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1、专题52 中考数学最值问题在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。一、解决几何最值问题的要领（1）两点之间线段最短；（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。二、解决代数最值问题的方法要领1.二次函数的最值公式二次函数（a、b、c为常数且）其性质中有若当时，y有最小值。；若当时，y有最大值。2.一次函数的增减性.一次函数的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当时，则一次函数的图象是一条线段，根据
2、一次函数的增减性，就有最大（小）值。3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有，当且仅当时，等号成立，即的最小值为k。6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。7. 利用不等式与判别式求解.在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化
3、、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。【例题1】（2020黑龙江）如图，在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，将ABD沿射线BD方向平移，得到EFG，连接EC、GC求EC+GC的最小值为 【答案】3【解析】根据菱形的性质得到AB1，ABD30，根据平移的性质得到EGAB1，EGAB，推出四边形EGCD是平行四边形，得到EDGC，于是得到EC+GC的最小值EC+GD的最小值，根据平移的性质得到点E在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于AE，解直角三角形即可得到结论在边长为1的菱形ABCD中，A
4、BC60，ABCD1，ABD30，将ABD沿射线BD的方向平移得到EGF，EGAB1，EGAB，四边形ABCD是菱形，ABCD，ABCD，BAD120，EGCD，EGCD，四边形EGCD是平行四边形，EDGC，EC+GC的最小值EC+ED的最小值，点E在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，则CM的长度即为EC+DE的最小值，EADADB30，AD1，ADM60，DHMH=12AD=12，DM1，DMCD，CDMMDG+CDB90+30120，MDCM30，CM232CD=3【对点练习】（2020内江）如图，在矩形ABCD中，BC10，ABD30，若点
5、M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为 【答案】15【解析】作点A关于BD的对称点A，连接MA，BA，过点AHAB于H首先证明ABA是等边三角形，求出AH，根据垂线段最短解决问题即可解：作点A关于BD的对称点A，连接MA，BA，过点AHAB于HBABA，ABDDBA30，ABA60，ABA是等边三角形，四边形ABCD是矩形，ADBC10，在RtABD中，AB=ADtan30=103，AHAB，AHHB53，AH=3AH15，AM+MNAM+MNAH，AM+MN15，AM+MN的最小值为15【例题2】（2020襄阳）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出
6、售“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示（1）直接写出当0x50和x50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共
7、a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100a）千克，根据实际意义可以确定a的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少（3）根据（2）的结论列不等式解答即可【解析】（1）当0x50是，设ykx，根据题意得50k1500，解得k30；y30x；当x50时，设yk1x+b，根据题意得，50k+b=150070k+b=1980，解得k=24b=300，y24x+3000y=30x(0x50)24x+300(x50
8、)，（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100a）千克，40a60，当40a50时，w130a+25（100a）5a+2500当a40 时wmin2700 元，当50a60时，w224a+25（100a）a+2500当a60时，wmin2440 元，24402700，当a60时，总费用最少，最少总费用为2440 元此时乙种水果1006040（千克）答：购进甲种水果为60千克，购进乙种水果40千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少（3）由题意得：（4024）35a+（3625）25a1650，解得a11767，a为正整数，a118，a的最小值为118【对点练习】（2020海南模拟）某
9、水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1x15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间(天)1x99x15x15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤)803x120x储存和损耗费用(元)403x3x264x400（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少1
