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1、二轮大题专练18立体几何（折叠问题）1如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点现将沿折起（如图，使得平面平面（1）判断是否与垂直，并说明理由（2）图中，在平面内过点作，为垂足，求的取值范围解：（1）与不垂直证明过程如下：若，、平面，平面，平面平面，平面平面，平面，平面，又，、平面，平面，在翻折后的中，这是不可能的，故与不垂直（2）设，则，平面平面，平面平面，平面，平面，由勾股定理知，化简整理得，在上单调递增，故的取值范围为，2如图1，已知菱形的对角线，交于点，点为的中点将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示（）求证：；（）试问平面与平面所成的二面角是否为，如果是，请证明；如果不是
2、，请说明理由；（）在线段，上是否分别存在点，使得平面平面？若存在，请指出点，的位置，并证明；若不存在，请说明理由解：（）证明：折叠前，四边形是菱形，折叠后，平面，平面，（）解：平面与平面所成的二面角为证明如下：四边形是菱形，又点为的中点，四边形是平行四边形，由（）得，平面，平面，平面，平面平面，平面与平面所成的二面角为（）解：在线段，上是分别存在点，且，分别是，的中点，使得平面平面证明如下：如图，分别取，的中点，连结，四边形是平行四边形，在中，分别是，的中点，、分别是、的中点，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，又，平面，平面，平面平面3如图1，在直角梯形中，点在上，且，将三角形沿线段折起
3、到的位置，（如图（）求证：平面平面；（）在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：（）证明：取的中点，连接，在中，由余弦定理可得，所以，因为，所以，又，面，面，所以面，又面，所以面面；（）存在，满足，使得平面证明：取的三等分点，且，连接，则，且，所以四边形为平行四边形，可得，又，所以，又，面，面，所以面，同理可得面，又，所以面面，面，可得面4如图，在等腰梯形中，分别为，的中点，以为折痕将折起，使点到达点位置平面（1）若为直线上任意一点，证明：平面；（2）若直线与所成角为，求三棱锥的表面积解：（1）证明：连接，分别是，的中点，平面，平面，平面，同理平面，平面，平面，平面
4、平面，平面，平面（2）解：在等腰梯形中，作于，于，由题意得，与互补，在中，为锐角，为直线与所成角，为等腰直角三角形，三棱锥的表面积为：5如图，已知图1中是等腰三角形，分别是，的中点，沿着把折起到，使得平面平面，图2中，为的中点，连接（）求证：平面；（）求四棱锥的侧面积（）证明：取中点，连接，由点、分别是，的中点，得，又，所以四边形是平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面；（）因为是等腰三角形，所以，所以是等腰直角三角形，且分别取、的中点、，连接，从而有又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，在中，又翻折后，在中，四棱锥的侧面积为：6如图，平行四边形中，分别为，的中点以为折痕把四边形
5、折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面的距离解：（1）证明：记，连结，由题意知四边形是菱形，且是、的中点，平面，平面，平面，平面，平面平面（2）解：由（1）知，且，平面，平面，平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，0，0，0，0，0，设平面的法向量，则，取，得，1，则点到平面的距离为：7如图1，梯形ABCD中，ABCD，过A，B分别作AECD，BFCD，垂足分别为E、F若ABAE2，CD5，DE1，将梯形ABCD沿AE，BF折起，且平面ADE平面ABFE（如图2）（）证明：AFBD；（）若CFDE，在线段AB上是否存在一点P，使得直
6、线CP与平面ACD所成角的正弦值为，若存在，求出AP的值，若不存在，说明理由解：（）证明：平面ADE平面ABFE，DE平面ADE，平面ADE平面ABFEAE，DEAE，DE平面ABFE，又AF平面ABFE，DEAF，又正方形ABFE中，AFBE，且BEDEE，DE平面BDE，BE平面BDE，AF平面BDE，BD平面BDE，AFBD（）解：由（）知，DE、EA、EF两两垂直，如图建立空间直角坐标系，CFDE，CF平面ABFE，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，2），D（0，0，1），（2，0，1），（2，2，2），设平面ACD的一个法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，2
7、），设P（2，t，0），且0t2，则（2，t2，2），设直线CP与平面ACD所成角为在线段AB上存在一点P，使得直线CP与平面ACD所成角的正弦值为，sin，解得t1或t（舍）AP18如图1，在梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，以BE为折痕把ABE折起使点A到达点A1的位置，且A1C1，如图2（1）证明：平面A1BE平面BCDE；（2）求二面角CA1BE的余弦值证明：（1）在图（1）中，ADBC，ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，四边形ABCE为正方形，BEAC，AOOC，即在图2中，A1OBE，BEOC，A1OOC，A1C1，在A1OC中，+OC2，A1OOC，A1O平面BCDE，A1O平面A1BE，平面A1BE平面BCDE解：（2）由（1）知OA1，OB，OC互相垂直，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，A1BA1EBCED1，O（0，0，0），B（，0，0），A1（0，0，），C（0，0），（，0），（0，），（0，0），设平面A1BC的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），由（1）得平面A1BE平面BCDE，且OCBE，OC平面A1BE，（0，0）是平面A1BE的法向量，设二面角CA1BE的平面角为，则cos二面角CA1BE的余弦值为