《2021七年级数学下册 9.1.2 不等式的性质深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+误区警醒+知能提升训练+探究创新+迷你数学世界pdf） （新版）新人教版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021七年级数学下册 9.1.2 不等式的性质深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+误区警醒+知能提升训练+探究创新+迷你数学世界pdf） （新版）新人教版.pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 不等式的性质学 习 目 标 导 航掌握不等式的基本性质,理解它们与等式基本性质的异同能应用不等式的性质解一元一次不等式经历不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同教 材 知 识 详 析要点不等式的性质(难点)不等式基本性质:不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变即如果ab,那么acbc不等式基本性质:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变即如果ab,c,那么a cb c或acbc不等式基本性质:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变即如果ab,c,那么a cb c或acbc不等式的相关性质:()对称性:如果ab,那么ba(
2、)传递性:如果ab,bc,那么ac()同向可加性:如果ab,cd,那么accd关键提醒:()注意不等式的性质与等式的性质的联系及区别联系:不等式两边加(或减)同一个数或式子,都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;而等式两边加(或减)同一个数或式子,都乘以(或除以)同一个正数,结果仍相等区别:对于等式来说,在两边乘以(或除以)同一个负数,结果仍相等;而对于不等式来说,在用负数乘以(或除以)不等式的两边时,不等号的方向却要改变正是因为不等式的性质与等式的性质的这种联系及区别,导致了解一元一次不等式与解一元一次方程的联系及区别()注意在不等式的两边加(或减)同一个式子,却不能在不等式的两边乘
3、以(或除以)同一个式子()注意对不等号的方向变与不变的理解()一定要注意不等式的性质的警惕,即不等式两边同乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变这条性质对初学者来说最容易忽视,导致不等式变形错误,应加以重视例若ab,用“”或“”填空:()ab;()ab;()ab精析:对照两边所产生的变化,正确运用不等式的基本性质是解决本题的关键()因为ab,根据不等式的性质,不等式ab的两边都减去,不等号的方向不变,所以ab()因为ab,根据不等式的性质,不等式ab的两边都乘以,不等号的方向不变,所以ab()因为ab,根据不等式的性质,不等式ab的两边都乘以,不等号的方向改变,所以ab解答:()()()解
4、决这类问题时,注意观察所要比较的两个式子,是否可以看作是原来不等式的两边作哪种变形,是加上(或减去)同一个数(或式子),或是在原来不等式的两边同时乘以(或除以)同一个数,然后依据不等式的性质确定不等号的方向是否改变,便可比较出大小要点利用不等式的性质解简单的一元一次不等式(重点)根据不等式的性质,我们可以对不等式进行适当的变形;解不等式就是利用不等式的性质把一个不等式变形为xa或xa的形式利用不等式的性质变形的步骤:()观察不等式变化前后的规律;()适当选择不等式的性质、;()根据选择的性质变形在利用不等式的性质进行变形时,要特别注意不等号的方向是否改变例根据不等式的基本性质,把下列不等式化成
5、xa或xa的形式:()x;()xx;()x精析:适当地选用不等式的基本性质对所给不等式进行变形,注意不等号方向的“不变”与“改变”解答:()由不等式的性质可知,不等式的两边都加上,不等号的方向不变,所以x,即x()由不等式的性质可知,不等式的两边都减去x,不等号的方向不变,所以xxxx,即x()由不等式的性质可知,不等式的两边都除以,不等号的方向改变,所以x()运用不等式的性质对其变形,可以转化为移项,这一点和解一元一次方程完全一致()运用不等式的性质时,有两个改变:一是不等号要改变方向;二是常数项也随之改变符号同时,防止出现由x得x这样的错误()在不等式两边不能同时乘以,因为乘以后,不等式会
6、变为等式要点不等式在实际生活中的应用根据等量关系列方程是我们解应用题的常用方法,但有的应用题中的数量是不等关系,我们可以仿照列方程的方法,根据题目中的不等关系列出不等式也可使问题得解例已知三角形的两边长分别为c m和c m,则下列长度的四条线段中能作为第三边的是()A c mB c mC c mD c m精析:构成三角形的关键在于三角形的三边关系(三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边)借助三角形三边关系,第三边的长度x满足x,即x,故选B解答:B本题通过建立关于第三边的不等式组来确定其取值范围,从而得到问题的答案也可以把每个选项作为第三边一一验证,验证时不需要去将三角形的任意
7、两边都相加,然后判断其和是否大于第三边只需选取较小的两边相加,判断其和是否大于最大边即可拉 分 典 例 探 究综合应用例(要点)在a克糖水中含有b克糖(ab),现再加入m克糖,则糖水变得更甜了,这一实际问题说明了数学上的一个不等关系式,则这个不等关系式为精析:糖水的甜和糖水的浓度有关;糖水的浓度糖的质量糖水的质量此题分别表示出两次糖水的浓度,列出不等式即可根据题意可知,原来糖水中糖所占百分比为ba,后来变为bmam,糖水之所以变甜,是因为糖所占的百分比变大了,从而有bmamba(ab,m)解答:bmamba(ab,m)技法规律:糖水加糖,糖水更甜,这是一个明显的生活经验,于是我们可将问题转化为
8、数学问题,即将加糖前后糖水中含糖的百分比准确地表示出来并且用不等号连接例(要点)实数在数轴上的对应点的位置如图 所示,下列式子正确的有()图 bc;abac;b ca c;a ba cA 个B 个C 个D 个精析:借助数轴确定相关字母的取值,构建相应的不等式,并观察不等式的变化情况根据不等式的基本性质进行判断由点在数轴上的位置可知ab,c b,c,且bc,从而得bc;在不等式bc的两边都加上a,得abac;在不等式ab的两边都乘以c(c),得a cb c,即b ca c;在不等式bc的两边都乘以a(a),得a ba c故选C解答:C分析对比:本题主要考查不等式的基本性质,实数大小比较等充分利用
9、已知条件即点在数轴上的位置所反映出实数的大小,即ab,c,从而直接用不等式的性质求解探究创新例(要点、)如图,要使输出值y大于 ,则输入的最小正整数x是图 精析:本题是一道数值转换机问题,如果按一般方法由结果“逆推”条件也可,但不免略显繁琐因为输出值y大于 ,我们不妨构造不等式模型,利用不等式知识解决当x为奇数时,yx因为y ,所以x ,解得x,此时最小的正整数x是 当x为偶数时,yx,因为y ,所以x ,解得x,此时最小的正整数x是 所以输入的最小正整数x是 解答:归纳演绎:本题是数值转换问题和不等式的结合,解答的关键是不等式模型的建立另外,还要注意数学分类讨论思想的运用例(要点、)已知关于
10、x的不等式xa x的解集为x,求a的值精析:本题已知不等式的解集,要求不等式中待确定的字母系数,与方程解的应用不同,由于x并不是不等式的解,且不等式的解是小于的任意数,所以无法将它代入计算,只能先行求出不等式的解集,再与已知条件比较,其实质即为原不等式和x是同解不等式解答:解这个不等式xa x,xa x,(a)x根据题意,这个不等式有解,且系数化成后不等号要改变方向,所以 a,不等式的解集为x a因为已知不等式的解集是x,所以必有 a,a,则a 经检验,a符合题意,故a的值是技法规律:不等式同解原理:一个不等式与经过变形后的不等式同解()不等式两边同加(或减)同一个数;()两边同乘以(或除以)
11、同一个正数;()两边同乘以(或除以)同一个负数且不等号反向例(要点、)阅读后,请回答:已知x,符号x 表示大于或等于x的最小正整数,如:,()填空:,若x,则x的取值范围是;()某市的出租车收费标准规定如下:k m以内(包括k m)收费元,超过k m的,每超过k m,加收 元(不足k m的按k m计算),用x表示所行的公里数,y表示行x公里应付车费,则乘车费可按如下的公式计算:当x(单位:公里)时,y(元);当x(单位:公里)时,y x(元)某乘客乘车后付费 元,求该乘客所行的路程x(k m)的取值范围精析:x 表示大于或等于x的最小正整数,实际上是对数x取整,注意这里不是四舍五入x时,求字母
12、x的范围,要考虑x取的值大于,同时不大于解答:()x()由 x,解得x,所以 x 技法规律:解阅读新知识,应用新知识的阅读理解题时,首先做到认真阅读题目中介绍的新知识,包括定义、公式、表示方法及如何计算等,并且正确理解引进的新知识,读懂范例的应用;其次,根据介绍的新知识、新方法进行运用,并与范例的运用进行比较,防止出错误 区 警 醒【误区】在应用不等式性质时,不改变符号的方向例将下面的不等式转化为“xa”或“xa”的形式:x错解:根据不等式性质,在不等式的两边同时加,得x,根据不等式性质,在不等式x两边同时除以,得x正解:根据不等式性质,在不等式的两边同时加,得x,根据不等式性质,在不等式x两
13、边同时除以,得x警醒:在利用不等式性质解题时,对其记忆不清,在将不等式向“xa”或“xa”转化时,忘记改变符号的方向,导致产生错误结果【误区】考虑不全面,导致丢解例解不等式a x(a)错解:根据不等式性质,在不等式的两边都加,得a x,再利用不等式性质,在两边同时除以a,得xa正解:分两种情况:a时,根据不等式性质,在不等式的两边都加得a x,再利用不等式性质,在两边同时除以a,得xa,所以不等式a x的解集是xaa时,根据不等式性质,在不等式的两边都加得a x,再利用不等式性质,在两边同时除以a,得xa,所以不等式a x的解集是xa综上所述,不等式a x(a)的解集是xa(a)或xa(a)警
14、醒:在解含有字母系数的不等式时出现漏解在解含有字母系数的不等式时,要注意系数做分母时要不为,且字母系数可以为正,也可以为负,根据不等式性质,在系数化为时注意不等号方向是否改变知 能 提 升 训 练夯基固本(要点)若ab,则下列不等式中,不成立的是()A abB abC abD ab(要点)下列表达中正确的是()A 若mm,则mB 若mm,则mC 若mn则mnD 若mn则m nn(要点)用不等式表示如图所示的解集,其中正确的是()(第题)A xB xC xD x(要点)不等式a xb,两边同除以a得xba,那么a的取值范围是()A aB aC aD a(要点)把不等式x的解集表示在数轴上,正确的
15、是()(要点)从甲地到乙地有 k m,某人以k m/h k m/h的速度由甲地到乙地,则他用的时间大约为()A 小时小时B 小时小时C 小时小时D 小时小时(要点、)若x大于x,则x的取值范围是()A xB xC xD x综合应用(要点)关于x的方程a(x)x(a)x的解是负数,则a的取值范围是()AaBaCaDa(要点)若方程组xyk,xy的解为x,y,且xy,则k的取值范围是()AkBkCkDk(要点)若|m|m,则m的取值范围是(要点)一部电梯的最大负荷为 k g,人共携带了 k g的货物乘电梯,他们的平均体重x应满足的条件是:(要点)某种品牌的八宝粥,外包装标明:净含量为 g g,表明
16、了这罐八宝粥的净含量x的范围是(要点)不等式xn的解集是x,则不等式xn的解集是(要点)某种出租车的收费标准:起步价元(即行驶距离不超过k m都需付元车费),超过k m后,每增加k m,加收 元(不足k m按k m计)某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费 元,那么甲地到乙地路程的最大值是探究创新(要点)通过测量一棵树的树围、树干的周长可以计算出它的树龄,通常规定以树干离地面 m的地方作为测量部位某树栽种时的树围为c m,以后树围每年增加约 c m,这棵树至少生长多少年其树围才能超过 m?请你列出关系式,并解答(要点)甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条a元,又从另一个鱼摊上买了两条鱼,平均每条b
17、元,后来他转手以每条鱼ab的价格卖给了乙,结果发现赔了钱,你知道为什么吗?(要点)宾馆里一座电梯的最大限载量为 k g,两名宾馆服务员要用电梯把一批重物从底层搬到顶层,这两名服务员的体重分别是 k g和 k g,每箱货物的质量为 k g,问他们每次最多只能搬运多少箱这样的重物?答案全析全解 B B C DA DA B B m x k g g x g x k m 设至 少 生长k年 其 树 围 才 能 超 过 m,根据题意列不等式,得k 解这个不等式,得k 故至少生长 年其树围才能超过 m 甲卖给乙可以收回ab元,他买回鱼花了(ab)元根据题意,得(ab)(ab)解得ba所以甲从第一个鱼摊买的鱼
18、比从第二个鱼摊买的鱼贵,因此赔了钱 设每次最多只能搬运x箱根据题意,得 x 解得x 故 他 们 每 次 最 多 只 能 搬 运 重 物 箱迷 你 数 学 世 界略谈化归法化归法是解数学问题的一个基本而重要的方法数学家P罗莎曾用以下的比喻说明化归法的精神,她说:“假如在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴,现在的任务是在烧水,你应怎样做?”正确的回答是:“把水壶中放上水,点燃煤气,再把水壶放到煤气灶上”P罗莎又提出第二个问题:“假设所有的条件都和原来的一样,只是水壶中已经有了足够的水,这时你又应该怎样回答?”我们一定说:“点燃煤气,再把水壶放到煤气灶上”但是她认为这种回答并不是最好的回答,而最好的
19、回答是:“把壶中的水倒掉”“把壶中的水倒掉”,本来是最笨的说法,为什么反而还是最好的呢?这是因为数学家认为:“我已经把后一个问题 化归 为前一个问题了”尽管这个问题,使人听了好笑,但这正是数学家思维方法上的一个特色 变形、转化,华罗庚称之为“退”“把壶中的水倒掉”把一个新问题化归为旧问题,就是把一个复杂的问题转化(化归)成一个或几个容易解答的问题著名的前苏联数学家、莫斯科大学教授CA雅诺夫斯卡娅有一次向奥林匹克数学竞赛参加者发表了“什么叫解题”的演讲她的答案显得惊人的简单,完全出乎听众的意料之外:“解题就是把题归结为已经解过的题”事实上,我们解题时经常设法转化比如本章中解不等式就是利用不等式的
20、性质将其转化为xa或xa的形式P 思考不等式x 还有其他解,这些解应满足x P 思考()()()()规律:由()()得不等式两边加(或减)同一个数,不等号的方向不变由()(),得不等式两边乘以同一个正数,不等号的方向不变;不等式两边乘以同一个负数,不等号的方向改变P 问题符号“”表示大于或等于,即不小于的意思;符号“”表示大于的意思;符号“”表示小于或等于,即不大 于的 意思;符号“”表示小于的意思P 练习()a()a()a()a()a()a ,是不等式的解,其余数不是()x()x()xP 练习P 练习()x()x()x()x表示略()x,x,在数轴上表示略()x,x,在数轴上表示略()y,y,在数轴上表示略()y,y,在数轴上表示略P 习题 ,是x的解,其余数不是()a()a()b ()b()c()c()de()de()x()x()x()x()()()()()x()x()x()x数轴表示略()()L 设蛋白质的含量为xg x ,x(ab)(ba),ab,所以在ab时,两位数比原来的两位数大;(ab)(ba),ab,所以在ab时,两位数比原来的两位数小;(ab)(ba),ab,所以在ab时,两位数等于原来的两位数