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1、学习好资料欢迎下载高数复习知识点及公式一、知识点1、求直线方程和平面方程2、求条件极值3、二重积分4、曲线积分（弧长积分、坐标积分）5、曲面积分6、格林公式7、高斯公式空间闭曲面8、幂级数（求收敛半径、判断正项级数收敛性）9、傅里叶级数二、公式空间解析几何和向量代数：。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间,cos)(.sin,cos,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbba
2、aababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -学习好资料欢迎下载（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,22211;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000002220000000000czbyaxczbyaxqp
3、zqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),()
4、,()(),(),(),(22名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 9 页 -学习好资料欢迎下载),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(0000000000000000000000000000000000000000000000000
5、00zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与梯度：上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfi
6、xfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(多元函数的极值及其求法：不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 9 页 -学习好资料欢迎下载重积分及其应用：DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyx
7、fFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(),0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标：dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFd
8、zrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr)()()(1,1,1sin),(sin),(),(sinsincossinsincossin),sin,cos(),(,),(),(,sincos222222200),(0222，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：曲线积分：)()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 9 页 -学习好资料欢迎下载。，通常设的全微分，其中
9、：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0,0(),(),(21212,)()()coscos()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADy
10、PxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL曲面积分：dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右
11、侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 9 页 -学习好资料欢迎下载dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnndiv)coscoscos(.,0div,div)coscoscos()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：通量与散度：高斯公式的物理意义斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQ
12、PzyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：kjirotcoscoscos)()()(常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqqnn1312112)1(32111112级数审敛法：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 9 页 -学习好资料欢迎下载散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：根植审敛法（柯
13、西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛：时收敛时发散级数：收敛；级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整
14、理-第 7 页，共 9 页 -学习好资料欢迎下载0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点对于级数时，发散时，收敛于函数展开成幂级数：nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林
15、公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin)11(!)1()1(!2)1(1)1(121532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm欧拉公式：2sin2cossincosixixixixixeexeexxixe或三角级数：。上的积分在任意两个不同项的乘积正交性：。，其中，0,cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1cossin)sincos(2)sin()(001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn傅立叶级数：名师资料总结-精品资料欢迎下载-
16、名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -学习好资料欢迎下载是偶函数，余弦级数：是奇函数，正弦级数：（相减）（相加）其中，周期nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2)(2,1,0cos)(20sin)(3,2,1nsin)(201241312116413121124614121851311)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(12)sincos(2)(00022222222222222210周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(12)sincos(2)(10其中，周期名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -