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1、第12讲 解三角形解答题一、解答题1（2021全国高三专题练习（文）在中，设所对的边分别为，.（1）求的值；（2）已知分别在边上，且，求面积的最大值.【答案】（1），；（2）最大值.【分析】（1）首先求出，再利用正弦定理求出，即可得解；（2）由，求出，再由正弦定理求出，即可得到，再由利用基本不等式计算可得；【详解】解：（1）因为，所以，由正弦定理，可化为，即解得，所以，；（2），解得.因为，所以，的面积，当且仅当时，取得最大值.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，
2、利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.2（2021广东汕头市高三一模）在中，角的对边分别为，已知：（1）求边的长和三角形的面积；（2）在边上取一点D，使得，求的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）法一：中，由余弦定理求的长，应用三角形面积公式求的面积；法二：过作出高交于，在所得直角三角形中应用勾股定理求，即可求，由三角形面积公式求的面积；（2）由正弦定理、三角形的性质、同角三角函数的关系，法一：求、，由结合两角差正弦公式求值即可；法二：求、，再由结合两角和正切公式求值即可；法三：由（1）法二所作的高，直角中求，进而求，再根据正弦定理及同角三角函
3、数关系求值即可.【详解】（1）法一：在中，由，由余弦定理，得，解得或（舍），所以，.法二：（1）过点作出高交于，即为等腰直角三角形，同理为直角三角形，故，.（2）在中，由正弦定理，即，得，又，所以为锐角，法一：由上，由（为锐角），得，由图可知：为锐角，则，所以.法二：由上，由（为锐角），得，故.法三：为直角三角形，且，所以，在中，由正弦定理得，故，由图可知为锐角，则，所以.【点睛】关键点点睛：（1）应用余弦定理的边角关系或勾股定理求边长，由三角形面积公式求面积；（2）综合应用三角形性质、正弦定理、同角三角函数关系以及三角恒等变换求三角函数值.3（2021浙江高三专题练习）的内角A，B，C的对边
4、分别为a，b，c，已知A为锐角，.（1）求A；（2）若，且边上的高为，求的面积.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得；（2）由余弦定理用表示，然后把三角形的面积用两种方法表示求得，从而可计算出面积【详解】（1）由得，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，是三角形内角，所以，又A为锐角，所以（2）由（1），所以，即，【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解这是一种解题技巧4（2021广东广州市高三一模）已知的内角的对边分别
5、为，且，.（1）求；（2）求的周长.【答案】（1）；（2）9【分析】（1）应用二倍角公式和诱导公式变形已知等式可求得；（2）由正弦定理化角为边，然后再结合余弦定理可求得，从而得三角形周长【详解】（1）因为，所以，因为，所以，；（2）因为.所以，又，即，所以，所以【点睛】关键点点睛：本题考查余弦的二倍角公式，诱导公式，正弦定理，余弦定理等解题关键是利用正弦定理化角为边，然后结合余弦定理可求得边长5（2021湖南高二月考）如图，在平面四边形ABCD中，ADCD， BAD=，2AB=BD=4.（1）求cosADB；（2）若BC=，求CD.【答案】（1）；（2）【分析】（1）中，利用正弦定理可得，进而
6、得出答案；（2）中，利用余弦定理可得【详解】（1）中，即，解得，故；（2）中，即，化简得，解得6（2021全国高三专题练习）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题：在中，角、对应的边分别为、，若，_，求角的值和的最小值.【答案】条件选择见解析；，最小值为.【分析】选，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及两角和的余弦公式化简得出，结合可求得，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得的最小值；选，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及二倍角的余弦公式求出的值，结合可求得，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得的最小值；选，利用正弦定理边角互化、三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式化
7、简可求得，结合可求得，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得的最小值.【详解】解：若选择：在中，有，则由题可得：，又，所以，则.又，所以，因为，所以，.由余弦定理可得：，又， 所以，当时，即的最小值为；若选择：在中，有，则由题可得，解得或（舍去），又，所以.（剩下同）若选择：由正弦定理可将已知条件转化为，代入上式得，又，所以，.又，所以.（剩下同）【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、的齐次式，优先考
8、虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.7（2021全国高三专题练习）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角，的对边分别为，且，_？【答案】答案见解析.【分析】利用正弦定理化简可得的值.条件借助辅助角公式可求得，再利用正弦定理解题.条件可以利用二倍角公式计算的值，再利用正弦定理解题.条件利用正弦定理求的值
9、，再判断三角形不存在.【详解】解：由结合正弦定理可得，所以.因为，所以.选择条件的答案所以.由得，所以.因为，所以.所以.由正弦定理得.选择条件的答案所以.因为，所以.由正弦定理得. 选择条件的答案所以.由得.因为，所以.所以三角形不存在.8（2020江苏省镇江第一中学）在，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若_，且a，b，c成等差数列，则是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】；证明见解析【分析】选择：由余弦降幂公式代入即可求得，结合a，b，c成等差数列可得，代入余弦定
10、理公式，即可得，结合等式可求得，进而证明为等边三角形.【详解】选择，证明：则由余弦降幂公式可得，即，由可得，又因为a，b，c成等差数列，则B为锐角，则，由余弦定理可知，代入可得，即，则，化简可得，即，又因为，所以为等边三角形.【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.9（2021江苏常州市高三一模）在中，点D在边上，满足.（1）若，求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，由正弦定理求得，得到的大小，进而求得的大小；（2）由，得到，根据向量的线性运算，求得，进而得到，求得的长，
