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1、（第 1 页 共 5 页）科目名称：高等代数 姓名：班级：考试时间：120分钟考试形式：闭卷一、填空题（每小题5 分，共 25 分）1、在XP中，向量21xx关于基23,1,12xxx的坐标为。2、向量组8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321的秩为，一个最大无关组为.。3、（维数公式）如果21,VV是线性空间 V 的两个子空间，那么。4、假设175131023A的特征根是，特征向量分别为。5、实二次型323121321224,xxxxxxxxxf的秩为二、是非题（每小题2 分，共 20 分）1、如果raaa,21线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合
2、。（）2、在 xP中，定义变换)()(0 xfxAf,其中Px0，是一固定的数，那么变换A是线性变换。（）3、设21,WW是向量空间 V 的两个子空间，那么它们的并21WW也是 V 的一个子空间。（）4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（）5、令),(4321xxxx是4R 的任意向量，那么是4R 到自身的线性变换。其中),()(24232221xxxx。（）6、矩阵 A的特征向量的线性组合仍是A的特征向量。（）7、若矩阵 A与 B 相似，那么 A与 B 等价。（）8、n阶实对称矩阵 A有n个线性无关的特征向量。（）9、在)(2RM中，若 W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，
3、那么W 是)(2RM的子空间。（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -（第 2 页 共 5 页）10、齐 次 线性 方 程 组0)(XAE的 非零解 向量 是 A 的属 于的特 征 向量。（）三、明证题（每小题分，共31 分）1、设n,21是线性空间 V 的一组基，A是V 上的线性变换，证明：A可逆当且仅当nAAA,21线性无关。（10）2、设是n维欧氏空间 V 的一个线性变幻，证明：如果是对称变幻，2=l 是单位变幻，那么是正交变换。（11）3、设 V 是 一 个n维 欧 氏 空 间，证 明：如 果21,WW都 是 V 得 子 空 间，那 么2121WWW
4、W。（10）四、计算题（每小题8 分，共 24 分）1、求矩阵466353331A的特征根与特征向量，并求满秩矩阵 P 使得APP1为对角形矩阵。2、求一个正交矩阵 U，使得AUU使对角形式，其中520242023A。3、化二次型323121321224,xxxxxxxxxf为平方和，并求所用的满秩线性变换。科目名称：高等代数 姓名：班级：考试时间：120分钟考试形式：闭卷一、填空题（每小题5 分，共 25 分）1、（3,4,1）2、秩为 2，一个最大无关组为31,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -（第 3 页 共 5 页）3、维（1V）+维（2V）=维（
5、21VV）+维（21VV）4、特征根是 1，1，2，特征向量分别为,1,1,2,1,1,1215、秩为 3 二、是非题（每小题2 分，共 20 分）1、（是）2、（是）3、（是）4、（否）5、（否）6、（否）7、（是）8、（是）9、（是）10、（是）三、明证题（每小题分，共31 分）1、证明 设 A可逆，则1A存在，且1A也是 V 的线性变换，（1）若nAAA,21线性相关，则)(,),(),(12111nAAAAAA，(2)即n,21也线性相关，这与假设n,21是基矛盾，故nAAA,21线性无关。(5)反之，若nAAA,21线性无关，因 V 是n维线性空间，故它也是V 的一组基，(7)故对V
6、中任 意 向量1有)(22111nnkkkA，即存 在)(2211nnkkk，使1)(A，故A为V 到V 上的变换。(8)若又有nnlll2211，使1)(A，即)(22112211nnnnAkAkAkAlAlAlA，因为nAAA,21是基，),2,1(,niklii，即，从而A又是一一的变换，故A为可逆变换。（10）2、证：,2,2,(4)=,2,2,(8)=2,2,2,(10)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -（第 4 页 共 5 页）=0,（11）3、证：（1）21212121WWWWWWWW,(5)同理2121WWWW，(8)则2121WWWW。（
7、10）四、计算题（每小题8 分，共 24 分）1、解：AE=)4()2(2，则 A的特征根为22,1，43,(3)i)3,2,1(i，它们对应的特征向量分别为211,011,101321，(6)易知321,线性无关，取201110111P，那么就得4000200021APP。(8)2、解：)7)(4)(1(AE，则特征根为7,4,1321，(3)对 应 它 们 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 分 别 为221,212,122321，(6)他们单位化后分别为323231332313223132321,，取正交矩阵323231323132313232U，(7)则,700040001AUU。(8)3、解33212211yxyyxyyx，1000110111C，得 (2)3213212121)(2)(2)(4yyyyyyyyyyf名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -（第 5 页 共 5 页）整理得2322232112231214)(4444yyyyyyyyf (4)在令332232111yzyzyyz，10001001212C，(6)23222144zzzf，1001111212121CCC,(8)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -