2022年高数下册知识点 .pdf

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1、高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),(zyxaaaa，),(zyxbbbb，则),(zzyyxxbabababa, ),(zyxaaaa；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222zyxr；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(zzyyxxBA3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,4） 方向余弦：rzryrxcos,cos,cos1cosc

2、oscos2225） 投影：cosPraaju，其中为向量a与u的夹角。（二） 数量积，向量积1、 数量积：cosbaba1）2aaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页2）baEMBED Equation.3 0bazzyyxxbabababa2、 向量积：bac大小：sinba，方向：cba,符合右手规则1）0aa2）ba /EMBED Equation.3 0bazyxzyxbbbaaakjiba运算律：反交换律baab（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),(:zyxfS2、 旋转曲面：yoz面上曲线

3、0),(:zyfC，绕y轴旋转一周：0),(22zxyf绕z轴旋转一周：0),(22zyxf3、 柱面：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页0),(yxF表示母线平行于z轴，准线为00),(zyxF的柱面4、 二次曲面1） 椭圆锥面：22222zbyax2） 椭球面：1222222czbyax旋转椭球面：1222222czayax3） 单叶双曲面：1222222czbyax4） 双叶双曲面：1222222czbyax5） 椭圆抛物面：zbyax22226） 双曲抛物面（马鞍面） ：zbyax22227） 椭圆柱面：1

4、2222byax8） 双曲柱面：12222byax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页9） 抛物柱面：ayx2（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：0),(0),(zyxGzyxF2、 参数方程：)()()(tzztyytxx，如螺旋线：btztaytaxsincos3、 空间曲线在坐标面上的投影0),(0),(zyxGzyxF，消去z，得到曲线在面xoy上的投影00),(zyxH（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA法向量：),(CBAn，过点),(000zyx2、 一般式方

5、程：0DCzByAx截距式方程：1czbyax3、 两平面的夹角：),(1111CBAn，),(2222CBAn，222222212121212121cosCBACBACCBBAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页210212121CCBBAA21/212121CCBBAA4、 点),(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离：222000CBADCzByAxd（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA2、 对称式（点向式）方程：pzznyymxx000方向向量：

6、),(pnms，过点),(000zyx3、 参数式方程：ptzzntyymtxx0004、 两直线的夹角：),(1111pnms，),(2222pnms，222222212121212121cospnmpnmppnnmm21LL0212121ppnnmm21/ LL212121ppnnmm5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页222222sinpnmCBACpBnAm/L0CpBnAmLpCnBmA第九章多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，

7、外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、 多元函数：),(yxfz，图形：3、 极限：Ayxfyxyx),(lim),(),(004、 连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx5、 偏导数：xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000006、 方向导数：coscosyfxflf其中,为l的方向角。7、 梯度：),(yxfz，则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

8、- - - - - -第 6 页，共 21 页8、 全微分：设),(yxfz，则dddzzzxyxy（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1）定义：u ux x2）复合函数求导：链式法则z z若( , ),( , ),( , )zf u v uu x yvv x y( , ),( , ),( , )zf u v uu x yvv x y，则v vy yzzuzvxuxvxzzuzvxuxvx，zzuzvyuyvyzzuzvyuyvy3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（

9、三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数),(yxfz的极值偏函数可微函数连续偏导数连充分条必要条定1 2 2 3 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页解方程组00yxff求出所有驻点，对于每一个驻点),(00yx，令),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy， 若02BAC，0A，函数有极小值，若02BAC，0A，函数有极大值； 若02BAC，函数没有极值； 若02BAC，不定。2） 条件极值：求函数),(yxfz在条件0),(yx下的极值令：),(),(),(yxyxfyxL

10、Lagrange 函数解方程组0),(00yxLLyx2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),(000zyxM（对应参数为0t）处的切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程为：0)()()(000000zztzyytyxxtx2） 曲面的切平面与法线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页曲面0),(:zyxF，则上一点),(000zyxM处的切平面方程为：0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFz

11、yx法线方程为：),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx第十章重积分（一） 二重积分1、 定义：nkkkkDfyxf10),(limd),(2、 性质： （6 条）3、 几何意义：曲顶柱体的体积。4、 计算：1） 直角坐标bxaxyxyxD)()(),(21，21( )( )( , )d dd( , )dbxaxDf x yx yxf x yydycyxyyxD)()(),(21，21()()( , )d dd( , )ddycyDf x yx yyf x yx2） 极坐标)()(),(21D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

12、总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页21()()( , )d d(cos ,sin)dDf x yx ydf（二） 三重积分1、 定义：nkkkkkvfvzyxf10),(limd),(2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),(ddd),(-“先一后二 ”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),(-“先二后一 ”2） 柱面坐标zzyxsincos，( , , )d(cos ,sin , ) d d df x y zvfzz3） 球面坐标cossinsincossinrzryrx2( , , )d( sinc

13、os , sinsin , cos )sin d d df x y zvf rrrrr（三） 应用曲面DyxyxfzS),(,),(:的面积：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页yxyzxzADdd)()(122第十一章曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分1、 定义：01( , )dlim( ,)niiiLif x ysfs2、 性质：1）( ,)( ,)d( , )d( , )d .LLLf x yx ysf x ysg x ys2）12( ,)d( , )d( , )d .LLLf x ysf x ysf

14、 x ys).(21LLL3）在L上，若),(),(yxgyxf，则( , )d( , )d .LLf x ysg x ys4）lsLd( l 为曲线弧L的长度 ) 3、 计算：设),(yxf在 曲 线 弧L上 有 定 义 且 连 续 ，L的 参 数 方 程 为)(),(),(ttytx， 其 中)(),(tt在,上 具有 一 阶 连续 导 数 ， 且0)()(22tt，则22( ,)d ( ),( )( )( )d ,()Lfx ysfttttt（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设L为xoy面内从A 到B 的一条有向光滑弧，函数),(yxP，精选学习资料 - - - - - - - - -

15、 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页),(yxQ在L 上有界，定义nkkkkLxPxyxP10),(limd),(，nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(. 向量形式：LLyyxQxyxPrFd),(d),(d2、 性质：用L表示L的反向弧, 则LLryxFryxFd),(d),(3、 计算：设),(, ),(yxQyxP在有向光滑弧L上有定义且连续 ,L的参数方程为):(),(),(ttytx， 其 中)(),(tt在,上 具 有 一 阶 连 续导 数 ， 且0)()(22tt，则( ,)d( ,)d( ),( )( ) ( ),( )( )dLP

16、x yxQ x yyPtttQtttt4、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为)()(tytxL：，L上点),(yx处的切向量的方向角为：,，)()()(cos22ttt，)()()(cos22ttt，则dd(coscos )dLLP xQ yPQs. （三） 格林公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页1、格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线L 围成，函数),(, ),(yxQyxP在D 上具有连续一阶偏导数 , 则有LDyQxPyxyPxQdddd2、G为一个单连通区域，函数),(, ),(yxQyx

17、P在G上具有连续一阶偏导数，则yPxQ曲线积分ddLP xQ y在G内与路径无关曲线积分dd0LP xQ yyyxQxyxPd),(d),(在G内为某一个函数),(yxu的全微分（四） 对面积的曲面积分1、 定义：设为光滑曲面，函数),(zyxf是定义在上的一个有界函数，定义iiiiniSfSzyxf),(limd),(102、 计算： “ 一单二投三代入 ”),(:yxzz，xyDyx),(，则yxyxzyxzyxzyxfSzyxfyxDyxdd),(),(1),(,d),(22（五） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、 定义：设为有向光滑曲面，函数),(

18、),(),(zyxRzyxQzyxP是定义在上的有界函数，定义01( , , )d dlim(,)()niiiixyiR x y zx yRS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页同理，01( , , )d dlim(,)()niiiiyziP x y zy zPS01( , , )d dlim(,)()niiiizxiQ x y zz xRS3、 性质：1）21，则12d dd dd dd dd dd dd dd dd dP y zQ z xR x yP y zQ z xR x yP y zQ z xR x y2）

19、表示与取相反侧的有向曲面, 则d dd dR x yR x y4、 计算： “一投二代三定号 ”),(:yxzz，xyDyx),(，),(yxzz在xyD上具有一阶连续偏导数，),(zyxR在上 连 续 ， 则( , , )d d , , ( ,)d dx yDR x y zx yR x y z x yx y,为 上 侧 取“ + ”，为下侧取 “ - ”. 5、 两类曲面积分之间的关系：SRQPyxRxzQzyPdcoscoscosdddddd其中,为有向曲面在点),(zyx处的法向量的方向角。（六） 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成 , 的方向取外侧 , 函数,

20、P Q R,P Q R在上有连续的一阶偏导数 ,则有yxRxzQzyPzyxzRyQxPddddddddd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页或SRQPzyxzRyQxPdcoscoscosddd2、 通量与散度通 量 ： 向 量 场),(RQPA通 过 曲 面指 定 侧 的 通 量 为 ：yxRxzQzyPdddddd散度：zRyQxPAdiv（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：设光滑曲面的边界是分段光滑曲线 , 的侧与的正向符合右手法则 , ),(),(),(zyxRzyxQzyxP在包含在内的一个空间域内

21、具有连续一阶偏导数 ,则有zRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddddd为便于记忆 , 斯托克斯公式还可写作 : zRyQxPRQPzyxyxxzzyddddddddd2、 环流量与旋度环流量：向量场),(RQPA沿着有向闭曲线的环流量为zRyQxPddd旋度：yPxQxRzPzQyRArot,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页第十二章无穷级数（一） 常数项级数1、 定义：1）无穷级数：nnnuuuuu3211部分和：nnkknuuuuuS3211，正项级数：1nnu，0nu交错级数：1)1(

22、nnnu，0nu2）级数收敛：若SSnnlim存在，则称级数1nnu收敛，否则称级数1nnu发散3）条件收敛：1nnu收敛，而1nnu发散；绝对收敛：1nnu收敛。2、 性质：1） 改变有限项不影响级数的收敛性；2） 级数1nna，1nnb收敛，则1)(nnnba收敛；3） 级数1nna收敛，则任意加括号后仍然收敛；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页4） 必要条件：级数1nnu收敛EMBED Equation.3 0limnnu.（注意：不是充分条件！）3、 审敛法正项级数：1nnu，0nu1） 定义：SSnnl

23、im存在；2）1nnu收敛EMBED Equation.3 nS有界；3） 比较审敛法：1nnu，1nnv为正项级数，且), 3,2, 1(nvunn若1nnv收敛，则1nnu收敛；若1nnu发散，则1nnv发散. 4） 比较法的推论：1nnu，1nnv为正项级数，若存在正整数m，当mn时，nnkvu，而1nnv收敛，则1nnu收敛；若存在正整数m，当mn时，nnkvu，而1nnv发散，则1nnu发散. 5） 比较法的极限形式：1nnu，1nnv为正项级数，若)0(limllvunnn，而1nnv收敛，则1nnu收敛；若0limnnnvu或nnnvulim，而1nnv发散，则精选学习资料 -

24、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页1nnu发散. 6） 比值法：1nnu为正项级数，设luunnn1lim，则当1l时，级数1nnu收敛；则当1l时，级数1nnu发散；当1l时，级数1nnu可能收敛也可能发散 . 7） 根值法：1nnu为正项级数，设lunnnlim，则当1l时，级数1nnu收敛；则当1l时，级数1nnu发散；当1l时，级数1nnu可能收敛也可能发散 . 8） 极限审敛法：1nnu为正项级数，若0limnnun或nnunlim，则级数1nnu发散；若存在1p，使得)0(limllunnpn，则级数1nnu收敛. 交

25、错级数：莱 布尼 茨 审敛 法： 交 错 级 数 ：1)1(nnnu，0nu满 足 ：), 3 ,2, 1(1nuunn，且0limnnu，则级数1) 1(nnnu收敛。任意项级数：1nnu绝对收敛，则1nnu收敛。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页常见典型级数：几何级数：110qqaqnn发散，收敛，p -级数：1p111发散，收敛，pnnp（二） 函数项级数1、 定义：函数项级数1)(nnxu，收敛域，收敛半径，和函数；2、 幂级数：0nnnxa收敛半径的求法：nnnaa1lim，则收敛半径0,00,1R3、

26、 泰勒级数nnnxxnxfxf)(!)()(000)(0)(! ) 1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR展开步骤：（直接展开法）1） 求出, 3,2, 1),()(nxfn；2） 求出,2, 1 ,0),(0)(nxfn；3） 写出nnnxxnxf)(!)(000)(；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页4） 验证0)(! ) 1()(lim)(lim10) 1(nnnnnxxnfxR是否成立。间接展开法：（利用已知函数的展开式）1）),(,!10 xxnennx；2）),(,! ) 12(1)

27、 1(sin0121xxnxnnn；3）),(,)!2(1)1(cos021xxnxnnn；4）) 1, 1(,110 xxxnn；5）) 1, 1(,) 1(110 xxxnnn6） 1, 1(,1) 1()1ln(01xxnxnnn7）) 1, 1(,)1(11022xxxnnn8）) 1, 1(,!) 1() 1(1)1(1xxnnmmmxnnm4、 傅里叶级数1） 定义：正交系：nxnxxxxxcos,sin,2cos,2sin,cos,sin, 1函数系中任何不同的两精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页个

28、函数的乘积在区间,上积分为零。傅里叶级数：)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn系数：), 3,2,1(dsin)(1),2,1,0(dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann2） 收敛定理： (展开定理 ) 设f (x) 是周期为 2的周期函数 ,并满足狄利克雷 ( Dirichlet ) 条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则f (x) 的傅里叶级数收敛, 且有为间断点为连续点xxfxfxxfnxbnxaannn,2)()(),(sincos2103） 傅里叶展开：求出系数：), 3,2,1(dsin)(1), 2, 1,0(dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann；写出傅里叶级数)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn；根据收敛定理判定收敛性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页