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1、（ 第 1 页 共 5 页 ）科目名称：高等代数 姓名：班级：考试时间： 120分钟考试形式： 闭卷一、填空题（每小题5 分，共 25 分）1、在XP中，向量21xx关于基12, 1, 1xxx的坐标为。2、 向量)1 , 1 , 2, 1(在基),1 ,1 , 1 , 1(1)1,1, 1 , 1 (2，)1, 1 , 1, 1(3，)1 , 11,1 (4下的坐标为. 3、 （维数公式）如果21,VV是线性空间 V 的两个子空间，那么。4、假设446454325A的特征根是，特征向量分别为。5、实二次型144332214321,xxxxxxxxxxxxf的秩为二、是非题（每小题2 分，共
2、20 分）1、在xP中，定义变换)1()(xfxAf，那么变换 A是线性变换。（）2 、 如 果raaa,21线 性 无 关 ， 而1ra不 能 由raaa,21线 性 表 示 ， 那 么121,rraaaa线性无关。 （）3、设21,WW是向量空间 V 的两个子空间，那么它们的交21WW也是 V 的一个子空间。 （）4、数域 P 上两个向量空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（）5、齐次线性方程组0)(XAE的解向量是 A的属于的特征向量。（）6、令),(4321xxxx是4R 的任意向量，那么是4R 到自身的线性变换。其中a)(，a是4R 的一个固定向量。（）7、阵 A的特征向量的
3、线性组合仍是A的特征向量。（）8、若矩阵 A与 B 相似，那么 A与 B 等价。 （）9、在)(2RM中，若 W由所有满足AA2的矩阵组成，那么 W 是)(2RM的子空间。 （）10、矩阵 A的特征根就是 A的特征多项式的根。（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - （ 第 2 页 共 5 页 ）三、证明题（每小题分，共31 分）1、设s,21与t,21是4F 中两个向量组，试证：假如这两个向量组都是线性 无 关 ，
4、那 么 空 间tsLL11,的 维 数 等 于齐 次 线 性 方 程 组01111ttssyyxx的解空间的维数。 (10) 2、设 U 是一个正交矩阵，证明：（1）U 的行列式等于 1 或-1。 （2）如果是U 的一个特征根，那么1也是 U 的一个特征根。 (9) 3、设 A为一个n级实对称矩阵，且0A，证明：必存在实n维向量0X，使0/AXX。(12) 四、计算题（每小题8 分，共 24 分）1、在3F 中，)1, 5,2(),1 ,0, 1(),3 , 1 ,2(321，证明：321,是3F 的基，并求向量)6 ,12,4(关于这个基的坐标。2、求一个正交矩阵 U ，使得AUU使对角形式
5、，其中422242224A。3、化二次型32312122213216223,xxxxxxxxxxxf为平方和，并求所用的满秩线性变换。科目名称：高等代数 姓名：班级：考试时间： 120分钟考试形式： 闭卷一、填空题（每小题5 分，共 25 分）1、(3,4,1)。2、(41414145,) . 3、维（1V）+维（2V）=维（21VV）+维（21VV）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - （ 第 3 页 共 5 页 ）
6、4、特征根是 1,2,3，特征向量分别为2, 2, 1,1 ,0, 1,2, 1 , 13215、秩为 2 二、是非题（每小题2 分，共 20 分）1、 （是 ）2、 （是 ）3、 （是 ）4、 （否 ）5、 （否 ）6、 （否 ）7、 （否 ）8、 （是 ）9、 （否 ）10、 （是 ）三、证明题（每小题分，共31 分）1、解证：设sLV,11，tLV,12，有tVsV21dim,dim，(2) ,1121tsLVV所以，维（21VV）=tS,11，秩，(4) 以s,21，t,21作列构成矩阵 A， 那么 A为线性方程组的系数矩阵， 因此，tS,11，秩=秩（A）,(8)，有维数公式2121
7、21dimdimdimdimVVVVVV=s+t-秩（ A）.(10) 2、证： （1）IUU/，(2) 所以，, 1/UU既12U，(3) 所以， U 的行列式等于 1 或-1。(4) （2）U，所以11UUU，故1是1U的特征根， (6) 则1为/U特征根，而 U 与/U的特征根相同， (8) 所以1也是 U 的一个特征根。 (9) 3、证明：因为 A 是n级实对称矩阵，且0A，故二次型AXXxxfn/1),(的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页
8、- - - - - - - - - （ 第 4 页 共 5 页 ）秩为n，且不是正定的， (3) 故负惯性指数至少是1，从而f可经过非退化线性替换CYX，化成221221/nssyyyyACYCYAXXf， （*）,(7) 其中ns1，当1ny，其余0iy时，上式右端小于零， (9) 但由CYX所确定的解向量0X，使(*) 式左右两端相等， (11) 即有实n维向量 X ，使0/AXX。(12) 四、计算题（每小题8 分，共 24 分）1、在3F 中，)1, 5,2(),1 ,0, 1(),3 , 1 ,2(321，证明：321,是3F 的基，并求向量)6 ,12,4(关于这个基的坐标。解：取
9、321,kkk，使0332211kkk，*,(1) 只有0321kkk，才使*式成立 ,所以321,线性无关，在3F 中321,为它的一个基。 (3) 向量)6 ,12,4(关于这个基的坐标，有332211xxx，(7) 解的)1,16,7(。(8) 2、求一个正交矩阵 U ，使得AUU使对角形式，其中422242224A。解：) 8()2(2AE，则特征根为8,2,2321，(3) 对应它们的线性无关的特征向量分别为111,101,011321，(5) 把21,正交化单位化，得21,，把3单位化，得3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
10、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - （ 第 5 页 共 5 页 ）3131313626161221211,0，取正交矩阵31623161213161210U，(7) 则800020002AUU。(8) 3、化二次型32312122213216223,xxxxxxxxxxxf为平方和，并求所用的满秩线性变换。解23223213231212221321)2()(6223,xxxxxxxxxxxxxxxxf(4) 令3332232112xyxxyxxxy即33321221232322111yxyyxyyyx(6) 1000121212321C，(7) 原式 =2221yy(8) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -