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1、线性代数 第 1 页 共 8 页专业学号姓名成 绩(分)试 题 全 文一、填空题（请将正确答案直接填在横线上。每小题2 分，共 20 分）：1.排列 36215784 的逆序数是，是排列。2行列式513231412的代数余子式31A=，23A=。3.设矩阵dcbaA，当满足 _时，A 是可逆阵，其逆阵为_ _。4.分块矩阵00BA，其中A，B都是可逆方阵，则100BA=。5.n阶方阵A满足032EAA，则1A。6设 A 是一个 n 阶方阵，则A 非奇异的充分必要条件是R（A）=_。7向量)1,2,2,3()4,2,2,1(，则+=_ _,23=_ _。8单独一个非零向量必线性_。9设 AX=O
2、 是有 6 个方程，5 个未知数的齐次线性方程组，其系数矩阵A 的秩为 2，则方程组AX=O 有_ _组解，其基础解系含_ _个解向量。10若 2 是可逆方阵A的特征值，则 _ _ 是2A的特征值，_ _ 是1A的特征值。二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内。每小题 2 分，共 10 分）：1.设行列式121213 10122 3,010,31 510DDDD若则的取值为()。0,1 0,2 1,-1 2,-1 2.设 A,B 为 n 阶 方 阵，A O,且 AB=O,则()。BA =O B=0 或 A=0名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整
3、理-第 1 页，共 8 页 -线性代数 第 2 页 共 8 页B=O(A-B)2=A2+B23.设有 4 维向量组1,6，则（）。R(1,6)=4 R(1,6)=2 1,2,3,4 必然线性无关1,6中至少有 2 个向量能由其余向量线性表示4.当()时,0aAb c是正交阵。a=1,b=0,c=1 a=b=c=1 a=1,b=2,c=3 a=b=1,c=0 5.设 n 阶方阵 A满足AE=0，则 A必有一个特征值为（）。1 -1 0 2 三、计算题(每小题 8 分，共 64 分)：1.计算 4 阶行列式2132651192311021。2.设矩阵1 1 11 0 021 0,2 1 01 0
4、40 2 1AB.求:ABBA。3.设矩阵方程A+B=AB，且110210003B，求矩阵A。4.设向量组123411231111,133542563157求该向量组的秩,并确定一个极大无关组,将其余向量用该极大线性无关组线性表出。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -线性代数 第 3 页 共 8 页1231231231235.(,2,10),(2,1,5),(1,1,4),(1,),(1),?(2),?(3),?TTTTab ca b c设向量组，试问：当满足什么条件时，可由线性表示，且表示唯一不能由线性表示可由线性表示但表示不唯一6.设1231100,1,
5、1101为 R3的一组基,将其化为标准正交基。7.为何值时，线性方程组x1+x2+x3=-3 x1+x2+x3=-2 x1+x2+x3=-2 有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组有无穷多解时求其通解。8.设100010021A，求 A 的特征值及对应的特征向量。四、证明题（6 分）设方阵 A 满足等式2AA7 E=0 试证明方阵A、A3 E、A2 E 均可逆。线性代数课程考试题参 考 解 答一、填空题（请将正确答案直接填在横线上。每小题2 分，共 20 分）：1.排列 36215784 的逆序数是，是排列。(6,偶)2行列式513231412的代数余子式31231421,3231AA.名师资料
6、总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -线性代数 第 4 页 共 8 页3.设矩阵dcbaA，当满足 _adbc_时，A 是可逆阵，其逆阵为bcadabcadcbcadbbcadd。4.分块矩阵00BA，其中A，B都是可逆方阵，则100BA=0011AB。5.n阶方阵A满足032EAA，则EAA31。6设 A 是一个 n 阶方阵，则A 非奇异的充分必要条件是R（A）=_n_。7向量)1,2,2,3()4,2,2,1(，则 23=_(-7,-2,10,5)_ _。8单独一个非零向量必线性_无关_.9设 AX=O 是有 6 个方程，5 个未知数的齐次线性方程组，其系数矩阵A
7、 的秩为 2，则方程组AX=O 有_无穷多 _组解，其基础解系含_523_个解向量。10若 2 是可逆方阵A的特征值，则 _4_是2A的特征值，_1/2_ 是1A的特征值。二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内。每小题 2 分，共 10 分）：1.设行列式121213 10122 3,010,31 510DDDD若则的取值为()。0,1 0,2 1,-1 2,-1 2.设 A,B 为 n 阶 方 阵，A O,且 AB=O,则()。BA =O B=0或 A=0B=O(A-B)2=A2+B23.设有 4 维向量组1,6，则（）。R(1,6)=4 R(1,
