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1、数学每日经典例题（2018.11.16）特征方程法求数列的通项使用范围：形如 an+2 = p an+1 + q an （ p 、 q 为常数）.n方法内容：形如 a1 = m1 、 a2 = m2 ， an+2 = p an+1 + q an （ p 、 q 为常数）的二阶递推数列都可以用特征方程法求得 a 的通项，其对应的特征方程为 x2 = p x + q 1 .若方程1 有二异根a、b，则可令 a= c an + c bn （ c 、c是待定常数）；n1212若方程1 有二重根a= b，则可令 a = (c + nc )an （ c 、c是待定常数）；n1212再利用 a1 = m1
2、、 a2 = m2 求出c1、c2 .若方程1 无实根，则数列an 为周期数列.理论背景分析：形如 an+2 = p an+1 + q an ，满足该结构的可能是通项为指数函数，其余的幂函数或者三角函数均不可能符合题意，所有才有了待定系数法预设了指数函数的结构，例如3n+2 = 4 3n+1 - 3 3n .例 1.已知数列an 满足 a1 = 2 ， a2 = 3 ， an +2 = 3an +1 - 2an ，求数列an 得通项 an .n +2n +1n分析：由 a= 3a- 2a 可知该二阶递推数列对应的特征方法为 x2 = 3x - 2 ，有两个互异实根分别为 1、2，故上面的解题模
3、板可知 a= c 1n + c 2n ，将 a = 2 ， a = 3 可得 a= c 1+ c 2 = 2 、 a= c 1+ c 4 = 3 ，n解得c =1 、c = 1 ，故 a1212= 2n-1 +1 .112212122n例 2.已知数列an 满足 a1 = 1， a2 = 2 ， 4an +2 = 4an +1 - an ，求数列an 得通项 an .分析：由 4an +2= 4an +1- an可知该二阶递推数列对应的特征方法为4x2 = 4x -1 ，由两重根为a= b= 1 ，故上面2的解题模板可知 a= (c + c n) 1 n ，将a = 1 ， a = 2 可得 a= (c + c ) 1 = 1 、a= (c + 2c ) 1 = 2 ，解得n12( 2)1211221124c = -4 、c =6 ，故 a= (-4 + n 6) 1 n = 6n - 4 .12n( 2)2n点评：特征方程这个方法目前考察的频率已经很小了，同学们可以不用太过关注，可以作为一个知识点关注下即可.