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1、第第 12 讲讲 解三角形解答题解三角形解答题 一、解答题 1 （2021全国高三专题练习（文） ）在ABC中，设, ,A B C所对的边分别为, ,a b c， 4 A ， 1 cos 3 B ， 7 2ab . （1）求, a b的值； （2）已知,D E分别在边,BA BC上，且 4 2ADCE ，求BDE面积的最大值. 【答案】 （1） 3 2a ， 4 2b ； （2）最大值 4 2 3 . 【分析】 （1）首先求出sinB，再利用正弦定理求出2R，即可得解； （2）由sinsinCAB，求出sinC，再由正弦定理求出c，即可得到BDBE，再由 12 sin 23 BDE SBD B
2、EBBD BE 利用基本不等式计算可得； 【详解】 解： （1）因为 4 A ， 1 cos 3 B ，所以 2 2 2 sin1 cos 3 BB ， 2 sin 2 A ， 由正弦定理， 7 2ab 可化为2sinsin7 2RAB，即 2 22 27 2 32 R 解得26R ， 所以 2 2 sin63 2 2 aRA ， 2 2 2 sin64 2 3 bRB ； （2） 42 sinsinsincoscossin 6 CABABAB ， sinsin ca CA ，解得 42c . 因为 4 2ADCE ，所以423 24 24BDBEABBCADCE， BDE的面积 2 1224
3、 2 sin 23323 BDE BDBE SBD BEBBD BE ， 当且仅当2BDBE 时，取得最大值. 【点睛】 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的 最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用 正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 2 （2021广东汕头市高三一模）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，已知： 5,2,45bcB （1）求边BC的长和三角形ABC的面积； （2）在边BC上取一点 D，使得 4 cos 5 ADB=，求tanDA
4、C的值 【答案】 （1）3BC ； 3 2 ABC S ； （2） 2 11 . 【分析】 （1）法一：ABC中，由余弦定理求BC的长，应用三角形面积公式求ABC的面积；法二：过A作出高 交BC于F，在所得直角三角形中应用勾股定理求,BF FC，即可求BC，由三角形面积公式求ABC的面 积； （2） 由正弦定理、 三角形的性质、 同角三角函数的关系， 法一： 求sinC、cosC、sinADB、cosADB， 由sinsin()DACADBC结合两角差正弦公式求值即可；法二：求tanC、tanADB，再由 tantan()DACADCC 结合两角和正切公式求值即可；法三：由（1）法二所作的高，
5、直角 AFD中求sinADB，进而求sinADC，再根据正弦定理及同角三角函数关系求值即可. 【详解】 （1）法一：在ABC中，由5,2,45bcB， 由余弦定理， 222 2cosbacacB ，得 2 2 5222 2 aa ，解得3a 或1a （舍） ， 所以3BCa， 1123 sin32 2222 ABC SacB . 法二： （1）过点A作出高交BC于F，即ABF为等腰直角三角形， 2AB Q ，1AFBF，同理AFC为直角三角形， 1,5AFAC， 2FC，故3BCBFFC， 13 | | 22 ABC SBCAF . （2）在ABC中，由正弦定理 sinsin bc BC ，即
6、 52 sin45sinC ，得 5 sin 5 C ，又52bc， 所以C为锐角， 法一：由上， 2 2 5 cos1 sin 5 CC ，由 4 cos 5 ADB=（ADB为锐角） ，得 2 163 sin1 cos1 255 ADBADB， sinsin()DACADBC 32 5452 5 sincoscossin 555525 ADBCADBC ， 由图可知：DAC为锐角， 则 2 11 5 cos1 sin 25 DACDAC ， 所以 sin2 tan cos11 DAC DAC DAC . 法二：由上， 1 tan 2 C ，由 4 cos 5 ADB=（ADB为锐角） ，得
7、 3 tan 4 ADB， ADBADC， 3 tan 4 ADC ，故 tantan()DACADCC tan()tan() tan() 1tan() tan() ADCC ADCC ADCC 31 242 3111 1 42 . 法三：AFD为直角三角形，且 4 | 1,cos 5 AFADB， 所以 2 163 sin1 cos1 255 ADBADB， 5423 ,cos,sin sin3335 AF ADDFADADBCDADC ADB ， 在ADC中，由正弦定理得， sinsin CDAC DACADC ，故 2 5 sin 25 DAC ， 由图可知DAC为锐角，则 2 11 5
8、 cos1 sin 25 DACDAC ，所以 sin2 tan cos11 DAC DAC DAC . 【点睛】 关键点点睛： （1）应用余弦定理的边角关系或勾股定理求边长，由三角形面积公式求面积； （2）综合应用三角形性质、正弦定理、同角三角函数关系以及三角恒等变换求三角函数值. 3 （2021浙江高三专题练习）ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A 为锐角， 22 sincos 2 ca BC ab . （1）求 A； （2）若 3 4 bc ，且BC边上的高为2 3，求ABC的面积. 【答案】 （1） 6 ； （2）7 3 【分析】 （1）先用余弦定理化余弦为边，
9、再用正弦定理化边为角从而求得A； （2）由余弦定理用c表示a，然后把三角形的面积用两种方法表示求得c，从而可计算出面积 【详解】 （1）由 22 sincos 2 ca BC ab 得 22 2sin2cosabBabCca ， 由余弦定理得 22222 2sinabBcabca ，所以2 sinaBb， 由正弦定理得2sinsinsinABB，B是三角形内角，sin0B ， 所以 1 sin 2 A ，又 A 为锐角，所以 6 A （2）由（1） 22222 33 2cos2cos 1646 abcbcAccc c 2 7 16 c， 7 4 ac ， 所以 11 sin2 3 22 ABC
10、 SbcAa ，即 2 13117 2 3 24224 cc ， 4 7c ， 3 21 4 bc ， 111 sin21 4 77 3 222 ABC SbcA 【点睛】 思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解 题关键三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解这是一种解题技巧 4 （2021广东广州市高三一模）已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且 3,cos2cos()bBAC，sinsin6sinaAcCB. （1）求B； （2）求ABC的周长. 【答案】 （1） 3 ； （2）9 【分析
11、】 （1）应用二倍角公式和诱导公式变形已知等式可求得B； （2）由正弦定理化角为边，然后再结合余弦定理可求得ac，从而得三角形周长 【详解】 （1）因为cos2cos()BAC，所以 2 2cos1cosBB ，(2cos1)(cos1)0BB， 因为0B，所以 1 cos 2 B ， 3 B ； （2）因为sinsin6sinaAcCB.所以 22 618acb ， 又 222 2cosbacacB ，即 2 318ac ，9ac ，所以 222 ()218 1836acacac， 6ac， 所以9abc 【点睛】 关键点点睛：本题考查余弦的二倍角公式，诱导公式，正弦定理，余弦定理等解题关键
12、是利用正弦定理 化角为边，然后结合余弦定理可求得边长 5 （2021湖南高二月考）如图，在平面四边形 ABCD 中，ADCD， BAD= 3 4 ，2AB=BD=4. （1）求 cosADB； （2）若 BC= 22，求 CD. 【答案】 （1） 14 cos 4 ADB ； （2） 3 2CD 【分析】 （1）ABD中，利用正弦定理可得sinADB，进而得出答案； （2）BCD中，利用余弦定理可得CD 【详解】 （1）ABD中， sinsin ABBD ADBBAD ，即 24 sin2 2 ADB ，解得 2 sin 4 ADB ，故 14 cos 4 ADB ； （2） 2 sincos
13、 4 ADBCDB BCD中， 222 cos 2 BDCDBC CDB BD CD ，即 2 22 422 2 42 4 CD CD ， 化简得3 220CDCD，解得 3 2CD 6 （2021全国高三专题练习）在coscos3sincos0CAAB，cos23cos1BAC， 3 cossin 3 bCcBa 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 问题：在ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若1ac，_，求角B的值 和b的最小值. 【答案】条件选择见解析； 3 B ，b最小值为 1 2 . 【分析】 选，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及两角和的余弦公式化简得出tan
14、3B ，结合0,B可 求得B，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b的最小值； 选，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及二倍角的余弦公式求出cosB的值，结合0,B可求得 B，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b的最小值； 选，利用正弦定理边角互化、三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式化简可求得tan 3B ，结合 0,B可求得B，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b的最小值. 【详解】 解：若选择：在ABC中，有ABC， 则由题可得：coscos3sincos0ABAAB ， coscoscos3sincos0ABABAB， sinsincoscoscoscos3si
15、ncos0ABABABAB ，sin sin3sincosABAB ， 又sin0A，所以sin 3cosBB ，则tan 3B . 又0,B，所以 3 B ， 因为1ac，所以1ca ，0,1a. 由余弦定理可得： 222 2cosbacacB 22 acac 2 2 11aaaa 2 331aa ， 0,1a，又 2 2 11 3 24 ba ， 所以，当 1 2 a 时， 2 min 1 4 b，即b的最小值为 1 2 ； 若选择：在ABC中，有ABC， 则由题可得 22 2cos1 3cos2cos3cos1 1BBBB ， 解得 1 cos 2 B 或cos2B （舍去） ， 又0,
16、B，所以 3 B .（剩下同） 若选择：由正弦定理可将已知条件转化为 3 sincossinsinsin 3 BCCBA ， sincosssincosinsinsinBCCBABCBC ， 代入上式得 3 sinsinsincos 3 CBCB ， 又sin0C ，所以sin 3cosBB ，tan 3B . 又0,B，所以 3 B .（剩下同） 【点睛】 方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到 答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a、b、c的
17、齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 7 （2021全国高三专题练习）在sin 3cos2CC ，2CA，2ba这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求a的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且32cos2 coscbAaB， 1c ，_？ 【答案】答案见解析. 【分析】 利用正
18、弦定理化简32cos2 coscbAaB可得cos A的值.条件sin 3cos2CC 借助辅助角公式 可求得C， 再利用正弦定理解题.条件2CA可以利用二倍角公式计算sinC的值， 再利用正弦定理解题. 条件2ba利用正弦定理求sinB的值，再判断三角形不存在. 【详解】 解：由32cos2 coscbAaB结合正弦定理可得3sin2sincos2sincosCBAAB， 所以3sincos2sincos2cossin2sin2sinCAABABABC. 因为sin0C ，所以 2 cos 3 A . 选择条件的答案 所以 5 sin 3 A . 由sin 3cos2CC 得2sin2 3
19、C ，所以sin1 3 C . 因为0,C，所以 32 C .所以 6 C . 由正弦定理 sinsin ac AC 得 5 sin2 5 3 1 sin3 2 cA a C . 选择条件的答案 所以 5 sin 3 A . 因为2CA，所以 4 5 sinsin22sincos 9 CAAA . 由正弦定理 sinsin ac AC 得 5 sin3 3 sin44 5 9 cA a C . 选择条件的答案 所以 5 sin 3 A . 由2ba得sin2sinBA. 因为 5 sin 3 A ，所以 2 5 sin2sin1 3 BA . 所以三角形不存在. 8 （2020江苏省镇江第一中
20、学）在cos2 3sin20BB ，2 cos2bCac， cos1 3sin bB aA 三 个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答 已知ABC的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若_，且 a，b，c 成等差数列，则ABC是否 为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】；证明见解析 【分析】 选择：由余弦降幂公式代入即可求得sinB，结合 a，b，c 成等差数列可得2bac， 3 B ，代入余 弦定理公式，即可得 2 bac ，结合等式2bac可求得ac，进而证明ABC为等边三角形. 【详解】 选择cos2 3
21、sin20BB ， 证明：则由余弦降幂公式可得 2 1 2sin3sin20BB ， 即2sin3sin30BB， 由0B可得 3 sin 2 B ， 又因为 a，b，c 成等差数列，则 B 为锐角， 则2bac， 3 B ， 由余弦定理可知 222 2cosbacacB ， 代入可得 2 2 3bacac，即 2 bac ， 则 2 2 ac ac ，化简可得 2 0ac， 即ac，又因为 3 B ， 所以ABC为等边三角形. 【点睛】 本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性 质的应用，综合性较强，属于中档题. 9 （2021江苏常州市高
22、三一模）在ABC中， 2 BAC ，点 D 在边BC上，满足 3ABBD. （1）若 6 BAD ，求C； （2）若2,4CDBD AD，求ABC的面积. 【答案】 （1） 3 ； （2）12 2. 【分析】 （1）在ABD中，由正弦定理求得 3 sin 2 BDA ，得到BDA的大小，进而求得C的大小； （2）由3,2ABBD CDBD，得到 36 , 33 ABBC ACBC ，根据向量的线性运算，求得 21 33 ADABAC uuu ruuu ruuu r ，进而得到 222 41 99 ADABAC，求得,BC AB AC的长，利用面积公式，即可求 解. 【详解】 （1）在ABD中，
23、由正弦定理得 sinsin BDAB BADBDA ， 所以 sin 3 6 sin 2 AB BDA BD ， 因为(0, )BDA，所以 2 3 BDA 或 3 BDA ， 当 2 3 BDA 时，可得 6 B ，可得 3 C ； 当 3 BDA 时，可得 2 B ，因为 2 BAC （舍去） ， 综上可得 3 C . （2）因为3,2ABBD CDBD，所以 36 , 33 ABBC ACBC ， 由 1121 () 3333 ADABBDABBCABACABABAC ， 所以 22222 2 2141441 () 3399999 ADABACABACAB ACABAC ， 即 222
24、41 99 ADABAC， 又由4AD，可得 222 4316 ()() 9393 4BCBC ，解得 6 2BC ， 则2 6,4 3ABAC， 所以 1 12 2 2 ABC SABAC . 10 （2021全国高三专题练习（理） ）在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, , ,3a b c ABC. （1）求sinC的取值范围； （2）若6cb，求sinC的值. 【答案】 （1） 2 0, 2 ； （2） 2 sin 3 C . 【分析】 （1）利用三角形的内角和性质可得2 2 BC ， 2 AC ，由 0 0 0 A B C ，可得0 4 C ，从而可 得sinC的取值范围. （
25、2）利用正弦定理的边角互化可得sin6sinCB，由（1）可得2 2 BC ，代入上式即可求解. 【详解】 （1）由3ABC及ABC，得24BC， 所以2 2 BC ，所以 2 AC . 由 0 0 0 A B C ，得 0, 2 02, 2 0, C C C 得0 4 C ，故sinC的取值范围为 2 0, 2 . （2）若6cb，由正弦定理有sin6sinCB， 由（1）知2 2 BC ，则sinsin2cos2 2 BCC . 由得 2 sincos212sin 1 6 CCC ， 所以 2 12sinsin60CC ， 解得 2 sin 3 C 或sin 3 4 C ， 又 2 sin
26、0, 2 C ，所以 2 sin 3 C . 11 （2021辽宁铁岭市高三一模）在 2 2 sinsinsinsinsinABCBC，sinsin 2 BC baB ， 2 sinsin 3 aBbA 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答 ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 22abc ，_求A和C 【答案】选择见解析， 3 A ， 5 12 C 【分析】 选择条件，利用正弦定理结合余弦定理求出cos A的值，结合角A的取值范围可求得A的值，由正弦定 理结合条件 22abc 可得出2 sinsin2 sinABC， 由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想 求出 1 s
27、in 62 C ，由角C的取值范围可求得结果； 选择条件，利用诱导公式、正弦定理以及三角恒等变换思想求出sin 2 A 的值，结合角A的取值范围可求得 角A的值，由正弦定理结合条件 22abc 可得出2 sinsin2 sinABC，由三角形的内角和定理 以及三角恒等变换思想求出 1 sin 62 C ，由角C的取值范围可求得结果； 选择条件，由正弦定理以及两角差的正弦公式可求得tan A的值，结合角A的取值范围可求得角A的值， 由正弦定理结合条件 22abc 可得出2 sinsin2 sinABC， 由三角形的内角和定理以及三角恒等 变换思想求出 1 sin 62 C ，由角C的取值范围可求
28、得结果. 【详解】 （1）选择条件，由 2 2 sinsinsinsinsinABCBC及正弦定理知 2 2 abcbc， 整理得， 222 bcabc ，由余弦定理可得 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ， 又因为0,A，所以 3 A ， 又由 22abc ，得2 sinsin2 sinABC， 由 2 3 BC ，得 2 2sinsin2sin 33 CC ， 即 631 cossin2sin 222 CCC ，即3sin 3cos6CC ，即2 3sin6 6 C ，整理得， 2 sin 62 C ， 因为 2 0, 3 C ，所以, 66 2 C ，从而 64 C
29、，解得 5 12 C ； 选择条件，因为ABC，所以 222 BCA ， 由sinsin 2 BC baB 得cossin 2 A baB， 由正弦定理知，sincossinsin2sincossin 222 AAA BABB， 0,B，0,A，可得0, 22 A ， 所以，sin0B ，cos0 2 A ，可得 1 sin 22 A ，所以， 26 A ，故 3 A . 以下过程同（1）解答； 选择条件，由 2 sinsin 3 aBbA ， 及正弦定理知， 2 sinsinsinsin 3 ABBA ，0,B，则sin0B ， 从而 231 sinsincossin 322 AAAA ，则
30、sin 3cosAA ，解得tan 3A ， 又因为0,A，所以 3 A ，以下过程同（1）解答 【点睛】 方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到 答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角
31、和定理. 12 （2021全国高三专题练习）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. 3coscoscossinA cBbCaA; 2 cos 2 bc C a tan tantan3tantanABCBC . 已知ABC的内角, ,A B C的对应边分别为, ,a b c，. （1）求A; （2）若2,10abc，求ABC的面积. 【答案】 （1） 3 A ； （2） 3 2 . 【分析】 第（1）小问：方案中是利用正弦定理将边转化为角的关系，化简后求得 3 A ； 方案首先利用正弦定理将边长之比转化为角的正弦之比，再化简求得 3 A ； 方案利用两角和的正切公式将tanta
32、ntanABC化成tantan() (1tantan)ABCBC，再利用 tan()tanBCA 对式子进行化简得到 3 A ；第（2）小问：由余弦定理 222 2cos,2, 3 abcbcA aA 可以得到关于, b c的关系式，再结合 10bc 可求得2bc ，最 后求得三角形的面积即可. 【详解】 1方案：由已知及正弦定理得 2 3cossincossincossinACBBCA 所以 2 3cossinsinACBA， 所以 2 3cossinsinAAA 又0,A， 所以sin0A， 所以tan3,A 所以 3 A 方案：由已知正弦定理得 2cossin2sinsin2sinsin
33、2sincos2cossinsinCABCACCACACC 所以2cossinsin0,ACC 即2cossinsin,ACC 又0,C， 所以sin0,C 所以 1 cos 2 A 所以 3 A 方案：因为tan tantan3tantanABCBC 所以tantantan3tantantantan() (1tantan)ABCBCABCBC tantan1 tantantantantanAABCABC 即 3tantantantantanBCABC 又0A B C, ,， 所以tan0,tan0BC， 所以 1 tan3,cos, 2 AA 所以 3 A 2由余弦定理 222 2cos,2
34、, 3 abcbcA aA ，得 22 4bcbc 即 2 43bcbc， 又因为10,bc 所以2bc 所以 13 sin 22 ABC SbcA 【点睛】 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的 最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用 正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 13 （2021辽宁高三一模（理） ）已知函数 2 3sin cos3cos1f xxxx. （1）求函数 f x的单调递减区间； （2）在锐角ABC中，角, ,A B C所对的边分别, ,
35、a b c.若 1,3f Cc，D为AB的中点，求CD的 最大值. 【答案】 （1）递减区间 511 , 1212 kkkZ ； （2） 3 2 . 【分析】 （1）利用二倍角公式和辅助角公式得到函数 1 3sin 2 32 xfx ，再利用正弦函数的性质求解. （2）( )1f C 由，得到 3 sin(2) 32 C ，再由ABC为锐角三角形，求得 3 C ，利用余弦定理得到 222 33 ()2cos 22 aCDCDBDC ， 222 33 ()2cos 22 bCDCDADC ，两式相加得到 222 13 ) 24 CDab（，再利用基本不等式求解. 【详解】 （1） 33 ( )s
36、in2(1cos2 )1 22 f xxx ， 1 3sin 2 32 x ， 由 3 222, 232 kxkkZ ， 解得： 511 , 1212 kxkkZ ， 所以 ( )f x递减区间 511 , 1212 kkkZ . （2） 1 ( )3sin(2)1 32 f CC 由， 得 3 sin(2) 32 C ， ABC为锐角三角形， (0,) 2 C ， 2 2(,) 333 C ， 2 33 C ， 3 C ， 由余弦定理得： 222 33 ()2cos 22 aCDCDBDC ， 222 33 ()2cos 22 bCDCDADC ， 且coscosBDCADC ， 两式相加得
37、： 222 13 ) 24 CDab（， 由 2222 32cosababCabab ， 22 2222 1 () 22 ab abab ， 当ab时，等号成立， 即 22 ab 的最大值为6， 所以CD的最大值为 3 2 . 【点睛】 关键点点睛：本题第二问关键是由 CD 为中线，由BDCADC，在BDC，ADC中，分别利 用余弦定理，进而得到 222 13 ) 24 CDab（求解. 14 （2021河北邯郸市高三一模）设ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 3 coscos 5 aBbAc （1）求 tan tan A B 的值； （2）若点 D 为边AB的中点，1
38、0,5ABCD，求BC的值 【答案】 （1）4； （2）4 5 【分析】 （1）由 3 coscos 5 aBbAc，带入余弦定理整理可得 222 3 5 abc，所以 222 222 222222 tansincos 2 tancossin 2 acb a AABacb ac bcaBABbca b bc ，带入 222 3 5 abc即可得解； （2）作AB边上的高CE，垂足为 E，因为tan,tan CECE AB AEBE ，所 tan tan ABE BAE 又 tan 4 tan A B ，所以4BEAE，因为点 D 为边AB的中点且10AB ，所以5,2,3BDAEDE， 再根据
39、勾股定理即可得解. 【详解】 （1）因为 3 coscos 5 aBbAc， 所以 222222 3 225 cabbca abc cabc ， 即 222 3 5 abc 又 222 222 tansincos 2 tancossin 2 acb a AAB ac bcaBAB b bc ， 所以 2222 2222 tan85 4 tan52 Aacbc Bbcac （2）如图，作AB边上的高CE，垂足为 E， 因为tan,tan CECE AB AEBE ，所以 tan tan ABE BAE 又 tan 4 tan A B ，所以4BEAE 因为点 D 为边AB的中点，10AB ，所以
40、5,2,3BDAEDE 在直角三角形CDE中，5CD ，所以 22 534CE 在直角三角形BCE中，8BE ，所以 22 484 5BC 15 （2021浙江高三专题练习）在ABC中，cos( 3sin)sincosBabCbBC （1）求 B； （2）若2ca，ABC的面积为 2 3 3 ，求ABC的周长 【答案】 （1） 3 B ； （2）2 2 3 . 【分析】 （1）由已知三角函数的等量关系，结合两角和正弦公式得 3 cossinaBbA ，根据正弦定理、三角形内 角的性质，即可求 B； （2）由三角形面积公式求出a、c，再根据余弦定理求b，即可求ABC的周长 【详解】 （1）由co
41、s( 3sin)sincosBabCbBC，得 3 coscossinsincosaBbBCbBC ， 3 cossincoscossinaBbBCbBC ，即3 cossin()aBbBC， 3 cossinaBbA 由正弦定理，得 3sincossinsinABBA ，又sin0A， 3cossinBB ，即tan 3B ，0B， 3 B （2）由2 ,caABC的面积为 2 3 3 ，得 1132 3 sin2 2223 ABC SacBaa ，解得 2 3 3 a ， 即 4 3 2 3 ca 由余弦定理 222 2cosbacacB ， 可得 22 2 2 34 32 34 31 2
42、4 33332 b ， 解得2b ABC的周长为 2 34 3 222 3 33 abc 【点睛】 关键点点睛： （1）利用三角恒等变换及正弦定理，将已知条件化简为一个内角的函数值，根据函数值确定角的大小. （2）综合应用正余弦定理求三角形的边，进而求其周长. 16（2021湖南岳阳市高三一模）ABC中， 角A， B， C的对边分别为a， b， c，2sin sin2sincosACBC （1）求 B 的大小； （2）若3a ，且 AC 边上的中线长为 19 2 ，求ABC的面积 【答案】 （1） 2 3 B ； （2）15 3 4 【分析】 （1） 由已知等式结合三角形内角和定理、 两角和的
43、正弦公式可得2cossinsin0BCC， 进而求得cosB 的值，最后结合 B 的范围，可求出 B； （2）由（1）知 2222 39bacaccc ，取 AC 的中点 D，连接 BD，在CBD和ABC中，利用 余弦定理可得 2 22 19 92 9 44 b bc ，从而联立方程求出 c，最后由三角形面积公式计算可得结果. 【详解】 （1）因为2sinsin2sincosACBC， 所以2sinsin2sincosBCCBC，可得：2sincos2cossinsin2sincosBCBCCBC， 所以2cossinsin0BCC， 因为sin0C ， 所以2cos10B ，可得 1 cos
44、 2 B ， 因为0,B， 所以 2 3 B ； （2）由 2 3 B ，可得 2222 39bacaccc ， 在ABC中，取 AC 的中点 D，连接 BD， 因为3a ， 19 2 BD ， 所以在CBD中， 2 222 19 9 44 cos 2 b BCCDBD C BC CDab ， 在ABC中， 22222 9 cos 22 BCACABbc C BC ACab ， 所以 2 22 19 92 9 44 b bc ， 把代入，化简可得 2 3100cc ，解得5c ，或2c （舍去） ， 所以5c ， 所以ABC的面积 11215 3 sin3 5 sin 2234 SacB 【点
45、睛】 关键点睛：对于第二问，先由余弦定理得出 2222 39bacaccc ，再分别在CBD和ABC中 利用余弦定理计算可得 2 22 19 92 9 44 b bc ，从而联立方程求出 c，最后求出三角形的面积. 17 （2021江苏高三专题练习）在 3sincos1BB ，2 sintanbAaB， ()sincsinsinacACbB这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知ABC的内角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c， 2a ， 3b ， 若_， 求角 B 的值与ABC 的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【答案】答案见解析.
46、 【分析】 选，整理可得 1 sin= 62 B ，即可求出 B，利用正弦定理可求 A，再求出sinC即可求出面积； 选，由正弦定理可得 1 cos 2 B ，即可求出 B，以下和相同； 选，由正弦定理化角为边再由余弦定理得 1 cos 2 B ，即可求出 B，以下和相同. 【详解】 解：选 3sincos1BB ，可得 1 sin= 62 B . 因为(0, )B，所以 66 B ，所以 3 B . 由正弦定理： sinsin ab AB 得 2 sin 2 A ，又因为ab，所以 4 A . 所以 562 sinsinsinsincoscossin 124646464 C 所以 133 sin 24 ABC SabC 选由2 sintanbAaB得2 sincossinbABaB， 由正弦定理： sinsin ab AB ，化简得 1 cos 2 B ， 因为(0, )B，所以 3 B . 以下与选相同. 选由正弦定理：()sincsinsinacACbB可化简为 222 aaccb ， 而 222 1 cos 22 acb B ac ， 因为(0, )B，所以 3 B ， 以下与选相同.