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1、 永久免费组卷搜题网98用空间向量求角和距离一、明确复习目标1了解空间向量的概念；会建立坐标系，并用坐标来表示向量；2理解空间向量的坐标运算；会用向量工具求空间的角和距离.二建构知识网络1求角：（1）直线和直线所成的角：求二直线上的向量的夹角或补角；（2）直线和平面所成的角：找出射影，求线线角；求出平面的法向量，直线的方向向量，设线面角为,则.（3）二面角：求平面角，或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角（或补角）；求两个法向量的夹角（或补角）.2求距离_a _ nNMH（1）点M到面的距离（如图）就是斜线段MN在法向量方向上的正投影.由得距离公式： （2）线面距离、面面距离都是求一点到平
2、面的距离；（3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量和连接两异面直线上两点的向量，再代上面距离公式.三、双基题目练练手1在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是 （ ）点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，y，z） 点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，y，z） 点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，y，z） 点P关于原点对称的点的坐标是P4（x，y，z）A.3 B.2 C.1 D.02 直三棱柱A1B1C1ABC，BCA=90，D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是 （）A B. C D3已知向量a=（1
3、，1，0），b=（1，0，2），且kab与2ab互相垂直，则k= _4 已知A（3，2，1）、B（1，0，4），则线段AB的中点坐标和长度分别是 ， .答案提示： 1. C； 2. A； 3. ； 4.（2，1，），dAB=四、以典例题做一做【例1】 (2005江西)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1EA1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1）
4、，D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，设平面ACD1的法向量为不与y轴垂直,可设，则也即，得，从而，点E到平面AD1C的距离:（3）设平面D1EC的法向量，由 依题意（不合，舍去）， .AE=时，二面角D1ECD的大小为【例2】（2005全国）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成的角；（）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.（）证明：因为PAPD，PAAB，ADAB，以A为坐标原点A
5、D长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，NMBA_DCyxPz 又由题设知ADDC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD面PCD（）解：因由此得AC与PB所成的角为（）解：设平面ACM的法向量为，由得：设平面BCM的法向量为同上得 结合图形可得二面角A-MC-B为解法2：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使要使为所求二面角的平面角. 【例3】如图，AF DE分别是O O1的直径 AD与两圆所在的平面均垂直，AD8,BC是O
6、的直径，ABAC6，OE/AD ()求直线BD与EF所成的角；()求异面直线BD和EF之间的距离.解：()以O为原点，BC AF OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F（0，0）所以，设异面直线BD与EF所成角为，则直线BD与EF所成的角为()设向量与BD、EF都垂直，则有， BD、EF之间的距离五提炼总结以为师1.求线线角、线面角、二面角的方法：2求点面距离，线面距离、面面距离及异面直线的距离的方法：同步练习 9.8用空间向量求角和距离【选择题】1设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是O
7、G1上一点，且OG=3GG1，若 =x+y+z，则（x，y，z）为 （ ）A（，） B（，）C（，） D（，）2在正方体AC1中，E、F分别为D1C1与AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角为 ( ) Aarctan Barccos Carcsin D都不对【填空题】3.已知空间三点A（1，1，1）、B（1，0，4）、C（2，2，3），则与的夹角的大小是_.4二面角的平面角为120，A、B，AC，BD，AC，BD，若ABACBD，则CD的长为 答案提示：1.A; 2. A; 3.120; 4. 2【解答题】5. 设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,），D（,4,8），求D
8、到平面ABC的距离.解：A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,），D（,4,8），;设平面ABC的法向量=（x，y，z），则=0，=0，即令z=2，则=（3，2，2）由点到平面的距离公式：=.点D到平面ABC的距离为.6（2004浙江文）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是线段EF的中点.（）求证AM平面BDE；（）求证AM平面BDF；（）求二面角ADFB的大小；解:（）建立如图所示的空间直角坐标系. 设，连接NE， 则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）, =(, 又点A、M的坐标分别是 、（. =（ =且与AM不共线，NEAM.又平
9、面BDE， 平面BDE，AM平面BDF.（） （）AFAB，ABAD，AFAD=A，AB平面ADF.7.（2004全国河北）如下图，已知四棱锥PABCD，PBAD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120.（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小.解（1）：如下图，作PO平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE.ADPB，ADOB.PA=PD，OA=OD.于是OB平分AD，点E为AD的中点，PEAD.由此知PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，PEB=12
10、0，PEO=60.由已知可求得PE=，PO=PEsin60=，即点P到平面ABCD的距离为.（2）解法一：如下图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.P（0，0，），B（0，0），PB中点G的坐标为（0，），连结AG.又知A（1，0），C（2，0）.由此得到 =（1，）， =（0，），=（2，0，0）.于是有=0，=0，. ，的夹角等于所求二面角的平面角.于是cos=，所求二面角的大小为arccos.解法二：如下图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AGPB，FGBC，FG=BC.ADPB，BCPB，FGPB.AGF是所求二面角的平面角.AD面POB，ADEG.
11、又PE=BE，EGPB，且PEG=60.在RtPEG中，EG=PEcos60=，在RtGAE中，AE=AD=1，于是tanGAE= .又AGF=GAE，所求二面角的大小为arctan.8. 如图，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点求：（1）与所成的角；（2）P点到平面EFB的距离；（3）异面直线PM与FQ的距离解：建立空间直角坐标系，则D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），则由中点坐标公式得P（,0,）、Q（,0）（1）=（，0，），=（，a），=()
12、+0+(a)=a2，且|= a，|= a.cos，=.故得两向量所成的角为150（2）设=（x，y，z）是平面EFB的法向量，即平面EFB，.又=（a，a，0）， =（0，a，a），即有，取，则. =（，0，）. 设所求距离为d，则= a.（3）设=（x1，y1，1）是两异面直线的公垂线的方向向量，则由=（，0，），=（，a），得,而 =（0，a，0） 所求距离=a. 9在60的二面角的棱上，有A、B两点，线段AC、BD分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8.求CD的长度； 求CD与平面所成的角解：因为，故有，CAAB，BDAB，.（2）过C作CE平面于E，连接AE、CE在ACE中，CE=6sin60=3，连接DE，则CDE就是CD与平面所成角。 永久免费组卷搜题网