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1、专题52 中考数学最值问题在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。一、解决几何最值问题的要领（1）两点之间线段最短；（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。二、解决代数最值问题的方法要领1.二次函数的最值公式二次函数（a、b、c为常数且）其性质中有若当时，y有最小值。；若当时，y有最大值。2.一次函数的增减性.一次函数的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当时，则一次函数的图象是一条线段，根据
2、一次函数的增减性，就有最大（小）值。3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有，当且仅当时，等号成立，即的最小值为k。6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。7. 利用不等式与判别式求解.在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化
3、、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。【例题1】（2020黑龙江）如图，在边长为1的菱形ABCD中，ABC60°，将ABD沿射线BD方向平移，得到EFG，连接EC、GC求EC+GC的最小值为 【对点练习】（2020内江）如图，在矩形ABCD中，BC10，ABD30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为 【例题2】（2020襄阳）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售专业户为了感谢经销商
4、的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示（1）直接写出当0x50和x50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值【对点练习】（2020海南模拟）某
5、水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1x15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间(天)1x99x15x15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤)803x120x储存和损耗费用(元)403x3x264x400（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少1
6、27.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？【例题3】（2020乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线yx与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）A -12B-32C2D-14【对点练习】（2019云南）如图，MN是O的直径，MN=4，AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为 【例题4】（2020衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数yx2+px+q的图象过点（1，0），（2，0）（1）求这个二次函数的表达式
7、；（2）求当2x1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y（2m）x+2m的图象与二次函数yx2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a3b，求m的取值范围【对点练习】（2019海南）如图，已知抛物线yax2+bx+5经过A（5，0），B（4，3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t当点P在直线BC的下方运动时，求PBC的面积的最大值；该抛物线上是否存在点P，使得PBCBCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【例题5】（2020无锡模拟）如图，线段AB的长为4，C
8、为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角ACD和等腰直角BCE，那么DE长的最小值是 【对点练习】（2019年黑龙江大庆）如图，在RtABC中，A90°AB8cm，AC6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DEBC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，BDE的面积S有最大值？最大值为多少？一、填空题1（2020扬州）如图，在ABCD中，B60°，AB10，BC8，点E为边
9、AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC、EF为邻边构造EFGC，连接EG，则EG的最小值为 2（2020凉山州）如图，矩形ABCD中，AD12，AB8，E是AB上一点，且EB3，F是BC上一动点，若将EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为 3（2020聊城）如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CACB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为 4如图，菱形ABCD中，A=60°，AB=3，A、B的半径分别为2和1，P、E
10、、F分别是边CD、A和B上的动点，则PE+PF的最小值是 5.（2020四川绵阳模拟）不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为_。6.（2020齐齐哈尔模拟）设a、b为实数，那么的最小值为_。二、解答题7（2020达州）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a380940餐椅a140160已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同（1）求表中a的值；（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张若将一半的餐桌成套（一
11、张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？8（2020泸州）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？9（2020重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程结合已有的学习经验，请画出函数y=-12x2+2的图象并探究该函数的性质 x43210
12、1234y-23 a24b42-1211 -23 （1）列表，写出表中a，b的值：a，b；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“”作答，错误的用“×”作答）：函数y=-12x2+2的图象关于y轴对称；当x0时，函数y=-12x2+2有最小值，最小值为6；在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小（3） 已知函数y=-23x-103的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式-12x2+2-23x-103的解集10（2020绥化）如图，在矩形OABC中，AB2，BC4，点D
13、是边AB的中点，反比例函数y1=kx（x0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2mx+n（m0）（1）求反比例函数y1=kx（x0）的解析式和直线DE的解析式；（2）在y轴上找一点P，使PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，PDE的周长最小值是 11（2020临沂）如图，菱形ABCD的边长为1，ABC60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N（1）求证：AFEF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，CEF的大小是否变化？为什么？12（2020广元
14、）如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离62千米处是学校B（参考数据：sin36.5°0.6，cos36.5°0.8，tan36.5°0.75）（1）求学校A，B两点之间的距离；（2）要在公路MN旁修建一个体育馆C，使得A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离13（2020武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA2OC8OB点P是第三象限内抛物线上的一动点（1）求此抛物线的表达式；（2）若PCAB，求点P的坐标
15、；（3）连接AC，求PAC面积的最大值及此时点P的坐标14（2020枣庄）如图，抛物线yax2+bx+4交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BCM为线段OB上的一个动点，过点M作PMx轴，交抛物线于点P，交BC于点Q（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PNBC，垂足为点N设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由15（2020天津）已知点A（1，0）是抛物线yax2+bx+m（a，b，m为常数，a0，m0）与x轴的一个交点（）当a1，m3时，求该抛物线的顶点坐标；（）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线1平行于x轴，E是直线1上的动点，F是y轴上的动点，EF22当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AEEF时，求点F的坐标；取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是22？