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1、电磁场与电磁波第1页，共31页，编辑于2022年，星期一1.标量场的梯度标量场的梯度一一.等值面（线）等值面（线）标量函数为标量函数为 ，则等值面方程为：，则等值面方程为：第2页，共31页，编辑于2022年，星期一第3页，共31页，编辑于2022年，星期一第4页，共31页，编辑于2022年，星期一第5页，共31页，编辑于2022年，星期一第6页，共31页，编辑于2022年，星期一第7页，共31页，编辑于2022年，星期一第8页，共31页，编辑于2022年，星期一第9页，共31页，编辑于2022年，星期一第10页，共31页，编辑于2022年，星期一第11页，共31页，编辑于2022年，星期一第1
2、2页，共31页，编辑于2022年，星期一第13页，共31页，编辑于2022年，星期一梯度的重要性质梯度的重要性质标量场的梯度恒等于零。标量场的梯度恒等于零。第14页，共31页，编辑于2022年，星期一2 矢量场的通量矢量场的通量 散度散度一、矢量线（力线）一、矢量线（力线）矢量场的通量矢量场的通量 矢量线的疏密表征矢量场的大小矢量线的疏密表征矢量场的大小 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向 若若S 为闭合曲面为闭合曲面 若矢量场若矢量场 分布于空间中，在分布于空间中，在空间中取任意曲面空间中取任意曲面S S，定义：，定义：为为矢量矢量 沿沿有向曲面有向
3、曲面S S 的通量的通量。物理意义：表示穿入和穿出闭合面物理意义：表示穿入和穿出闭合面S S的通量的的通量的代数和代数和。二、矢量场的散度二、矢量场的散度第15页，共31页，编辑于2022年，星期一 在场空间在场空间 中任意点中任意点M M 处作一个闭合曲面，所围的体积处作一个闭合曲面，所围的体积为为 ，则定义场矢量，则定义场矢量 在在M M 点处的散度为上式点处的散度为上式 第16页，共31页，编辑于2022年，星期一 散度的物理意义散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性通量源的分布特性 矢量场的散度是一个标量矢量场的散度是一个标量 矢量场的散度
4、是空间坐标的函数矢量场的散度是空间坐标的函数 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度矢量场的散度值表征空间中通量源的密度 若若 ，则该矢量场称为，则该矢量场称为有源场有源场，为源密度为源密度 若若 处处成立，则该矢量场称为处处成立，则该矢量场称为无源场无源场 讨论：在矢量场中，讨论：在矢量场中，(正源正源)负源负源)(无源无源）若若 ，闭合面内有产生矢量线的，闭合面内有产生矢量线的正源正源 若若 ，闭合面内有吸收矢量线的，闭合面内有吸收矢量线的负源负源 第17页，共31页，编辑于2022年，星期一第18页，共31页，编辑于2022年，星期一第19页，共31页，编辑于2022年，星期一第20页，共
5、31页，编辑于2022年，星期一第21页，共31页，编辑于2022年，星期一高斯定理（散度定理）的证明高斯定理（散度定理）的证明从散度定义有：从散度定义有：则在一定体积则在一定体积V V内的总的通量为：内的总的通量为：得证！得证！第22页，共31页，编辑于2022年，星期一3 矢量场的环流矢量场的环流 旋度旋度一、矢量的环量一、矢量的环量 环流的计算在场矢量在场矢量 空间中，取一有向闭合路径空间中，取一有向闭合路径l l，则称则称 沿沿l l积分的结果称为矢量积分的结果称为矢量 沿沿l l的环的环量。即：量。即：环流意义：若矢量场环流不为零，则回路所围面积中存在产生矢量场的漩环流意义：若矢量场
6、环流不为零，则回路所围面积中存在产生矢量场的漩涡源。涡源。在直角坐标系中：在直角坐标系中：讨论：讨论：第23页，共31页，编辑于2022年，星期一第24页，共31页，编辑于2022年，星期一 旋度的物理意义旋度的物理意义 旋度的计算旋度的计算 矢量的旋度为矢量的旋度为矢量矢量，是空间坐标的函数；，是空间坐标的函数；矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度漩涡源密度；在直角坐标系下：在直角坐标系下：第25页，共31页，编辑于2022年，星期一第26页，共31页，编辑于2022年，星期一第27页，共31页，编辑于2022年，星期一三、斯托克斯定
7、理三、斯托克斯定理由旋度的定义由旋度的定义 对于有限大面积对于有限大面积s，可将其按如图方式进，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有行分割，对每一小面积元有 斯托克斯定理的证明：斯托克斯定理的证明：得证！得证！意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。第28页，共31页，编辑于2022年，星期一第29页，共31页，编辑于2022年，星期一矢量场旋度的重要性质矢量场旋度的重要性质 任意矢量场旋度的散度等于零。任意矢量场旋度的散度等于零。第30页，共31页，编辑于2022年，星期一7 7、拉普拉斯方程、拉普拉斯方程、拉普拉斯方程、拉普拉斯方程第31页，共31页，编辑于2022年，星期一