异面直线及其夹角讲稿.ppt

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1、关于异面直线及其夹角第一页，讲稿共三十页哦例例1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面直线所成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1；ABCDD1C1B1A1第二页，讲稿共三十页哦例例

2、1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面直线所成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1；ABCDD1C1B1A1第三页，讲稿共三十页哦例例1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A

3、1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面直线所成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1；ABCDD1C1B1A1第四页，讲稿共三十页哦例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中

4、,求求以下各对异面直线所成的角：以下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；D1ABCDD1C1B1A1第五页，讲稿共三十页哦例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以下各对异面直线所成的角：以下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；D1ABCDD1C1B1A1第六页，讲稿共三十页哦例例1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面直线所成的角

5、：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；D1ABCDD1C1B1A1第七页，讲稿共三十页哦例例1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面直线所

6、成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；D1ABCDD1C1B1A1第八页，讲稿共三十页哦例例1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面

7、直线所成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；D1ABCDD1C1B1A1第九页，讲稿共三十页哦例例1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各

8、对异面直线所成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；ABCDD1C1B1A1第十页，讲稿共三十页哦例例1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1

9、1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面直线所成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以下各对异面直线所成的角：以下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。ABCDD1C1B1A1第十

10、一页，讲稿共三十页哦例例1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面直线所成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1

11、与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。ABCDD1C1B1A1第十二页，讲稿共三十页哦例例1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求以下各对异面直线所成的角：求以下各对异面直线所成的角：(1)AB(1)AB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与

12、与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。ABCDD1C1B1A1第十三页，讲稿共三十页哦例例1 1 在在正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求以以下各对异面直线所成的角：下各对异面直线所成的角：（1 1）ABAB与与CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1与与CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1与与CDCD；（4 4）ABAB1 1与与BCBC1 1。ABCDD1C1B1A1第十四页，讲稿共三十页哦例例2 2 已已知知空空间间四四边边形形A

13、BCDABCD中中，F F、G G分分 别别 是是BC,ADBC,AD的的 中中 点点，AC=BD=2AC=BD=2，FG=FG=，求异面直线，求异面直线AC,BDAC,BD所成的角。所成的角。FGABCD第十五页，讲稿共三十页哦例例2 2 已已知知空空间间四四边边形形ABCDABCD中中，F F、G G分分 别别 是是BC,ADBC,AD的的 中中 点点，AC=BD=2AC=BD=2，FG=FG=，求异面直线，求异面直线AC,BDAC,BD所成的角。所成的角。MFGABCD第十六页，讲稿共三十页哦例例2 2 已已知知空空间间四四边边形形ABCDABCD中中，F F、G G分分 别别 是是BC

14、,ADBC,AD的的 中中 点点，AC=BD=2AC=BD=2，FG=FG=，求异面直线，求异面直线AC,BDAC,BD所成的角。所成的角。MFGABCD第十七页，讲稿共三十页哦例例3 3 如图，在正方体如图，在正方体ACAC1 1中，中，M M、N N分别是分别是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的中点，求：的中点，求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN所成角的大小；所成角的大小；NMA1B1C1D1DCBA第十八页，讲稿共三十页哦例例3 3 如如图图，在在正正方方体体ACAC1 1中中，M M、N N分分别别是是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的的中中点点，求：

15、求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN所成角的大小；所成角的大小；NMA1B1C1D1DCBAQ第十九页，讲稿共三十页哦例例3 3 如如图图，在在正正方方体体ACAC1 1中中，M M、N N分分别别是是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的的中中点点，求：求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN所成角的大小；所成角的大小；NMA1B1C1D1DCBAP第二十页，讲稿共三十页哦例例3 3 如如图图，在在正正方方体体ACAC1 1中中，M M、N N分分别别是是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的的中中点点，求：求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CN

16、CN所成角的大小；所成角的大小；（2 2）异面直线）异面直线AMAM与与BDBD所成角的大小；所成角的大小；MA1B1C1D1DCBA第二十一页，讲稿共三十页哦例例3 3 如如图图，在在正正方方体体ACAC1 1中中，M M、N N分分别别是是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的的中中点点，求：求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN所成角的大小；所成角的大小；（2 2）异面直线）异面直线AMAM与与BDBD所成角的大小；所成角的大小；MA1B1C1D1DCBAR第二十二页，讲稿共三十页哦例例3 3 如如图图，在在正正方方体体ACAC1 1中中，M M、N N分分别别是是A

17、A1 1B B1 1、BBBB1 1的的中中点点，求：求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN所成角的大小；所成角的大小；（2 2）异面直线）异面直线AMAM与与BDBD所成角的大小；所成角的大小；（3 3）异面直线）异面直线AMAM与与BDBD1 1所成角的大小。所成角的大小。MA1B1C1D1DCBA第二十三页，讲稿共三十页哦例例3 3 如图，在正方体如图，在正方体ACAC1 1中，中，M M、N N分别是分别是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的中点，求：的中点，求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN所成角的大小；所成角的大小；（2 2）异面直线）异面直线

18、AMAM与与BDBD所成角的大小；所成角的大小；（3 3）异面直线）异面直线AMAM与与BDBD1 1所成角的大小。所成角的大小。MA1B1C1D1DCBAS第二十四页，讲稿共三十页哦例例4 4：长方体长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA=AA1 1=2 cm，AD=1cm，求异面直线，求异面直线A1C1与与BD1所成角的所成角的余弦值。余弦值。取BB1的 中 点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1 交于O1，于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解：解：为什么？为什么？第二十五页，讲稿共三十页哦解法二解法二：方

19、法归纳：方法归纳：补形法补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。面直线的关系。在在 A1C1E中，中，由余弦定理得由余弦定理得A1C1与与BD1所成角的余弦值为所成角的余弦值为 如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结连结A1E，C1E，则，则 A1C1E为为A1C1与与BD1所所成的角成的角(或补角或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方体的方体B1F，第二十六页，讲稿共三十页哦

20、例例5、解答题、解答题已知正方体的棱长为已知正方体的棱长为 a,M a,M 为为 AB AB 的中点的中点,N,N 为为 BBBB1 1的中点，求的中点，求 A A1 1M M 与与 C C1 1 N N 所成角的余弦值。所成角的余弦值。解：解：A1D1C1B1ABCDMNEG如图，取如图，取AB的中点的中点E,连连BE,有有BE A A1 1M M 取取CC1的中点的中点G,连连BG.有有BG C C1 1N N 则则EBG即为所求角。即为所求角。BG=BE=a,F C1=a由余弦定理，由余弦定理，cosEBG=2/5F取取EB1的中点的中点F，连，连NF,有有BE NF则则FNC为所求角。

21、为所求角。想一想：想一想：还有其它定角的方法吗？还有其它定角的方法吗？在在EBG中中第二十七页，讲稿共三十页哦定角一般方法有：定角一般方法有：定角一般方法有：定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）平移法（常用方法）小结：小结：1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，体现了角，体现了化归的数学思想。化归的数学思想。2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：范围：（1）当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为（2）当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为（3）当当 cos =0 时，所成角为时

22、，所成角为 3、当异面直线当异面直线垂直垂直时，还可应用线面垂直的有时，还可应用线面垂直的有 关知识解决。关知识解决。90o（2）补形法）补形法化归的一般步骤是：化归的一般步骤是：定角定角求角求角第二十八页，讲稿共三十页哦说明说明：异面直线所成角的范围是（：异面直线所成角的范围是（0，在，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值余弦值为负值时时，其对应角为钝角，这，其对应角为钝角，这不符合不符合两条异面直线所成角两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。第二十九页，讲稿共三十页哦感感谢谢大大家家观观看看第三十页，讲稿共三十页哦