10、27.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？【答案】看解析。【解析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为10(1x)，第二次降价后的价格为10(1x)2，进而可得方程；（2）分两种情况考虑，先利用“利润(售价进价)销量储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论；（3）设第15天在第14天的价格基础上降a元，利用不等关系“（2）中最大利润(8.1a4.1)销量储存和损耗费用127.5”求解解答：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，依题意得：10(1x)28.1解方程得：x10.110%，x21.9(不合题意，舍去)答：该种水果每次降价的百分
11、率为10%（2） 第一次降价后的销售价格为：10(110%)9(元/斤)，当1x9时，y(94.1)(803x)(403x)17.7x352；当9x15时，y(8.14.1)(120x)(3x264x400)3x260x80，综上，y与x的函数关系式为：y当1x9时，y17.7x352，当x1时，y最大334.3(元)；当9x15时，y3x260x803(x10)2380，当x10时，y最大380(元)；334.3380，在第10天时销售利润最大（3）设第15天在第14天的价格上最多可降a元，依题意得：380(8.1a4.1)(12015)(31526415400)127.5，解得：a0.5，
12、则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元所以当时，最大利润为1950元。【例题3】（2020乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线yx与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）A-12B-32C2D-14【答案】A【分析】确定OQ是ABP的中位线，OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，则BCBPPC413，则（m2）2+（m2）232，即可求解【解析】点O是AB的中点，则OQ是ABP的中位线，当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ=12BP最大，而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，
13、则BCBPPC413，设点B（m，m），则（m2）2+（m2）232，解得：m2=12，km（m）=-12【对点练习】（2019云南）如图，MN是O的直径，MN=4，AMN=40，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为 【答案】2【解析】过A作关于直线MN的对称点A，连接AB，由轴对称的性质可知AB即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出AON的度数，再由勾股定理即可求解过A作关于直线MN的对称点A，连接AB，由轴对称的性质可知AB即为PA+PB的最小值，连接OB，OA，AA，AA关于直线MN对称，=，AMN=40，AON=80，BON=
14、40，AOB=120，过O作OQAB于Q，在RtAOQ中，OA=2，AB=2AQ=2，即PA+PB的最小值2【例题4】（2020衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数yx2+px+q的图象过点（1，0），（2，0）（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当2x1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y（2m）x+2m的图象与二次函数yx2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a3b，求m的取值范围【答案】见解析。【分析】（1）由二次函数的图象经过（1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x2，函数有最大值4
15、；当x=12是函数有最小值-94，进而求得它们的差；（3）由题意得x2x2（2m）x+2m，整理得x2+（m3）x+m40，因为a2b，ab，（m3）24（m4）（m5）20，把x3代入（2m）x+2mx2x2，解得m-12【解析】（1）由二次函数yx2+px+q的图象经过（1，0）和（2，0）两点，1-p+q=04+2p+q=0，解得p=-1q=-2，此二次函数的表达式yx2x2；（2）抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1+22=12，在2x1范围内，当x2，函数有最大值为：y4+224；当x=12是函数有最小值：y=14-12-2=-94，的最大值与最小值的差为：4（-94）=254；（3
16、）y（2m）x+2m与二次函数yx2x2图象交点的横坐标为a和b，x2x2（2m）x+2m，整理得x2+（m3）x+m40a3bab（m3）24（m4）（m5）20m5a3b当x3时，（2m）x+2mx2x2，把x3代入（2m）x+2mx2x2，解得m-12m的取值范围为m-12【对点练习】（2019海南）如图，已知抛物线yax2+bx+5经过A（5，0），B（4，3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t当点P在直线BC的下方运动时，求PBC的面积的最大值；该抛物线上是否存在点P，使得PB
17、CBCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析。【解析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）SPBCPG（xCxB），即可求解；分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx2+6x+5，令y0，则x1或5，即点C（1，0）；（2）如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：yx+1，设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），SPBCPG（xCxB）（t+1t26t5）t2t6，0，SPBC有最大值