8、6)=2 1,2,3,4必然线性无关1,6中至少有 2 个向量能由其余向量线性表示4.当()时,0aAb c是正交阵。a=1,b=0,c=1，a=b=c=1，a=1,b=2,c=3，a=b=1,c=0 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -线性代数 第 5 页 共 8 页5.设 n 阶方阵 A 满足AE=0，则 A 必有一个特征值为（）。1 -1 0 2 三、计算题(每小题 8 分，共 64 分)：1.计算 4 阶行列式2132651192311021。解：4343000171008210102183001710082101021011075308210102
9、12.设矩阵1 1 11 0 021 0,2 1 01 0 40 2 1AB.求:ABBA。解：111100100111210210210210104021021104331111220010412422121521440ABBA3.设矩阵方程A+B=AB，且110210003B，求矩阵A。解：1)(）（BEBABBEABABAABBA101100000100001102100030010010001000001100010010200001002)(2123212112121）（BEBAEBE名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -线性代数 第 6 页 共 8
10、 页4.设向量组123411231111,133542563157求该向量组的秩,并确定一个极大无关组,将其余向量用该极大线性无关组线性表出.解：12341123112311110212133502124256063631570212112313010212021200000000000000000000000013,是一极大线性无关组.21341332,2=1231231231235.(,2,10),(2,1,5),(1,1,4),(1,),(1),?(2),?(3),?TTTTab ca b c设向量组，试问：当满足什么条件时，可由线性表示，且表示唯一不能由线性表示可由线性表示但表示不唯一
11、解：112233123123,2112111054212114 1054(1)4,(2)40,kkkakkbkcaAaaAaA设由已知得 线性方程组其系数行列式为当时,0,方程组有唯一解,可由线性表示,且表达式唯一.当时,对方程组的增广矩阵作初等行变换，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -线性代数 第 7 页 共 8 页123123421121012110012110540003131,()(),(3)4,31()()23,bAbbcbcbcR AR AabcR AR A有若则方程组无解,则 不能由线性表示.当且时,方程组有无穷多解,则 可由线性表示,但其表
12、达式不唯一.6.设1231100,1,1101为 R3的一组基,将其化为标准正交基。解：(1)利用施密持正交化方法将其正交化21112211131323312112211111/210,10121011/2011/22/311/21002/323/2111/22/3,TTTTTT即23,是的正交向量组.(2)将123,标准化11122233322,6/2,3,3TTT3121231231/61/31/20,2/6,1/31/21/61/37.为何值时，线性方程组x1+x2+x3=-3 x1+x2+x3=-2 x1+x2+x3=-2 有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组有无穷多解时求其通解。解：
13、名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -线性代数 第 8 页 共 8 页2113112112()=112112011011211301133112011000(2)(1)3(1)A B当 1 且-2 时，方程组有唯一解；当-2 且1 时方程组无解 当1 时，有无穷多组解，通解为12211010001Xcc8.设100010021A，求 A 的特征值及对应的特征向量。解：3100010(1)0021EA特征值 1231.对于 11，1000000020EA，特征向量为100001kl四、证明题（6 分）设方阵 A 满足等式2AA7 E=0 试证明方阵A、A3 E、A2 E 均可逆。证明：由题设2AA=7 E，从而A71（A E）=E，所以 A 可逆且，1A=71（A E）又，由题设有2AA6 E=E，从而（A3 E）（A2 E）=E，所以 A 3 E、A2 E 均可逆，且互为逆阵名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -