《2022年高数知识点总结 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高数知识点总结 .pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高数知识点总结（上册）函数：绝对值得性质：(1)|a+b|a|+|b| (2)|a-b|a|-|b| (3)|ab|=|a|b| (4)|ba|=)0(|bba函数的表示方法：（1）表格法（2）图示法（3）公式法（解析法）函数的几种性质：（1）函数的有界性（2）函数的单调性（3）函数的奇偶性（4）函数的周期性反函数：定理： 如果函数)(xfy在区间 a,b上是单调的，则它的反函数)(1xfy存在，且是单值、单调的。基本初等函数：（1）幂函数（2）指数函数（3）对数函数（4）三角函数（5）反三角函数复合函数的应用极限与连续性：数列的极限：定义： 设nx是一个数列， a 是一个定数。如果对于任意给
2、定的正数（不管它多么小），总存在正整数 N ，使得对于 nN的一切nx，不等式axn都成立，则称数 a 是数列nx的极限，或称数列nx收敛于 a，记做axnnlim，或axn（n）收敛数列的有界性：定理： 如果数列nx收敛，则数列nx一定有界推论： （1）无界一定发散（ 2）收敛一定有界（3）有界命题不一定收敛函数的极限：定义及几何定义函数极限的性质：（1）同号性定理 ：如果Axfxx)(lim0，而且 A0(或 AN 时，)(xf与)(x都存在且0)(x（3）)()(limxxfx存在（或为） ，则极限)()(limxxfx存在（或为） ，且)()(limxxfx=)()(limxxfx未定
3、式1、ax情形如果 （1）ax时，)(xf与)(x都趋于无穷大（2）在点 a 的某领域（点 a 可除外）内，)(xf与)(x都存在且0)(x（3）)()(limxxfax存在（或为） ，则则极限)()(limxxfax存在（或为） ，且)()(limxxfax=)()(limxxfax2、x情形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 推论： 如果 （1）x时，)(xf与)(x都趋于无穷大（2）当|x|N 时，)(xf与
4、)(x都存在且0)(x（3）)()(limxxfax存在（或为） ，则则极限)()(limxxfax存在（或为） ，且)()(limxxfax=)()(limxxfax注意： 1、洛必达法则仅适用于00型及型未定式 2 、当)()(lim)(xxfxax不存在时，不能断定)()(lim)(xxfxax不存在，此时不能应用洛必达法则泰勒公式（略）迈克劳林公式（略）函数单调性的判别法：必要条件： 设函数)(xf在ba,上连续，在ba,内具有导数，如果)(xf在ba,上单调增加（减少），则在ba,内，0)(xf（0)(xf）充分条件： 设函数)(xf在ba,上连续，在ba,内具有导数，（1）如果在b
5、a,内，0)(xf，则)(xf在ba,上单调增加（2）如果在ba,内，0)(xf，则)(xf在ba,上单调减少函数的极值及其求法极值定义（见书 176 页）极值存在的充分必要条件必要条件： 设函数)(xf在点0 x处具有导数，且在点0 x处取得极值，则0)(xf函数的极值点一定是驻点导数不存在也可能成为极值点驻点：使0)(xf的点，称为函数)(xf的驻点充分条件（第一）：设连续函数)(xf在点0 x的一个邻域（0 x点可除外）内具有导数，当x由小增大经过0 x时，如果（1）)(xf由正变负，则0 x是极大点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
6、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - （2）)(xf由负变正，则0 x是极小点（3）)(xf不变号，则0 x不是极值点充分条件（第二）：设函数)(xf在点0 x处具有二阶导数，且0)(0 xf，0)(0; ;xf（1）如果0)(0; ;xf，则)(xf在0 x点处取得极大值（2）如果0)(0; ;xf，则)(xf在0 x点处取得极小值函数的最大值和最小值（略）曲线的凹凸性与拐点：定 义 ： 设)(xf在ba,上 连 续 ， 如 果 对 于ba,上 的 任 意 两 点1x、2x恒 有2)()2(2121x
7、fxfxxf，则称)(xf在ba,上的图形是（向上）凹的，反之，图形是（向上）凸的。判别法：定理： 设函数)(xf在ba,上连续，在),(ba内具有二阶导数（1）如果在),(ba内0)(0; ;xf，那么)(xf的图形在ba,上是凹的（2）如果在),(ba内0)(0; ;xf，那么)(xf的图形在ba,上是凸的拐点： 凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点。不定积分原函数： 如果在某一区间上，函数)(F x与)(xf满足关系式：)()(xfxF或dxxfxdF)()(，则称在这个区间上，函数)(F x是函数)(xf的一个 原函数结论： 如果函数)(xf在某区间上连续，则在这个区间上)(xf必有原函
8、数定理： 如果函数)(F x是)(xf的原函数，则C)(F x（C为任意常数）也是)(xf的原函数，且)(xf的任一个原函数与)(F x相差为一个常数不定积分的定义：定义： 函数)(xf的全体原函数称为)(xf的不定积分，记做dxxf)(不定积分的性质：性质一：)()(xfdxxf或dxxfdxxfd)()(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 及Cxfdxxf)()(或Cxfxdf)()(性质二： 有限个函数的和
9、的不定积分等于各个函数的不定积分的和。即dxxfdxxfdxxfdxxfxfxfnn)()()()()()(2121性质三： 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即dxxfkdxxkf)()(（k 为常数，且 k0基本积分表：（1）Ckxkdx（k 是常数）（2）)1(11aCaxdxxaa（3）Cxdxx|ln1（4）Cedxexx（5）)1,0(lnaaCaadxaxx（6）Cxxdxcossin（7）Cxxdxsincos（8）Cxxdxdxxtanseccos122（9）Cxxdxdxxcotcscsin122（10）Cxxdxxsectansec（11）Cxxdxxcsc
10、cotcsc（12）Cxdxxarcsin112（13）Cxdxxarctan112第一类换元法（凑微分法）CxFdxxxf)()()(Cxxdx|cos|lntanCxxdx|sin|lncot第二类换元法：变量代换被积函数若函数有无理式，一般情况下导用第二类换元法。将无理式化为有理式基本积分表添加公式：结论：如果被积函数含有22xa，则进行变量代换taxsin化去根式如果被积函数含有22ax，则进行变量代换taxtan化去根式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11
11、页，共 14 页 - - - - - - - - - 如果被积函数含有22ax，则进行变量代换taxsec化去根式分部积分法：对应于两个函数乘积的微分法，可推另一种基本微分法-分部积分法vduuvudv分部积分公式1、如果被积函数是幂函数与指数函数三角函数的积，可以利用分部积分法令 u 等于幂函数2、如果被积函数是幂函数与反三角函数对数函数的积，可使用分部积分法令 u=反三角函数对数函数3、如果被积函数是指数函数与三角函数的积，也可用分部积分法。定积分定积分的定义定理： 如果函数)(xf在,ba上连续，则)(xf在,ba上可积定理： 如果函数在,ba上只有有限个第一类间断点，则)(xf在,ba
12、上可积定积分的几何意义：1、在,ba上0)(xf，这时badxxf)(的值在几何上表示由曲线)(xfy、x 轴及二直线x=a、x=b 所围成的曲边梯形的面积2、在,ba上0)(xf，其表示曲边梯形面积的负值3、在,ba上，)(xf既取得正值又取得负值几何上表示由曲线)(xfy、x 轴及二直线 x=a、x=b 所围成平面图形位于x 轴上方部分的面积减去x 轴下方部分的面积定积分的性质：性质一、 函数和（差）的定积分等于他们的定积分的和（差），即bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(性质二、 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即babadxxfkdxxkf)()(（k 是常
13、数）性质三、 如果将区间,ba分成两部分,ca和,bc，那么名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(、性质四、 如果在,ba上，1)(xf，那么babaabdxdxxf)(性质五、 如果在,ba上，0)(xf，那么badxxf0)(性质六、 如果在,ba上，)()(xgxf，那么babadxxgdxxf)()(性质七、 设 M及 m ，分别是函数)(xf在区间,ba上的最大值及最小值，则m(b-a)badxxf)(M(b-a) (aa，如果极限babdxxf)(lim存在，则称此极限为函数)(xf在区间,a上的广义积分，记做adxxf)(即babadxxfdxxf)(lim)(无界函数的广义积分（见书279 页）定积分的应用（见书286页）元素法在极坐标系中的计算法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -