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1、第一章第一章计计数原理数原理第一章计数原理第一章计数原理11分分类类加法加法计计数原理与分步乘法数原理与分步乘法计计数原理数原理第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理学习导航学习导航栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理新知初探思维启动新知初探思维启动1分分类类加法加法计计数原理数原理完完成成一一件件事
2、事有有两两类类不不同同的的方方案案，在在第第1类类方方案案中中有有m种种不不同同的的方方法法，在在第第2类类方方案案中中有有n种种不不同同的的方方法法，那那么么完成完成这这件事共有件事共有N_种不同的方法种不同的方法做一做做一做1.若若某某班班有有男男生生26人人，女女生生24人人，从从中中选选一一位位同同学学为为数数学学课课代表，有代表，有_种不同种不同选选法法答案：答案：50mn栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理2分步乘法分步乘法计计数原理数原理完成一件
3、事需要两个步完成一件事需要两个步骤骤，做第，做第1步有步有m种不同的方法，种不同的方法，做第做第2步有步有n种不同的方法，那么完成种不同的方法，那么完成这这件事共有件事共有N_种不同的方法种不同的方法想一想想一想分分步步乘乘法法计计数数原原理理中中的的“各各步步方方法法”能能单单独独“完完成成这这件事件事”吗吗？提示：提示：不能不能mn栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理做一做做一做2.已知集合已知集合A1,2，B3,4,5，从集合，从集合A和集合和集合B中中
4、分分别别取一个元素作取一个元素作为为平面直角坐平面直角坐标标系中的点的横、系中的点的横、纵纵坐坐标标，可确定，可确定_个不同点个不同点答案：答案：6栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理典题例证技法归纳典题例证技法归纳例例1题题题题型探究型探究型探究型探究题型一分类加法计数原理题型一分类加法计数原理 在在所所有有的的两两位位数数中中,个个位位数数字字大大于于十十位位数数字字的的两两位数共有多少个？位数共有多少个？【解解】法法一一：按按十十位位上上的的数数字字分分
5、别别是是1,2,3,4,5,6,7,8的的情情况况分分成成8类类,在在每每一一类类中中满满足足题题目目条条件件的的两两位位数数分分别别是是8个个,7个个,6个个,5个个,4个个,3个个,2个个,1个个由由分分类类加加法法计计数数原原理理知知,符符合合题题意意的的两两位位数数共共有有8765432136(个个)栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理法二：按个位上的数字是法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成分成8类类,在每一在每一类类中中满满足条
6、件的两位数分足条件的两位数分别别是是1个个,2个个,3个个,4个个,5个个,6个个,7个个,8个个,所以按分所以按分类类加法加法计计数原理数原理,满满足条件的两位数共有足条件的两位数共有1234567836(个个)【名名师师点点评评】利用分利用分类类加法加法计计数原理数原理时时要注意：要注意：(1)要准确理解要准确理解题题意意,确定分确定分类类的的标标准准(2)分分类时类时要做到要做到“不重不漏不重不漏”,即即类类与与类类之之间间要保要保证证相相互互间间的独立性的独立性栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推
7、荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理互动探究互动探究1本本例例条条件件不不变变,问问个个位位数数字字小小于于十十位位数数字字的的两两位位数数共共有多少个？有多少个？解解：当当个个位位数数字字为为0,1,2,3,4,5,6,7,8时时,符符合合条条件件的的两两位位数数分分别别有有9,8,7,6,5,4,3,2,1个个,根根据据加加法法计计数数原原理理共共有有98765432145(个个)栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理例例2 从从1,2,3,4中中
8、选选三三个个数数字字,组组成成无无重重复复数数字字的的整整数数,则则满满足下列条件的数有多少个？足下列条件的数有多少个？(1)三位数；三位数；(2)三位数的偶数三位数的偶数【解解】(1)三位数有三个数位三位数有三个数位,故可分三个步故可分三个步骤骤完成：完成：第第1步步,排个位排个位,从从1,2,3,4中中选选1个数字个数字,有有4种方法；种方法；第第2步步,排十位排十位,从剩下的从剩下的3个数字中个数字中选选1个个,有有3种方法；种方法；第第3步步,排排百百位位,从从剩剩下下的的2个个数数字字中中选选1个个,有有2种种方方法法依依据据分分步乘法步乘法计计数原理数原理,共有共有43224个个满
9、满足要求的三位数足要求的三位数.题型二分步乘法计数原理题型二分步乘法计数原理百位百位 十位十位 个位个位栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理(2)分三个步分三个步骤骤完成：完成：第第1步步,排个位排个位,从从2,4中中选选1个个,有有2种方法；种方法；第第2步步,排十位排十位,从余下的从余下的3个数字中个数字中选选1个个,有有3种方法；种方法；第第3步步,排排百百位位,只只能能从从余余下下的的2个个数数字字中中选选1个个,有有2种种方方法法故共有故共有2321
10、2个三位数的偶数个三位数的偶数【名名师师点点评评】利利用用分分步步乘乘法法计计数数原原理理解解决决问问题题时时,一一定定要要正正确确设设计计“分分步步”的的程程序序,即即完完成成这这件件事事共共分分几几步步,每每一一步步的的具具体体内内容容是是什什么么,各各步步的的方方法法、种种数数是是多多少少,最最后用分步乘法后用分步乘法计计数原理求解数原理求解栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理跟踪训练跟踪训练2某商店某商店现现有甲种型号有甲种型号电视电视机机10台台,乙
11、种型号乙种型号电视电视机机8台台,丙种型号丙种型号电视电视机机12台台,从从这这三种型号的三种型号的电视电视机中各机中各选选1台台检验检验,有多少种不同的有多少种不同的选选法？法？解：从解：从这这三种型号的三种型号的电视电视机中各机中各选选1台台检验检验可分三步完可分三步完成：成：第一步第一步,从甲种型号中从甲种型号中选选1台台,有有10种不同的种不同的选选法；法；第二步第二步,从乙种型号中从乙种型号中选选1台台,有有8种不同的种不同的选选法；法；第三步第三步,从丙种型号中从丙种型号中选选1台台,有有12种不同的种不同的选选法法根据分步乘法根据分步乘法计计数原理数原理,不同的不同的选选法共有法
12、共有10812960种种栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理例例3 现现有有高高一一学学生生50人人,高高二二学学生生42人人,高高三三学学生生30人人,组组成冬令成冬令营营(1)若从中若从中选选1人作人作总负责总负责人人,共有多少种不同的共有多少种不同的选选法？法？(2)若每年若每年级级各各选选1名名负责负责人人,共有多少种不同的共有多少种不同的选选法？法？(3)若若从从中中推推选选两两人人作作为为中中心心发发言言人人,要要求求这这两两人人要要来来自自不同的
13、年不同的年级级,则则有多少种有多少种选选法？法？【解解】(1)从从高高一一选选1人人作作总总负负责责人人有有50种种选选法法;从从高高二二选选1人人作作总总负负责责人人有有42种种选选法法;从从高高三三选选1人人作作总总负负责责人人有有30种种选选法法由由分分类类加加法法计计数数原原理理,可可知知共共有有504230122(种种)选选法法题型三两个计数原理的综合应用题型三两个计数原理的综合应用栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理(2)从从高高一一选选1名名负负
14、责责人人有有50种种选选法法;从从高高二二选选1名名负负责责人人有有42种种选选法法;从从高高三三选选1名名负负责责人人有有30种种选选法法由由分分步步乘乘法法计计数原理数原理,可知共有可知共有50423063 000(种种)选选法法(3)高高一一和和高高二二各各选选1人人作作中中心心发发言言人人,有有50422 100(种种)选选法法;高高二二和和高高三三各各选选1人人作作中中心心发发言言人人,有有42301 260(种种)选选法法;高高一一和和高高三三各各选选1人人作作中中心心发发言言人人,有有50301 500(种种)选选法法故故共共有有2 1001 2601 5004 860(种种)选
15、选法法栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理【名名师师点点评评】(1)在在处处理理具具体体的的应应用用题题时时,首首先先必必须须弄弄清清是是“分分类类”还还是是“分分步步”,其其次次要要搞搞清清“分分类类”或或“分分步步”的的具具体体标标准准是是什什么么,选选择择合合理理的的标标准准处处理理事事件件,可可以避免以避免计计数的重复或数的重复或遗遗漏漏(2)对对于于一一些些比比较较复复杂杂的的既既要要运运用用分分类类加加法法计计数数原原理理又又要要运运用用分分步步乘
16、乘法法计计数数原原理理的的问问题题,我我们们可可以以恰恰当当地地画画出出示意示意图图或列出表格或列出表格,使使问题问题更加直更加直观观、清晰、清晰栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理跟踪训练跟踪训练3某某艺艺术术小小组组有有9人人,每每人人至至少少会会钢钢琴琴和和小小号号中中的的一一种种乐乐器器,其其中中7人人会会钢钢琴琴,3人人会会小小号号,从从中中选选出出会会钢钢琴琴与与小小号号的各的各1人人,有多少种不同的有多少种不同的选选法？法？解解:由由题题意意可可
17、知知,在在艺艺术术小小组组9人人中中,有有且且仅仅有有1人人既既会会钢钢琴琴又又会会小小号号(把把该该人人称称为为“多多面面手手”),只只会会钢钢琴琴的的有有6人人,只只会会小小号号的的有有2人人,把把选选出出会会钢钢琴琴,小小号号各各1人人的的方方法法分分为为两两类类:第第一一类类:多多面面手手入入选选,另另1人人只只需需从从其其他他8人人中中任任选选一一个个,故故这类选这类选法共有法共有8种种栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理第第二二类类:多多面面手手不
18、不入入选选,则则会会钢钢琴琴者者只只能能从从6个个只只会会钢钢琴琴的的人人中中选选出出,会会小小号号者者也也只只能能从从只只会会小小号号的的2人人中中选选出出,故故这类选这类选法共有法共有6212种种,因此因此N86220(种种),故共有故共有20种不同的种不同的选选法法栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理用两个用两个计计数原理解决数原理解决计计数数问题时问题时,要明确需要分要明确需要分类还类还是需是需要分步要分步(1)分分类类:是将完成是将完成这这件事的所有
19、方式分件事的所有方式分类类分分类类要做到要做到“不重不漏不重不漏”分分类类后再分后再分别对别对每一每一类进类进行行计计数数,最后用分最后用分类类加法加法计计数原理求和数原理求和,得到得到总总数数(2)分步分步:是将完成是将完成这这件事的每一个方式分步件事的每一个方式分步分步要做到分步要做到“步步骤骤完整完整”完成了所有步完成了所有步骤骤,恰好完成恰好完成任任务务,当然步与步之当然步与步之间间要相互独立分步后再要相互独立分步后再计计算每一步算每一步的方法数的方法数,最后根据分步乘法最后根据分步乘法计计数原理数原理,把完成每一步的把完成每一步的方法数相乘方法数相乘,得到得到总总数数方法感悟方法感悟
20、方法感悟方法感悟栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理(3)对对于于有有些些计计数数问问题题的的解解决决,对对它它们们既既需需要要进进行行“分分类类”,又又需需要要进进行行“分分步步”,那那么么此此时时就就要要注注意意综综合合运运用用两两个个计计数数原原理理来来解解决决问问题题解解决决这这类类问问题题,首首先先,要要明明确确是是先先“分分类类”后后“分分步步”,还还是是先先“分分步步”后后“分分类类”;其其次次,在在“分分类类”和和“分分步步”的的过过程程中中,
21、均均要要确确定定明明确确的的分分类类标标准准和和分分步步程程序序(4)有有些些计计数数问问题题既既可可以以用用分分类类加加法法计计数数原原理理,又又可可以以用用分分步步乘乘法法计计数数原原理理解解决决问问题题,此此时时要要注注意意权权衡衡用用哪哪种种方方法解决法解决较为简单较为简单栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理精彩推荐典例展示精彩推荐典例展示题题意不明致意不明致误误 有有红红、黄黄、蓝蓝旗旗各各3面面,每每次次升升1面面,2面面,3面面在在某某一一旗旗杆
22、杆上上纵纵向向排排列列,表表示示不不同同的的信信号号,顺顺序序不不同同也也表表示示不不同同的信号的信号,共可以共可以组组成多少种不同的信号？成多少种不同的信号？【常常见见错错误误】求求解解只只注注意意顺顺序序不不同同表表示示不不同同的的信信号号,而忽略了旗数不同也表示不同信号而忽略了旗数不同也表示不同信号例例4易易错错警示警示栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理【解解】每次升每次升1面旗可面旗可组组成成3种不同的信号种不同的信号;每次升每次升2面面旗可旗可组组
23、成成339(种种)不同的信号不同的信号;每次升每次升3面旗可面旗可组组成成33327(种种)不同的信号根据分不同的信号根据分类类加法加法计计数原理得数原理得,共可共可组组成成:392739(种种)不同的信号不同的信号【防范措施防范措施】求解此求解此类问题类问题,一般是先分一般是先分类类再分步再分步,分分类时类时要要设计设计好好标标准准,设计设计好分好分类类方案方案,防止重复和防止重复和遗遗漏漏,分分步步时时要注意步与步之要注意步与步之间间的的连续连续性性栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关精彩推荐精彩推荐典例展示典例展示第一章计数原理第一章计数原理跟踪训练跟踪训练4火火车车上有上有10名乘客名乘客,沿途有沿途有5个个车车站站,乘客下乘客下车车的可能的可能方式有方式有()A510种种B105种种C50种种 D500种种解析解析:选选A.分分10步第步第1步步:考考虑虑第第1名乘客下名乘客下车车的所有可的所有可能有能有5种种,第第2步步:考考虑虑第第2名乘客下名乘客下车车的所有可能有的所有可能有5种种,第第10步步:考考虑虑第第10名乘客下名乘客下车车的所有可能有的所有可能有5种种故共有乘客下故共有乘客下车车的可能方式的可能方式 510种种