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1、二轮大题专练15立体几何（线线角、线面角）1已知四棱锥中，四边形是菱形，且，为等边三角形，平面平面（）求证：；（）若点是线段上靠近的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值证明：（）取的中点，连接、和，因为为等边三角形，所以；又四边形是菱形，且，所以为等边三角形，所以；又，平面，平面，所以平面，又平面，所以；（）解：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面；又，所以、两两垂直；以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如图所示；不妨设，则，0，0，；所以，；设平面的一个法向量为，由，得，令，得，1，又，所以，又，所以，设直线与平面所成的角为，则2如图，在矩形中，点，分别在，上，且，沿将
2、四边形折成四边形，使点在平面上的射影在直线上（1）求证：平面平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值解：（1）证明：矩形中，点在平面上的射影为，则平面，且平面，又，平面，又平面，平面平面；（2）证明：，平面，平面平面，由，同理可得平面，又平面平面，平面；（3）如图所示，过作，过作平面，分别以，为，轴建立空间直角坐标系在平面上的射影在直线上，设，；，3，且，；，解得；，2，；，；且，5，设平面的法向量为，解得，令，得，得到平面的法向量为，0，；又，5，2，直线与平面所成角的正弦值为，3如图，直三棱柱中，若为的中点（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值解：（1）证明：连接，
3、交于点，连接，直三棱柱中，是矩形，是的中点，为的中点，平面，平面，平面（2）三棱柱中，为的中点，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，0，0，设平面的法向量，则，取，得，设与平面所成角为，则与平面所成角的正弦值为：4如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧面底面，且侧面为菱形，是的中点，是与的交点（1）求证：底面；（2）求与平面所成角的正弦值解：（1）证法一：取的中点，连接，是与的交点，且侧面是菱形，是的中点，底面，底面，底面，为中点，四边形为平行四边形，底面，底面，底面，平面，平面，平面底面，平面，底面证法二：取中点，连接，是与的交点，且侧面为菱形，是的
4、中点，是的中点，是的中点，四边形是平行四边形，又底面，底面，底面（2）连接，侧面为菱形，是正三角形，侧面底面，侧面底面，侧面，底面，底面为正三角形，为的中点，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，底面是边长为2的正三角形，0，1，0，1，1，1，设平面的一个法向量为，由，取，得，与平面所成角的正弦值为：5如图，四棱锥，、分别是、的中点，底面为平行四边形（1）求证：平面；（2）若，求异面直线与所成的角的大小（1）证明：取的中点，连接，是的中点，是的中点，四边形是平行四边形，平面，平面，平面（2）解：由（1）知，即为直线与所成的角，平行四边形，设，则，由余弦定理知，即，解得，在
5、中，故异面直线与所成的角的大小为6如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，分别是，的中点（1）证明：；（2）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求直线与直线所成的角余弦值解：（）证明：底面为菱形，为正三角形，是的中点，又，又平面，而，平面，平面，（）过作于，连，由（）得平面，线段长的最小值为，解得，分别是，的中点，异面直线与所成的角即为与所成的角直线与直线所成的角余弦值为故答案为：7如图，三棱锥SABC的底面ABC和侧面SBC都是等边三角形，且平面SBC平面ABC（）若P点是线段SA的中点，求证：SA平面PBC；（）点Q在线段出上且满足AQ，求BQ与平面SAC所成角的正弦值解：（1）证明：ABC
6、和SBC都是等边三角形，且有公共边BC，ABSBACSC，P是SA的中点，SABP，SACP，BPCPP，SA平面PBC（2）取BC的中点O，连结OA，OS，由条件得OA，BC，OS两两垂直，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设AB2，则AOOS，则A（，0，0），B（0，1，0），C（0，1，0），S（0，0，），Q（，0，），（，1，0），（），（，1，），设平面SAC的一个法向量为（x，y，z），则，令x1，得（1，1），设BQ与平面SAC所成角为，则BQ与平面SAC所成角的正弦值为：sin8已知棱台ABCA1B1C1，平面AA1C1C平面A1
7、B1C1，B1A1C160，A1B1C190，AA1ACCC1，D，E分别是BC和A1C1的中点（）证明：DEB1C1；（）求DE与平面BCC1B1所成角的余弦值解：（）证明：过点A作AO平面A1B1C1，交A1C1于O，连结B1O，设AA1ACCC11，则A1O1，A1B12，B1OA1C1，B1O，以O为原点，OB1，OC1，OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（，），C（0，1，），D（，），E（0，0），B1（），C1（0，3，0），（，），（，3，0），0，DEB1C1（）解：（），（0，2，），设平面BCC1B1的法向量（x，y，z），则，取y，得（3，2），（，），设DE与平面BCC1B1所成角为，则sincosDE与平面BCC1B1所成角的余弦值为