电磁场电磁波教案 (2).ppt

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1、第一章第一章 矢量分析矢量分析主主 要要 内内 容容梯度、散度、旋度、梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1.标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度2.矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度3.矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度4.无散场和无旋场无散场和无旋场5.格林定理格林定理 6.矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理7.亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 8.正交曲面坐标系正交曲面坐标系2023/4/2011 1 标量标量（1 1）标量：）标量：只有大小没有方向的物理量。用斜体字母表示，如只有大小没有方向的物理量。用斜体字母表示，如A。（2 2）恒力作）恒力作功功W=FS力力F和位移和位

2、移S都是矢量，而功都是矢量，而功W是标量，是标量，F和和S进行进行了一次点乘。了一次点乘。（3 3）标量还可能是复数，如交流电路中的复数电压）标量还可能是复数，如交流电路中的复数电压U，复数电流，复数电流I等，人等，人们把相位信息巧妙的存放在复数的幅角上，公式推导和计算都很方便。们把相位信息巧妙的存放在复数的幅角上，公式推导和计算都很方便。a a 一部分标量是算数量：一部分标量是算数量：如质量如质量m、体积、体积v、直流电阻、直流电阻R均大于等于均大于等于0。b b 另一部分标量是代数量：另一部分标量是代数量：电量电量Q、静电位、静电位、磁通量磁通量等可正可负；等可正可负；电量电量Q正负可描述

3、带正电还是带负电；正负可描述带正电还是带负电；磁通量磁通量的正负可描述磁力线的穿进和穿出；的正负可描述磁力线的穿进和穿出；忽略力忽略力F的方向属性后，从它的正负依然可甄别是吸力还是斥力；的方向属性后，从它的正负依然可甄别是吸力还是斥力；规定了参考方向以后，电流强度规定了参考方向以后，电流强度I的正负可描述电流的瞬时方向等等。的正负可描述电流的瞬时方向等等。在研究的问题中，如果只存在两种对立的广义方向，则使用标量进在研究的问题中，如果只存在两种对立的广义方向，则使用标量进行描述和处理是合理的。行描述和处理是合理的。1-1 1-1 标量与矢量标量与矢量2023/4/2022 2 矢量：既有大小又有

4、方向且满足平行四边形合成法则的物理量。矢量：既有大小又有方向且满足平行四边形合成法则的物理量。例：物体的位移例：物体的位移s，速度，速度v，加速度，加速度a，角速度角速度 ，力，力F，电场强度，电场强度E等。等。3 3 标量场与矢量场标量场与矢量场场是物质的存在形态，在空间同一点上，允许同时存在多种场，或者场是物质的存在形态，在空间同一点上，允许同时存在多种场，或者一种场的多种模式，这与实物粒子的不可入性和排他性有天壤之别。一种场的多种模式，这与实物粒子的不可入性和排他性有天壤之别。标量场：标量的空间分布构成标量场。标量场：标量的空间分布构成标量场。矢量场：矢量的空间分布构成矢量场。矢量场：矢

5、量的空间分布构成矢量场。或者说：如果在空间区域或者说：如果在空间区域上，每一点都存在一确定的物理量上，每一点都存在一确定的物理量A，则场，则场域上存在由场量域上存在由场量A构成的场，如果构成的场，如果A是标量，我们就说是标量，我们就说上存在一标量上存在一标量场；如果场；如果A是矢量，则说明场域是矢量，则说明场域上存在一矢量场。上存在一矢量场。用加粗的斜体字母表示，如用加粗的斜体字母表示，如A。手。手写体为斜体字母加箭头，如写体为斜体字母加箭头，如 。2023/4/2034 4 按时空变化规律的几种典型场按时空变化规律的几种典型场（2）如果）如果A=A(t)，即场量，即场量A仅随时间仅随时间t变

6、化，而在空间上呈现均匀分布，变化，而在空间上呈现均匀分布，这种场被称为均匀场。这种场被称为均匀场。5 5 常矢量：若矢量的大小及方向均与空间坐标无关，这种矢量称为常矢量：若矢量的大小及方向均与空间坐标无关，这种矢量称为常矢量。否则，称为变矢量。常矢量。否则，称为变矢量。（1）如果）如果A=A(x,y,z)，即场量，即场量A不随时间不随时间t变化，人们把这种场称为静变化，人们把这种场称为静态场或恒定场。态场或恒定场。例如，房间的温度场例如，房间的温度场T(x,y,z)一般是均匀场，因为尽管在一昼夜中一般是均匀场，因为尽管在一昼夜中温度是变化的，但同一时刻温度是变化的，但同一时刻t房间内任意两点间

