异面直线所成的角是直角如果两条异面直线所成的角是直角,则则这这两条异面直线互相垂直两条异面直线互相垂直(2)记法记法:异面直线异面直线a,b互相垂直互相垂直,记为记为ab(3)分类分类:两直线垂直两直线垂直共面垂直共面垂直(相交相交)异面垂直异面垂直例例 1.在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，指出下列各中，指出下列各对线段所成的角：对线段所成的角： 1）AB与与CC1； 2）A1 B1与与AC； 3) A1B与与D1B1。B1CC1ABDA1D11）AB与与CC1所成的角所成的角= 9 02）A1 B1与与AC所成的角所成的角= 4 53）A1B
5、与与D1B1所成的角所成的角= 6 0求异面直线所成角的一般步骤求异面直线所成角的一般步骤:(1)平移作角平移作角作作(2)补形说角补形说角证证(3)计算求角计算求角求求例例2.正四面体正四面体ABCD(四个面都是全等的等边三角四个面都是全等的等边三角形形)中中,M,N分别是分别是BC和和AD的中点的中点,求异面直线求异面直线AM和和CN所成角的余弦值所成角的余弦值.ABCDMNH解解:连结连结DM，取，取DM中点中点H 连结连结NH、CH，则有，则有NHAM 所以所以CNH为为AM和和CN所成的角所成的角令令BC=a73,44CHa NHa2cos3C N H32AMDMCNa则有：( (或
6、其补角或其补角) )例例3.在空间四边形在空间四边形ABCD中中,对角线对角线AC=10,BD=6,M,N分别为分别为AB,CD的中点的中点,MN=7,求异面直线求异面直线AC和和BD所成的角所成的角ABCDMNPNPM=1200即异面直线即异面直线AC和和BD所成的角是所成的角是600解解:取取AD中点中点P，连结，连结MP、NP MPBD、NPACMP=3、NP=5NPM就是就是AC和和BD所成的角所成的角(或其补角或其补角)1cos2NPM 为什么？为什么？例例4.长方体长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线求异面直线A1C1与与BD1所成角
7、的余弦值。所成角的余弦值。取取BBBB1 1的中点的中点MM，连，连O O1 1MM，则，则O O1 1MM D D1 1B B，如图，连如图，连B B1 1D D1 1与与A A1 1C C1 1 交于交于O O1 1，于是于是 A A1 1O O1 1MM就是异面直线就是异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成的角（或其补所成的角（或其补角）角）O1MDB1A1D1C1ACB解：解：为什么？为什么？平移法：平移法：即根据即根据定义，以定义，以“ “运动运动” ”的观的观点，用点，用“ “平移转化平移转化” ”的方的方法，使之成为相交直法，使之成为相交直线所成的角。线所成的角。
8、补形法：补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。面直线的关系。 BDB1A1D1C1ACF1EFE1例例5.长方体长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线求异面直线A1C1与与BD1所成角的余弦值。所成角的余弦值。定角一般方法有：定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）平移法（常用方法）小结：小结：3.求异面直线所成的角是把空间角转化为平面求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，角，体现了化归的数学思想。体
9、现了化归的数学思想。（2）补形法）补形法化归的一般步骤是：化归的一般步骤是： 定角定角求角求角1.异面直线及其所成的角定义异面直线及其所成的角定义;2.异面直线所成的角的范围异面直线所成的角的范围:(0,24.用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：范围： （1） 当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为 （2） 当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为 （3） 当当 cos = 0 时，所成角为时，所成角为 5.当异面直线当异面直线垂直垂直时，还可应用线面垂直的有关时，还可应用线面垂直的有关知识解决。知识解决。90o书面作业书面作业课堂练习课堂练习 P.16 练习练习4 习题习题9.26. 7