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1、 2.7.2抛物线的几何性质学 习 目 标核 心 素 养1了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质(重点)2会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题(重点、难点)3掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识通过抛物线的几何性质的学习，培养直观想象、数学运算素养如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛
2、物面的线抛物线的几何性质1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e1思考1：抛物线x22py(p0)有几条对称轴？提示有一条对称轴思考2：抛物线的范围是xR，这种说法正确吗？提示抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y22px(p0)的范围是x0，yR，故此说法错误思考3：参数p对抛物线开口大小有何影响？提示参数p(p0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大2焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(
3、x1，y1)，B(x2，y2)，则y22px(p0)|AB|x1x2py22px(p0)|AB|p(x1x2)x22py(p0)|AB|y1y2px22py(p0)|AB|p(y1y2)1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线是中心对称图形()(2)抛物线的范围为xR()(3)抛物线关于顶点对称()(4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但离心率都相同()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)在抛物线中，以x代x，y代y，方程发生了变化(2)抛物线的方程不同，其范围不同，y22px(p0)中x0，yR(3)(4)离心率都为1，正确2设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛
4、物线焦点F的距离是()A8B6C4D2A抛物线的方程为y28x，其准线l的方程为x2，设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，则d|PF|，即|PF|dx0(2)x02，点P到y轴的距离是6，x06，|PF|6283过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1x26，则|AB| 8y24x，2p4，p2由抛物线定义知：|AF|x11，|BF|x21，|AB|x1x2p6284顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是 y224x或y224x顶点与焦点距离为6，即6，2p24，又对称轴为x轴，抛物线方程为y224x或y224x由抛物线的
5、几何性质求标准方程【例1】(1)平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px(p0)的焦点，则该抛物线的标准方程是 (2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程(1)y25x线段OA的垂直平分线为4x2y50，与x轴的交点为，抛物线的焦点为，其标准方程是y25x(2)解：椭圆的方程可化为1，其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的方程为y22px或y22px(p0)抛物线的焦点到顶点的距离为3，即3，p6，抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方
6、程分别为x3和x3用待定系数法求抛物线方程的步骤提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置不同的焦点设出不同的方程1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线方程解设抛物线方程为y22ax(a0)，点P(x0，y0)因为点P到对称轴距离为6，所以y06，因为点P到准线距离为10，所以10因为点P在抛物线上，所以362ax0由，得或或或所以所求抛物线方程为y24x或y236x抛物线性质的应用【例2】(1)抛物线y24x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且AFO120(O为坐标原点)，AKl，垂足为K，则AKF的面积是 (2)已知正三
7、角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y22px(p0)上，求这个三角形的边长(1)4如图，设A(x0，y0)，过A作AHx轴于H，在RtAFH中，|FH|x01，由AFO120，得AFH60，故y0|AH|(x01)，所以A点的坐标为，将点A坐标代入抛物线方程可得3x10x030，解得x03或x0(舍)，故SAKF(31)24(2)解：如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2px1，y2px2又|OA|OB|，所以xyxy，即xx2px12px20，整理得(x1x2)(x1x22p)0x10，x20,2p
8、0，x1x2，由此可得|y1|y2|，即线段AB关于x轴对称由此得AOx30，所以y1x1，与y2px1联立，解得y12p|AB|2y14p利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题(4)焦点：解决焦点弦问题提醒：解答本题时易忽略A，B关于x轴对称而出错2已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，求抛物线的标准方程解由已知得2，所以4，解得即渐近线方程为yx，而抛物线准线方程为x，于是
9、A，B，从而AOB的面积为p可得p2，因此抛物线开口向右，所以标准方程为y24x焦点弦问题探究问题以抛物线y22px(p0)为例，回答下列问题：(1)过焦点F的弦长|AB|如何表示？还能得到哪些结论？提示|AB|2(焦点弦长与中点关系)|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2，y1y2p2SAOB(定值)(2)以AB为直径的圆与直线l具有怎样的位置关系？提示如图，AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l所以以AB为直径的圆必与准线l相切(3)解决焦点弦问题需注
10、意什么？提示要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解【例3】已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|p，求AB所在直线的方程思路探究根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程解过焦点的弦长|AB|p，弦所在的直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)y22px的焦点为F直线方程为yk由整理得k2x2(k2p2p)xk2p20(k0)，x1x2，|AB|x1x2pp，又|AB|p，pp，k2所求直线方程为y2或y21(改变问法)本例条件不变，求弦
11、AB的中点M到y轴的距离解设AB中点为M(x0，y0)，由例题解答可知2x0x1x2p，所以AB的中点M到y轴的距离为p2(变换条件)本例中，若A、B在其准线上的射影分别为A1，B1，求A1FB1解由例题解析可知AB的方程为yk，即xy，代入y22px消x可得y2yp2，即y2yp20，y1y2p2，由A1点的坐标为，B1点的坐标为，得kA1F，kB1FkA1FkB1F1，A1FB190解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，简化运算.1讨论抛物线的几何性质，
12、一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程2解决抛物线的轨迹问题，可以利用抛物线的标准方程，结合抛物线的定义3抛物线y22px(p0)的过焦点的弦长|AB|x1x2p，其中x1，x2分别是点A，B横坐标的绝对值；抛物线x22py(p0)的过焦点的弦长|AB|y1y2p，其中y1，y2分别是点A，B纵坐标的绝对值4求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化1若抛物线y22x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|2
13、，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()ABCDA线段AB所在的直线方程为x1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为12在抛物线y216x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为()A(4，2) B(4，2)C(2,4) D(2，4)D抛物线y216x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)符合题意，则有所以符合题意的点为(2，4)3设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若4，则点A的坐标是()A(2，2) B(1，2)C(1,2) D(2,2)B由题意知F(1,0)，设A，则，由4得y02，点A的坐标为(1，2)，故选B4已知AB是过抛物线2x2y的焦点的
14、弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标是 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2y，可得p|AB|y1y2p4，y1y24，故AB的中点的纵坐标是5已知点P(1，m)是抛物线C：y22px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|2，直线l：yk(x1)与抛物线C相交于不同的两点A，B(1)求抛物线C的方程；(2)若|AB|8，求k的值解(1)抛物线C：y22px的准线为x，由|PF|2得：12，得p2所以抛物线的方程为y24x(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得k2x2(2k24)xk20，16k2160，x1x2直线l经过抛物线C的焦点F，|AB|x1x2p28，解得k1，所以k的值为1或1