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1、二轮大题专练14立体几何（计算面积、体积、距离）1从是的中点，是的内心三个条件中任选一个条件，补充在下面问题中，并完成解答，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，分别为，的中点（1）判断与平面的位置关系，并证明你的结论；（2）若是侧面上的一点，且_，求三棱锥的体积1.解：（1）与平面平行证明如下：连接，则与交于点，在中，均为中点，平面，平面，平面（2）选择条件：平面，平面，又底面是矩形，平面，是的三等分点，且，三棱锥的高为，底面，底面，在中，为中点，三棱锥的体积为：，选择条件：平面，平面，底面是矩形，平面，是中点，是中点，在中，三棱锥的高为，底面，底面，在中，为中点，三棱锥的体积为：选择条件：平面
2、，平面，底面是矩形，平面，设的内切圆与边相切于点，则，平面，平面，三棱锥的高为，在中，底面，底面，在中，为中点，三棱锥的体积为：2如图1，在中，分别是，边上的中点，将沿折起到的位置，使，如图2（）求证：；（）求点到平面的距离2.（）证明：在图中，为，边中点 所以又，所以在图2中，且，则平面又因为平面，所以（）解：由（）知平面，且平面，所以平面平面，且平面平面，在正中，过作，垂足为，所以平面即为三棱锥底面上的高，在中，在中，所以在梯形中，设点到平面的距离为，因为，所以，解得即点到平面的距离为3如图，平行四边形中，平面，（1）求证：平面平面；（2）若点，分别是，的中点，求三棱锥的体积3.解：（1）
3、证明：因为平面，平面，所以又，平面平面，平面，所以平面，而平面，所以在平行四边形中，所以由平面，平面，所以，而，平面，平面，所以平面又平面，所以平面平面（2）由（1）可知，而，则为等腰直角三角形，又，所以，连接，由点，分别是，的中点，所以，且，所以，则，在平行四边形中，为三棱锥的高，所以，所以三棱锥的体积为4如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面（1）求证：；（2）若，求三棱柱的高4.解：（1）证明：连结，则为与的交点，因为侧面为菱形，所以，又平面，又，平面，平面，平面，由于平面，故（2）作，垂足为，连结，作，垂足为，由于，故平面，所以又，平面，平面，所以平面因为，所以为等边三角形，又，
4、可得，由于，所以，由，且，得，又为的中点，所以点到平面的距离为，故三棱柱的高为5如图，四棱锥中，平面平面（）若，证明：；（）若，且，求的取值范围5.（）证明：设平面平面，平面，平面，平面，又平面，平面平面，平面，平面，即：（）解：连接，在中，由余弦定理得，则，故，以点为坐标原点，以，的方向为轴，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则，0，0，0，设，则，当时，平面平面，又平面平面，平面平面，平面，即，即，由，得，又，即，解得或，当时，；当时，的长的取值范围为，6如图，在四棱锥中，平面平面，分别为线段，的中点四边形是边长为1的正方形，（1）求证：平面；（2）求直线与所成角的余弦值；（3）点在直
5、线上，若平面平面，求线段的长6.解：（1）证明：取线段中点，连结、，点为中点，四边形是正方形，四边形是平行四边形，平面，平面，平面（2）解：连结，为中点，平面，平面平面，平面平面，正方形，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，1，0，1，1，设直线与所成角为，则直线与所成角的余弦值为（3）解：设，1，1，设平面的法向量，则，取，得，1，设平面的法向量，则，取，得，平面平面，解得，7如图，四棱锥的底面是长方形，侧棱底面，是的中点（1）证明：平面；（2）若点在线段（不包含端点）上，二面角为，且直线平面，求线段的长7.解：（1）证明：连结，交于，连结，底面为长方形，为对角线，的中点，又是的中点，平面，平面，平面（2）由底面，知，二面角为，二面角的平面角，底面是正方形，以为原点，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，由，得，0，0，1，2，假设上存在点，使得平面，设，则，2，2，直线平面，解得，8如图所示，在三棱锥中，点，分别为，的中点（）求证：平面平面；（）求四面体的体积8.（）证明：因为，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因为，为的中点，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（）解：由（）可得为三棱锥的高，又点，分别为，的中点，所以，由余弦定理可得，又，所以，所以，所以四面体的体积为