18、，当t时，其最大值为；设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，PBCBCD，点H在BC的中垂线上，线段BC的中点坐标为（，），过该点与BC垂直的直线的k值为1，设BC中垂线的表达式为：yx+m，将点（，）代入上式并解得：直线BC中垂线的表达式为：yx4，同理直线CD的表达式为：y2x+2，联立并解得：x2，即点H（2，2），同理可得直线BH的表达式为：yx1，联立并解得：x或4（舍去4），故点P（，）；当点P（P）在直线BC上方时，PBCBCD，BPCD，则直线BP的表达式为：y2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s5，即直线BP的表达式为：y2x+5，联立并解得：x0或4（舍去4）
19、，故点P（0，5）；故点P的坐标为P（，）或（0，5）【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要主要分类求解，避免遗漏【例题5】（2020无锡模拟）如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角ACD和等腰直角BCE，那么DE长的最小值是 【答案】4【解析】设AC=x，BC=4x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=x，CD=（4x），根据勾股定理然后用配方法即可求解解：设AC=x，BC=4x，ABC，BCD均为等腰直角三角形，CD=x，CD=（4x），ACD=45，BCD=45，DCE=90，D
20、E2=CD2+CE2=x2+（4x）2=x24x+8=（x2）2+4，根据二次函数的最值，当x取2时，DE取最小值，最小值为：4【点拨】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值【对点练习】（2019年黑龙江大庆）如图，在RtABC中，A90AB8cm，AC6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DEBC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，BDE的面积S有最大值？最大值为
21、多少？【答案】见解析。【解析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键（1）由平行线得ABCADE，根据相似形的性质得关系式.动点D运动x秒后，BD2x又AB8，AD82xDEBC，y关于x的函数关系式为y（0x4）（2）由SBDAE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解SBDE（0x4）当时，SBDE最大，最大值为6cm2【点拨】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键一、填空题1（2020扬州）如图，在ABCD中，B60，AB10，BC8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，
22、使得DF=14DE，以EC、EF为邻边构造EFGC，连接EG，则EG的最小值为 【答案】93【解析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决作CHAB于点H，在ABCD中，B60，BC8，CH43，四边形ECGF是平行四边形，EFCG，EODGOC，EOGO=DOOC=EDGC，DF=14DE，DEEF=45，EDGC=45，EOGO=45，当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EOCD时，EO取得最小值，CHEO，EO43，GO53，EG的最小值是93，2（2020凉山州）如图，矩形ABCD中，AD12，AB8，
23、E是AB上一点，且EB3，F是BC上一动点，若将EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为 【答案】10【解析】先根据勾股定理计算ED的长，当E、P、D共线时，DP最小，即最短距离是此时PD的长如图，连接PD，DE，四边形ABCD是矩形，A90，AB8，BE3，AE5，AD12，DE=52+122=13，由折叠得：EBEP3，EP+DPED，当E、P、D共线时，DP最小，DPDEEP133103（2020聊城）如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CACB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形AC
24、BD的周长最小，这个最小周长的值为 【答案】4+25【分析】根据平行线的性质得到BAC45，得到C90，求得ACBC2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值AC+BC+AE，过E作EFAC交CA的延长线于F，根据勾股定理即可得到结论解：点A（1，1），点C的纵坐标为1，ACx轴，BAC45，CACB，ABCBAC45，C90，B（3，3）C（3，1），ACBC2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值AC+BC+AE，过E作EFAC交CA的延长线于F，则EFBC2，AF624，AE
25、=EF2+AF2=22+42=25，最小周长的值AC+BC+AE4+254如图，菱形ABCD中，A=60，AB=3，A、B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、A和B上的动点，则PE+PF的最小值是 【答案】3 【解析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，菱形ABCD中，A=60，AB=AD，则ABD是等边三角形，BD=AB=AD=3，A、B的半径分别为2和1，PE=1，DF=2，PE+PF的最小值是3【点拨】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，
