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1、 永久免费组卷搜题网9.7空间向量一、明确复习目标1了解空间向量的基本概念；掌握空间向量的加、减、数乘、及数量积的运算；了解空间向量共面的概念及条件；理解空间向量基本定理.2理解空间直角坐标系的概念，会用坐标来表示向量；理解空间向量的坐标运算.3掌握空间中两点间距离、两向量的夹角公式及的坐标表示；会求平面的法向量.4会用空间向量判定线、面的垂直，会求空间直线所成的角.二建构知识网络1.共线向量定理：对空间任意两个向量（），/存在实数l使.显然.若直线L过点A、B，是方向向量，则点P在直线L上存在实数t，使，（此式也叫L的向量方程）点P在直线L上=(1-t).（或=x， x+y=1）2.共面向量
2、定理：两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x，y使=.推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：，或对空间任意一点O有：.3.空间向量的基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任意一向量，存在惟一有序实数对x、y、z使得=.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的三个有序实数x、y、z使=x+。特别地，当x+y+z=1时，则必有P、A、B、C四点共面.4.向量的数量积：，用于求两个向量的数量积或夹角；，用于求距离.，用于证明两个向量的垂直关系；5.空间向量的直角坐标运算律：则; ， ，坐标对应成比例；数量积为零.6.夹
3、角公式:7.模长公式：，8.,则距离公式：，9.若表示向量a1，a2，an的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则a1a2a3an=0.三、双基题目练练手1.设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是 （ ）A.a+b，ba，aB.a+b，ba，bC.a+b，ba，cD.a+b+c，a+b，c2.在平行六面体ABCDABCD中，向量、是 （ ）A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量3.若a=（2x，1，3），b=（1，2y，9），如果a与b为共线向量，则 ( )A.x=1，y=1 B. x=，y=C. x=，y= D.x=，y=4.已知向量a=（
4、1，1，0），b=（1，0，2），且kab与2ab互相垂直，则k值是 5.已知四边形ABCD中，=a2c，=5a+6b8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则=_.6.已知空间三点A（1，1，1）、B（1，0，4）、C（2，2，3），则与的夹角的大小是_.答案提示：1-3.CCB; 4. k=. 5.=3a+3b5c. 6.1205.提示:设AD中点为G，得=3a+3b5c.四、经典例题做一做【例1】如图,在平行六面体中,是的中点.求证:（1）面.（2）设E、F、G、H、K、L依次是棱AB、BC、CC1、C1D1、D1A1、A1A的中点，则这六点共面.ABCC1D1A1B1DO分析:只需证
5、明与面中的一组基向量共面.证明（1）:设因为为平行四边形,又O是的中点, 若存在实数使成立,则因为向量不共线,.所以是共面向量,因为不在所确定的平面内,面,又面,面.（2）不共线，可作为基底，再依次证明、能用这组基底表示即可，试试如何？【例2】 在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，AC=2，BC=，SB=.（1）求证：SCBC；（2）求SC与AB所成角的余弦值. （3）若E、F、G分别是AB、AC、SB的中点，求证：平面EFG平面ACG.思路1：要用向量来研究线面的位置关系，需要有一组基底把有关的向量表示出来，再用向量运算的几何意义来研究。解法1：（1）设，由已知得：，.（2）所
6、以SC与AB所成的角为arccos.（3）思路2：图中垂直关系较为明显，容易建立坐标系的，可以建立空间直角坐标系，利用向量的代数运算来研究.解法2：如下图，取A为原点，AD、AC、AS分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系（一般建成右手系），则由AC=2，BC=，SB=，得C（0，2，0），B（，2，0）、S（0，0，2）。 =（0，2，2），=（，0，0）.（1）=0，SCBC.（2）设SC与AB所成的角为，=（，2，0），=4，| |=4，cos=，即为所求._yzxGFEBCAS （3） , 思悟提练1.利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题.2
7、用向量研究研究问题可以建立坐标系用向量的代数形式，也可用向量的几何形式.【例3】 已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量.解：设面ABC的法向量n=（x，y，1），则n且n，即n=0，且n=0，即 n=（，1，1），单位法向量n0=（，）.思悟提练求法向量一般用待定系数法.常把n的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，有方向相反的两个.单位法向量只需将法向量再除以它的模.五提炼总结以为师1在处理立体几何中的平行、垂直或求两异面直线所成的角时,用向量来解决思维简单，是模式化了的方法，是行之有效的方法.2要熟练掌握空间向量平行、垂直的条件及三个向量
8、共面及四点共面的条件，掌握运用向量判定平行、垂直和求空间直线所成的角的方法. 同步练习 9.7空间向量【选择题】1.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若 =a， =b， =c，则下列式子中与相等的是 （ ）A. a+ b+cB. a+ b+cC. a b+c D. a b+c2.在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是 （ ）点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，y，z）点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，y，z） 点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，y，z） 点P关于原点对称的点的坐标是P4（x，y，z）A.3 B.2 C.1 D.03
9、下列命题中不正确的命题个数是若A、B、C、D是空间任意四点，则有+ +=0 |a|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件 若a、b共线，则a与b所在直线平行对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、zR），则P、A、B、C四点共面 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4【填空题】4.已知点A（1，2，1）、B（1，3，4）、D（1，1，1），若，则| |的值是_.5. 设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0）、A（1，3，2）、B（8，1，4）确定的平面上，a的值等于 ;6 A是BCD所在平面外一点，M、N分别是ABC和ACD的重心，若BD=4，则MN的长为
10、 .答案: 1-3, ACC; 4. ; 5. a=16 6. 【解答题】7设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1、l2上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1的中点.求证：M、N、P、Q四点共面.证明：，A、B、C及A1、B1、C1分别共线，、 M、N、P、Q四点共面.8.已知空间四边形中,且分别是的中点,是中点.求证:证明:连结由线段中点公式得:且,9在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，求证：（1）BD1平面ACB1；（2）BE=ED1.证明：（1），建立空间直角坐标系，则A(1,0,0), B(1,1,0), C(
11、0,1,0), D1(0,0,1), B1(1,1,1)（2）设设，10在正三棱柱ABC-A1B1C1中，(1)已知AB1BC1，求证：AB1A1；(2)当AB=2，AA1=4时，求异面直线BC1与A1C所成角的余弦值解：(1)设=a，=b，=c，则=a+c，=b-a+c，=b-c，(a+c)(b-a+c)=0，即c2-a2+ab=0又设=x，=h，则h2-x2+x2=0，x2=2h2=(a+c)(b-c)=ab-c2=x2-h2=h2-h2=0(2)=，=(b-a+c)(b-c)=b2-c2-ab=-14设异面直线BC1与A1C所成的角为q，则cosq=|cos|=即异面直线BC1与A1C所成角的余弦值为【探索题】如下图，直棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos的值；（3）求证：A1BC1M.（1）解：依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），=.（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），=（1，1，2），=（0，1，2），=3，=，=.cos，=.（3）证明：C1（0，0，2），M（，2），=（1，1，2），=（，0），=0，A1BC1M. 永久免费组卷搜题网