7、的温差为房间内任意两点间的温差为0；换言之，；换言之，不同点上的温度变化是同步的，在均匀情况下，观测不到波动现象，不同点上的温度变化是同步的，在均匀情况下，观测不到波动现象，只能观测到整个场域在作同步的振动。只能观测到整个场域在作同步的振动。（3）均匀平面波）均匀平面波（4）时变场）时变场例如：地球内部密度分布，点电荷的静电位例如：地球内部密度分布，点电荷的静电位和电场强度和电场强度E。2023/4/2041-2 1-2 矢量的代数运算矢量的代数运算2.加法：结合律：加法：结合律：交换率：交换率：3.矢量与标量相乘：矢量与标量相乘：与与大小方向均相同：大小方向均相同：1.2023/4/2051

8、-3 1-3 矢量的标积矢量的标积2.矢量的模：矢量矢量的模：矢量A的大小定义为的大小定义为A的模，以的模，以或或A表示。表示。3.单位矢量：模为单位矢量：模为1的矢量。的矢量。则：任一矢量等于该矢量的模与其单位矢量的乘积。则：任一矢量等于该矢量的模与其单位矢量的乘积。1.两个矢量的标积又称为点积或内积，以点号两个矢量的标积又称为点积或内积，以点号“”表示。表示。若矢量若矢量A的坐标分量为的坐标分量为，矢量，矢量B的坐标分量为的坐标分量为，两个矢量的标积是一个标量，且满足交换律，即：两个矢量的标积是一个标量，且满足交换律，即：则矢量则矢量A与矢量与矢量B的标积的代数定义为：的标积的代数定义为：

9、则则定义：定义：为矢量为矢量A的单位矢量，即的单位矢量，即的模为的模为1，方向与，方向与A相同。相同。2023/4/206则矢量则矢量A为坐标轴上投影的合成矢量，即为坐标轴上投影的合成矢量，即 或者或者 其中，其中，为为与与轴的夹角轴的夹角称为称为A矢量的方向余弦。矢量的方向余弦。分别表示分别表示x轴、轴、y轴、轴、z轴方向上的单位矢量，轴方向上的单位矢量，4.A的方向余弦：若的方向余弦：若，则矢量则矢量A在三个坐标轴上的投影分别为在三个坐标轴上的投影分别为，2023/4/2075.矢量标积的几何意义：矢量标积的几何意义：由由 可得：可得：，令，令与与x轴夹角为轴夹角为，则，则，设设是矢量是矢

10、量B在矢量在矢量A方向上的投影大小方向上的投影大小标积标积AB等于矢量等于矢量A的模与矢量的模与矢量B在矢量在矢量A的方向上的投影大小的乘积，的方向上的投影大小的乘积，或者说等于矢量或者说等于矢量B的模与矢量的模与矢量A在矢量在矢量B的方向上的投影大小的乘积。的方向上的投影大小的乘积。是矢量是矢量A在矢量在矢量B方向上的投影大小方向上的投影大小 显然：显然：2023/4/208xyzAOB两个矢量的矢积仍然是一个矢量两个矢量的矢积仍然是一个矢量 注意：矢量的矢积运算不满足交换律注意：矢量的矢积运算不满足交换律1.矢量的矢积又称为叉积或外积，以叉号矢量的矢积又称为叉积或外积，以叉号“”表示。在直

11、角坐标系中表示。在直角坐标系中若矢量若矢量A和矢量和矢量B分别为分别为则矢量则矢量A与矢量与矢量B矢积的代数定义可用行列式表示为矢积的代数定义可用行列式表示为1-4 1-4 矢量的矢积矢量的矢积2023/4/2092.矢量矢积的几何意义：矢量矢积的几何意义：，矢量，矢量，若矢量，若矢量A与矢量与矢量B之间的之间的设矢量设矢量夹角为夹角为，则有，则有2023/4/2010 xyzAOBAB 显然：显然：可见，矢量（可见，矢量（AB）的方向与矢量）的方向与矢量A及矢量及矢量B垂直，且由若矢量垂直，且由若矢量A旋转到矢量旋转到矢量B，并与矢量（，并与矢量（AB）构成右旋关系，矢量（）构成右旋关系，矢

12、量（AB）的大小）的大小为为 。5.5.标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度方向导数方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向 上的变化率。上的变化率。例如标量场例如标量场 在在 P 点沿点沿 l 方向上的方向导数方向上的方向导数 定义为定义为Pl2023/4/20112023/4/2012梯度梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的标量场在某点梯度的大小等于该点的最大最大方向导数，梯度的方方向导数，梯度的方 向为该点具有向为该点具有最大最大方向导数的方向。可见，方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量梯度是一个矢量。在直角坐标

13、系中，方向导数在直角坐标系中，方向导数 可写为可写为若矢量若矢量l的方向余弦的方向余弦为为 ，则则上式上式变为变为若令（若令（）为矢量）为矢量G的三个坐的三个坐标标分量，即分量，即而矢量而矢量l的单位矢量的单位矢量 为为数学关系推导：数学关系推导：2023/4/2013那么，标量场那么，标量场 沿矢量沿矢量l方向上的方向方向上的方向导导数数 可以写可以写为为矢量矢量G 称为标量称为标量的梯度，以的梯度，以grad表示，即表示，即 由此可见，标量场由此可见，标量场的梯度是一个矢量场。由式的梯度是一个矢量场。由式 可见，当可见，当 的方向与梯度方向一致时，方向导数取得最大值。的方向与梯度方向一致时

14、，方向导数取得最大值。因此，标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的因此，标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。方向为该点具有最大方向导数的方向。在直角坐标系中，标量场在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为的梯度可表示为式中式中grad 是英文字母是英文字母 gradient 的缩写。的缩写。若引入算符若引入算符，它在直角坐标系中可表示为，它在直角坐标系中可表示为则梯度可表示为则梯度可表示为2023/4/2014梯度运算规则梯度运算规则:例例1-4-11-4-1 已已知知标标量量场场 ，求求（2,1,32,1,3）处方向导数的最大值处

15、方向导数的最大值 。解：根据梯度的定义，求得该标量场解：根据梯度的定义，求得该标量场 的梯度为：的梯度为：那么，在（那么，在（2,1,32,1,3）处的梯度为）处的梯度为 ，其模为，其模为 因此，在（因此，在（2,1,32,1,3）处方向导数的最大值为）处方向导数的最大值为 。例例1-4-21-4-2 计计算算 及及 。这这里里 为为空空间间 点点与与 点点之之间间的的距距离离，如图。，如图。点的坐标为点的坐标为 ,点的坐标为点的坐标为 ，表示对表示对 运算，运算，表示对表示对 运算。运算。xyzO解解：令令 点点的的位位置置矢矢量量为为 ，点点的的位位置置矢矢量量为为 ，则则再令再令则则由题

16、意由题意则则又又同理同理则则因此因此同理同理xyzO 注注意意：上上述述运运算算过过程程及及结结果果在在电电磁磁场场计计算算中中经经常常遇遇到到，通通常常以以 表表示示产产生生电电磁磁场场的的源源坐坐标标，以以 表表示示场场坐坐标标。图图中中，表表示示源源点点，表表示示场场点点。当当计计算算某某一一分分布布源源在在空空间间某某点点产产生生的的场场强强时时，为为动动点点，为为定定点点；当当计计算算空空间间场场量量的的分分布布特特性性或或者者空空间间某某点点各各个个场场量量之之间间的的关关系时，系时，为动点，为动点，为定点。为定点。通量定义：通量定义：矢量矢量 A 沿某一有向曲面沿某一有向曲面 S

17、 的面积分称为矢量的面积分称为矢量 A 通过该有通过该有向曲面向曲面 S 的通量，以标量的通量，以标量 表示，即表示，即 6.矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度通量的正、负、零：通量的正、负、零：通量可为正、或为负、或为通量可为正、或为负、或为零零。当矢量穿出某个闭。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源源；当矢量进入这个闭合；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞洞（或（或汇汇）。闭合的有向曲）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的面的方向通常规定为闭合面的外外法线方向。

18、因此，当闭合面中有法线方向。因此，当闭合面中有源源时，时，矢量通过该闭合面的通量一定为矢量通过该闭合面的通量一定为正正；反之，当闭合面中有；反之，当闭合面中有洞洞时，矢量通时，矢量通过该闭合面的通量一定为过该闭合面的通量一定为负负。所以，前述的。所以，前述的源源称为称为正源正源，而，而洞洞称为称为负源负源。2023/4/2019电电学学实实例例：由由物物理理得得知知，真真空空中中的的电电场场强强度度 E 通通过过任任一一闭闭合合曲曲面面的的通通量量等等于于该该闭闭合合面面包包围围的的自自由由电电荷荷的的电电量量 q 与与真真空空介介电电常常数数 0 之比，即，之比，即，可见，当闭合面中存在正电

19、荷时，通量为正。当闭合面中存在负电可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的的分布分布特性。为此需要研究矢量场的特性。为此需要研究矢量场的散度散度。2023/4/2020散度：散度：当闭合面当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量向某点无

20、限收缩时，矢量 A 通过该闭合面通过该闭合面S 的的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该在该 点的散度，以点的散度，以 div A 表示，即表示，即式中式中div 是英文字母是英文字母 divergence 的缩写，的缩写，V 为闭合面为闭合面 S 包围的体包围的体积。上式表明，积。上式表明，散度是一个标量散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量，可以简单的记为通量体密度。闭合面的通量，可以简单的记为通量体密度。直角坐标系中散度可表示为直角坐标系中散度可表示为 2023/4/2021因此散

21、度可用算符因此散度可用算符 表示为表示为高斯散度定理高斯散度定理或者写为或者写为 从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域中的场和包围区域 V 的闭合面的闭合面 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，中的场，根据高斯定理即可求出边界根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。2023/4/2022散度运算规则散度运算规则:拉普拉斯算子拉普拉斯算子:直角坐标系

22、中直角坐标系中因此因此式中式中 称为拉普拉斯算子。称为拉普拉斯算子。直角坐标系表达式：直角坐标系表达式：例例1-5-11-5-1 求空间任一点求空间任一点 的位置矢量的位置矢量 的散度。的散度。解：已知解：已知 因此因此环量：环量：矢量场矢量场 A 沿有向闭合曲线沿有向闭合曲线 l 的线积分称为矢量场的线积分称为矢量场 A 沿该曲沿该曲 线的环量，以线的环量，以 表示，即表示，即7.矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度可见，若在闭合有向曲线可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场上，矢量场 A 的方向处处与线元的方向处处与线元 dl 的方的方向保持一致，则环量向保持一致，则环量 0；若处处相反，

23、则；若处处相反，则 0。可见，环量。可见，环量可以用来描述矢量场的可以用来描述矢量场的旋涡旋涡特性。特性。2023/4/2025 由物理学得知，真空中磁感应强度由物理学得知，真空中磁感应强度 B 沿任一闭合有向曲线沿任一闭合有向曲线 l 的的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率与真空磁导率 0 的乘的乘积。即积。即 式中电流式中电流 I 的正方向与的正方向与 dl 的方向构成的方向构成 右旋右旋 关系。由此可见，环量关系。由此可见，环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表

24、的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的线包围的总的源强度，它不能显示源的分布分布特性。为此，需要研究特性。为此，需要研究矢量场的矢量场的旋度旋度。2023/4/2026旋度：旋度：旋度是一个矢量。若以符号旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量表示矢量 A 的旋度，则其的旋度，则其 方向是使矢量方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，其大小等于对具有最大环量强度的方向，其大小等于对 该矢量方向的最大环量强度，即该矢量方向的最大环量强度，即式中式中 rot 是英文字母是英文字母 rotation 的缩写，的缩写，en 为为最大环量强度的方向上最大环量强度的方向上的单位矢量，的单位矢

25、量，S 为闭合曲线为闭合曲线 l 包围的面积。上式表明，矢量场的包围的面积。上式表明，矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量，或简旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量，或简单记为最大环量面密度。单记为最大环量面密度。2023/4/2027直角坐标系中旋度可用矩阵表示为直角坐标系中旋度可用矩阵表示为 或用算符或用算符 表示为表示为 应该注意，无论梯度、散度或旋度都是应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算微分运算，它们表示场在，它们表示场在某某点点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。

26、因此，梯梯度、散度及旋度描述的是场的度、散度及旋度描述的是场的点点特性或称为特性或称为微分微分特性特性。函数的连续性是。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。度、散度或旋度。2023/4/2028斯托克斯旋度定理斯托克斯旋度定理 同高斯定理类似，从数学角度可以认为同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯斯托克斯定理建立了面积定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯斯托克斯定理建立了区域定理建立了区域 S 中的场和包围区域