26、根据题意得出P点位置是解题关键5.（2020四川绵阳模拟）不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为_。【答案】5 【解析】设a、b、c三边上高分别为4、12、h因为，所以又因为，代入得，所以又因为，代入 得，所以 所以3h6，故整数h的最大值为5。6.（2020齐齐哈尔模拟）设a、b为实数，那么的最小值为_。【答案】-1 【解析】当，即时，上式等号成立。故所求的最小值为1。二、解答题7（2020达州）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a380940餐椅a140160已知用60
27、0元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同（1）求表中a的值；（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？【答案】见解析。【分析】（1）根据数量总价单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出a值；（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，由餐桌和餐椅的总数量不超过200张，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设销售利润为y元，根据销售方式及总利润单件（单套）利润销售数量，即可得出y关
28、于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题【解析】（1）根据题意得：600a-140=1300a，解得a260，经检验，a260是原分式方程的解答：表中a的值为260（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，根据题意得：x+5x+20200，解得：x30设销售利润为y元，根据题意得：y9402604（260140）12x+（380260）12x+160（260140）（5x+20412x）280x+800，k2800，当x30时，y取最大值，最大值为：28030+8009200答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元8（2020泸州）某校举
29、办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？【答案】见解析。【分析】（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30x）件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了800元列方程30x+20（30x）800，然后解方程求出x，再计算30x即可；（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，可得出关
30、于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价单价数量，可得出w关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题【解析】（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30x）件，根据题意得30x+20（30x）800，解得x20，则30x10，答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，根据题意得 30x3x，解得x7.5，w30x+20（30x）10x+600，100，w随x的增大而减小，x8时，w有最小值为：w108+600680答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费
31、用为680元9（2020重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程结合已有的学习经验，请画出函数y=-12x2+2的图象并探究该函数的性质 x432101234y-23 a24b42-1211 -23 （1）列表，写出表中a，b的值：a，b ；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“”作答，错误的用“”作答）：函数y=-12x2+2的图象关于y轴对称；当x0时，函数y=-12x2+2有最小值，最小值为6；在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的
32、增大而减小（3）已知函数y=-23x-103的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式-12x2+2-23x-103的解集【答案】见解析。【分析】（1）将x3，0分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；（3）根据图象求得即可【解析】（1）x3、0分别代入y=-12x2+2，得a=-129+2=-1211，b=-120+2=-6，故答案为-1211，6；画出函数的图象如图：，故答案为-1211，6；（2）根据函数图象：函数y=-12x2+2的图象关于y轴对称，说法正确；当x0时，函数y=-12x2+2有最小值，最小值为6，说法正确；
33、在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小，说法错误（3）由图象可知：不等式-12x2+2-23x-103的解集为x4或2x110（2020绥化）如图，在矩形OABC中，AB2，BC4，点D是边AB的中点，反比例函数y1=kx（x0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2mx+n（m0）（1）求反比例函数y1=kx（x0）的解析式和直线DE的解析式；（2）在y轴上找一点P，使PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，PDE的周长最小值是 【答案】见解析。【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（1，4），解方程和方程组即可得到结论；（2）