11、利用面积公式，即可求解.【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以，因为，所以或，当时，可得，可得；当时，可得，因为（舍去），综上可得.（2）因为，所以，由，所以，即，又由，可得，解得，则，所以.10（2021全国高三专题练习（理）在中，角的对边分别为.（1）求的取值范围；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用三角形的内角和性质可得，由，可得，从而可得的取值范围.（2）利用正弦定理的边角互化可得，由（1）可得，代入上式即可求解.【详解】（1）由及，得，所以，所以.由，得得，故的取值范围为.（2）若，由正弦定理有，由（1）知，则.由得，所以，解得或，又，所以.11（2021辽宁
12、铁岭市高三一模）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答的内角、的对边分别为、，若，_求和【答案】选择见解析，【分析】选择条件，利用正弦定理结合余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得的值，由正弦定理结合条件可得出，由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出，由角的取值范围可求得结果；选择条件，利用诱导公式、正弦定理以及三角恒等变换思想求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，由正弦定理结合条件可得出，由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出，由角的取值范围可求得结果；选择条件，由正弦定理以及两角差的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值，由正弦定理结合条件可得出，由三角
13、形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出，由角的取值范围可求得结果.【详解】（1）选择条件，由及正弦定理知，整理得，由余弦定理可得，又因为，所以，又由，得，由，得，即，即，即，整理得，因为，所以，从而，解得；选择条件，因为，所以，由得，由正弦定理知，可得，所以，可得，所以，故.以下过程同（1）解答；选择条件，由，及正弦定理知，则，从而，则，解得，又因为，所以，以下过程同（1）解答【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式
14、子中含有、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.12（2021全国高三专题练习）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.;.已知的内角的对应边分别为， .（1）求;（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】第（1）小问：方案中是利用正弦定理将边转化为角的关系，化简后求得；方案首先利用正弦定理将边长之比转化为角的正弦之比，再化简求得；方案利用两角和的正切公
15、式将化成，再利用对式子进行化简得到；第（2）小问：由余弦定理可以得到关于的关系式，再结合可求得，最后求得三角形的面积即可.【详解】方案：由已知及正弦定理得所以，所以又，所以，所以所以方案：由已知正弦定理得所以即又，所以所以所以方案：因为所以即又，所以，所以所以由余弦定理，得即，又因为所以所以【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.13（2021辽宁高三一模（理）已知函数.（1）求函数的
16、单调递减区间；（2）在锐角中，角所对的边分别.若，为的中点，求的最大值.【答案】（1）递减区间；（2）.【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式得到函数，再利用正弦函数的性质求解.（2），得到，再由为锐角三角形，求得，利用余弦定理得到，两式相加得到，再利用基本不等式求解.【详解】（1），由，解得：，所以递减区间.（2），得，为锐角三角形，由余弦定理得：，且，两式相加得：，由，当时，等号成立，即的最大值为，所以的最大值为.【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是由CD为中线，由，在，中，分别利用余弦定理，进而得到求解.14（2021河北邯郸市高三一模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
17、（1）求的值；（2）若点D为边的中点，求的值【答案】（1）4；（2）【分析】（1）由，带入余弦定理整理可得，所以，带入即可得解；（2）作边上的高，垂足为E，因为，所又，所以，因为点D为边的中点且，所以，再根据勾股定理即可得解.【详解】（1）因为，所以，即又，所以（2）如图，作边上的高，垂足为E，因为，所以又，所以因为点D为边的中点，所以在直角三角形中，所以在直角三角形中，所以15（2021浙江高三专题练习）在中，（1）求B；（2）若，的面积为，求的周长【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知三角函数的等量关系，结合两角和正弦公式得，根据正弦定理、三角形内角的性质，即可求B；（2）由三角形面
18、积公式求出、，再根据余弦定理求，即可求的周长【详解】（1）由，得，即，由正弦定理，得，又，即，（2）由的面积为，得，解得，即由余弦定理，可得，解得的周长为【点睛】关键点点睛：（1）利用三角恒等变换及正弦定理，将已知条件化简为一个内角的函数值，根据函数值确定角的大小.（2）综合应用正余弦定理求三角形的边，进而求其周长.16（2021湖南岳阳市高三一模）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）求B的大小；（2）若，且AC边上的中线长为，求的面积【答案】（1）；（2）【分析】（1）由已知等式结合三角形内角和定理、两角和的正弦公式可得，进而求得的值，最后结合B的范围，可求出B；（2）由（1）知，
19、取AC的中点D，连接BD，在和中，利用余弦定理可得，从而联立方程求出c，最后由三角形面积公式计算可得结果.【详解】（1）因为，所以，可得：，所以，因为，所以，可得，因为，所以；（2）由，可得，在中，取AC的中点D，连接BD，因为，所以在中，在中，所以，把代入，化简可得，解得，或（舍去），所以，所以的面积【点睛】关键点睛：对于第二问，先由余弦定理得出，再分别在和中利用余弦定理计算可得，从而联立方程求出c，最后求出三角形的面积.17（2021江苏高三专题练习）在，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若_，求角B的值与的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【答案】答案见解析.【分析】选，整理可得，即可求出B，利用正弦定理可求A，再求出即可求出面积；选，由正弦定理可得，即可求出B，以下和相同；选，由正弦定理化角为边再由余弦定理得，即可求出B，以下和相同.【详解】解：选，可得.因为，所以，所以.由正弦定理：得，又因为，所以.所以所以选由得，由正弦定理：，化简得，因为，所以.以下与选相同.选由正弦定理：可化简为，而，因为，所以，以下与选相同.