27、中的场和包围区域 S 的闭合曲线的闭合曲线 l 上的场之间的关系。因此，如果上的场之间的关系。因此，如果已知区域已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界 l 上的场，反之上的场，反之亦然。亦然。或者写为或者写为2023/4/2029旋度运算规则旋度运算规则:例例1-6-11-6-1 证明证明 ，式中，式中 为常矢量，为常矢量，为位置矢量。为位置矢量。证：令证：令 ，而，而 ，则，则 那么那么 散度处处为散度处处为零零的矢量场称为的矢量场称为无散场无散场，旋度处处为，旋度处处为零零的的矢量场称为矢量场称为无旋场无旋场。8.8.无散场和无旋场无散场和无

28、旋场两个重要公式：两个重要公式：左式表明，左式表明，任一矢量场任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零的旋度的散度一定等于零。因此，因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，或者说，任何旋度场一定是无散场任何旋度场一定是无散场。2023/4/2031 右式表明，右式表明，任一标量场任一标量场 的梯度的旋度一定等于零的梯度的旋度一定等于零。因此，因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或，或者说，者说，任何梯度场一定是无旋场任何梯度场一定是无旋场。两个重要公式：两个重要公式：第一式是判别场量是否是旋度场的

29、准则。若第一式是判别场量是否是旋度场的准则。若 ，则矢量则矢量 可以写成可以写成 的形式。的形式。例：例：矢量矢量 能否表示成某矢量场的能否表示成某矢量场的旋度？说明理由。旋度？说明理由。说说明明：矢矢量量 是是无无散散场场。因因为为任任一一无无散散场场可可以以表表示示成成另一矢量场的旋度另一矢量场的旋度，因此，因此，可以表示成某矢量场的旋度。可以表示成某矢量场的旋度。解：对矢量解：对矢量 求散度。求散度。两个重要公式：两个重要公式：第二式是判别场量是否是梯度场的准则。若第二式是判别场量是否是梯度场的准则。若 ，则矢量则矢量 可以写成可以写成 的形式。的形式。例：例：矢量矢量 是否为梯度场？说

30、明理由。是否为梯度场？说明理由。解：对矢量解：对矢量 求旋度。求旋度。说说明明：矢矢量量 是是无无旋旋场场。因因为为任任何何梯梯度度场场一一定定是是无无旋旋场场，因此，因此，是梯度场。是梯度场。9.格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，中具有连续的二阶偏导数，如下图示。如下图示。SV,那那么么，可可以以证证明明该该两两个个标标量量场场 及及 满足下列等式满足下列等式根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，的闭合曲面，为标量为标量场场 在在 S 表面的外

31、法线表面的外法线 en 方向上的偏方向上的偏导数。导数。上两式称为上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。2023/4/2034基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。设设任任意意两两个个矢矢量量场场 P 与与 Q，若若在在区区域域 V 中中具具有有连连续续的的二二阶阶偏偏导导数数，那么，可以证明该矢量场那么，可以证明该矢量场 P 及及 Q 满足下列等式满足下列等式式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，面元的闭合曲面，面元 dS 的方向为的方向为S 的外法线方向，上式称的外法线方向，上式称为为矢量第一格林定理矢量第一格林定

32、理。2023/4/2035基于上式还可获得下式：基于上式还可获得下式：此式称为此式称为矢量第二格林定理矢量第二格林定理。无无论论何何种种格格林林定定理理，都都是是说说明明区区域域 V 中中的的场场与与边边界界 S 上上的的场场之之间间的的关关系系。因因此此，利利用用格格林林定定理理可可以以将将区区域域中中场场的的求求解解问问题题转转变变为为边边界界上上场场的求解问题。的求解问题。此外，格林定理说明了此外，格林定理说明了两种两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可

33、利用格林定理求解另一种场的分布特性。场的分布特性。格林定理广泛地用于电磁理论。格林定理广泛地用于电磁理论。2023/4/203610.矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理 位位于于某某一一区区域域中中的的矢矢量量场场，当当其其散散度度、旋旋度度以以及及边边界界上上场场量量的的切切向向分分量量或或法法向向分分量量给给定定后后，则则该该区区域域中中的的矢矢量量场场被被惟一地确定。惟一地确定。已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其理表明，矢量场被其源源及及边界条件边界条件共同决定的。共同决定的。2023/4/2037 若矢量场若

34、矢量场 F(r)在在无限无限区域中处处是区域中处处是单值单值的，的，且其且其导数连导数连续有界续有界，源分布在，源分布在有限有限区域区域 V 中，则当矢量场的中，则当矢量场的散度散度及及旋度旋度给定后，该矢量场给定后，该矢量场 F(r)可以表示为可以表示为 11.11.亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 式中式中2023/4/20382023/4/2039（1）无限空间中的矢量场被其）无限空间中的矢量场被其散度散度及及旋度旋度惟一的确定，而且它给出了惟一的确定，而且它给出了场场与与源源之间的定量关系。之间的定量关系。（2）已知，梯度场是无旋场，旋度场是无散场。所以，任一矢量场均可）已知，梯度场是无旋场，

35、旋度场是无散场。所以，任一矢量场均可表示为一个表示为一个无旋场无旋场与一个与一个无散场无散场之和之和。（3 3）如果矢量场的散度及旋度已知，即可求出该矢量场。因此，）如果矢量场的散度及旋度已知，即可求出该矢量场。因此，矢量场矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。式中式中定理表明定理表明：亥姆霍兹定理：亥姆霍兹定理：12.正交曲面坐标系正交曲面坐标系 已知矢量已知矢量 A 在在圆柱坐标系和球坐圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示标系中可分别表示为为式中式中 a,b,c 均为常数，均为常数，A 是常矢量吗？是常矢量吗？圆柱圆柱(r,z)yzxP0 0=0r

36、=r0z=z 0Oxzy=0 0 0球球(r,)r=r 0=0P0O直角直角(x,y,z)zxyz=z 0 x=x 0y=y 0P0O2023/4/20402023/4/2041一个正交曲面坐标系由一个正交曲面坐标系由 的的3个正交坐标曲面构成，个正交坐标曲面构成，称为坐标变量。令称为坐标变量。令 分别表示分别表示3个相应坐标变量梯度方向上的单个相应坐标变量梯度方向上的单位矢量。三个曲面处处正交，因此，位矢量。三个曲面处处正交，因此，以及以及在三维正交坐标系在三维正交坐标系 中，矢量中，矢量A 可表示为：可表示为：若一条曲线上各点的切线方向与若一条曲线上各点的切线方向与 方向一致，则称该曲线为

37、变量方向一致，则称该曲线为变量 的的坐标轴。坐标轴。2023/4/2042(1)(1)度量系数度量系数 令令 称为相应的坐标变量称为相应的坐标变量 的度量系数的度量系数（拉梅系数）（拉梅系数）在矢量分析中，经常对矢量函数进行微分与积分运算，这种运算需要在矢量分析中，经常对矢量函数进行微分与积分运算，这种运算需要坐标变量的微分变化对应于微分长度的变化，但是在正交曲面坐标系坐标变量的微分变化对应于微分长度的变化，但是在正交曲面坐标系中，其坐标变量不一定代表长度。如：中，其坐标变量不一定代表长度。如：，代表角度。因此，为了能代表角度。因此，为了能对各种坐标变量进行微分运算，必须把非长度的坐标变量的微

38、分增量对各种坐标变量进行微分运算，必须把非长度的坐标变量的微分增量转化为微分长度。转化为微分长度。有向长度的微分增量可以表示为：有向长度的微分增量可以表示为：那么，该微分增量可用度量系数表示为那么，该微分增量可用度量系数表示为有向曲面的微分增量可以表示为：有向曲面的微分增量可以表示为：体积的微分增量可以表示为：体积的微分增量可以表示为：dS在相应的坐标平面上的投影面积用度量系数表示为：在相应的坐标平面上的投影面积用度量系数表示为：2023/4/2044正交曲面坐标系中梯度、散度、旋度的一般表示式：正交曲面坐标系中梯度、散度、旋度的一般表示式：2023/4/2045直角坐标系中直角坐标系中直角坐标系中梯度、散度、旋度的一般表示式：直角坐标系中梯度、散度、旋度的一般表示式：(2)(2)圆柱坐标系圆柱坐标系 2023/4/2046(3)(3)球坐标系球坐标系 2023/4/2047