34、作点D关于y轴的对称点D，连接DE交y轴于P，连接PD，此时，PDE的周长最小，求得直线DE的解析式为y=-23x+103，于是得到结论；（3）根据勾股定理即可得到结论【解析】（1）点D是边AB的中点，AB2，AD1，四边形OABC是矩形，BC4，D（1，4），反比例函数y1=kx（x0）的图象经过点D，k4，反比例函数的解析式为y=4x（x0），当x2时，y2，E（2，2），把D（1，4）和E（2，2）代入y2mx+n（m0）得，2m+n=2m+n=4，m=-2n=6，直线DE的解析式为y2x+6；（2）作点D关于y轴的对称点D，连接DE交y轴于P，连接PD，此时，PDE的周长最小，D点的坐
35、标为（1，4），D的坐标为（1，4），设直线DE的解析式为yax+b，4=-a+b2=2a+b，解得：a=-23b=103，直线DE的解析式为y=-23x+103，令x0，得y=103，点P的坐标为（0，103）；（3）D（1，4），E（2，2），BE2，BD1，DE=12+22=5，由（2）知，D的坐标为（1，4），BD3，DE=22+32=13，PDE的周长最小值DE+DE=5+13，故答案为：5+1311（2020临沂）如图，菱形ABCD的边长为1，ABC60，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N（1）求证：AF
36、EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，CEF的大小是否变化？为什么？【答案】见解析。【分析】（1）连接CF，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到CFEF和CFAF即可得证；（2）连接AC，根据菱形对称性得到AF+CF最小值为AC，再根据中位线的性质得到MN+NG的最小值为AC的一半，即可求解；（3）延长EF，交DC于H，利用外角的性质证明AFCFCE+FEC+FAE+FEA，再由AFCFEF，得到AEFEAF，FECFCE，从而推断出AFDFAE+ABFFAE+CEF，从而可求出ABFCEF30，即可证明【解析】（1）连接CF，FG垂直平分CE，CFEF，四边形ABC
37、D为菱形，A和C关于对角线BD对称，CFAF，AFEF；（2）连接AC，M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，MN=12AF，NG=12CF，即MN+NG=12（AF+CF），当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，AF+CF最小，即此时MN+NG最小，菱形ABCD边长为1，ABC60，ABC为等边三角形，ACAB1，即MN+NG的最小值为12；（3）不变，理由是：延长EF，交DC于H，CFHFCE+FEC，AFHFAE+FEA，AFCFCE+FEC+FAE+FEA，点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：AFDCFD=12AFC，AFCFEF，AEFEAF，FECFCE
38、，AFDFAE+ABFFAE+CEF，ABFCEF，ABC60，ABFCEF30，为定值12（2020广元）如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45方向上距离62千米处是学校B（参考数据：sin36.50.6，cos36.50.8，tan36.50.75）（1）求学校A，B两点之间的距离；（2）要在公路MN旁修建一个体育馆C，使得A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离【答案】见解析。【分析】（1）过点A作CDMN，BEMN，在RtACM中求出CM，AC，在RtMBE中求出BE，ME，继而得出AD，BD的长度，在RtABD中利用
39、勾股定理可得出AB的长度（2）作点B关于MN的对称点G，连接AG交MN于点P，点P即为站点，求出AG的长度即可【解析】（1）过点A作CDMN，BEMN，如图：在RtACM中，CMA36.5，AM5km，sin36.5=CA5=0.6，CA3，MC4km，在RtMBE中，NMB45，MB=62km，sin45=BE62=22，BE6，ME6km，ADCDCAMECA3km，BDBEDEBECM2km，在RtABD中，AB=13km（2）作点B关于MN的对称点G，连接AG交MN于点P，连接PB，点P即为站点，此时PA+PBPA+PGAG，即A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短为AG长在RtADG
40、中，AD3，DGDE+EGDE+BE4+610，ADG90，AG=AD2+DG2=32+102=109km答：最短距离为109km13（2020武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA2OC8OB点P是第三象限内抛物线上的一动点（1）求此抛物线的表达式；（2）若PCAB，求点P的坐标；（3）连接AC，求PAC面积的最大值及此时点P的坐标【答案】见解析。【分析】（1）抛物线yax2+bx2，则c2，故OC2，而OA2OC8OB，则OA4，OB=12，确定点A、B、C的坐标；即可求解；（2）抛物线的对称轴为x=-74，当PCAB时，点P、C的纵
41、坐标相同，即可求解；（3）PAC的面积SSPHA+SPHC=12PHOA，即可求解【解析】（1）抛物线yax2+bx2，则c2，故OC2，而OA2OC8OB，则OA4，OB=12，故点A、B、C的坐标分别为（4，0）、（12，0）、（0，2）；则ya（x+4）（x-12）a（x2+72x2）ax2+bx2，故a1，故抛物线的表达式为：yx2+72x2；（2）抛物线的对称轴为x=-74，当PCAB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（-74，2）；（3）过点P作PHy轴交AC于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=-12x2，则PAC的面积SSPHA+SPHC=12PHOA=124（-12x2x2-72x+2）2（x+2）2+8，20，S有最大值，当x2时，S的最大值为8，此时点P（2，5）14（2020枣庄）如图，抛物线yax2+bx+4交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BCM为线段OB上的一个动点，过点M作PMx轴，交抛物线于点P，交BC于点Q（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PNBC，