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1、 2.5椭圆及其方程2.5.1椭圆的标准方程学 习 目 标核 心 素 养1掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题(重点)2掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程(重点)3理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)1通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养数学抽象素养2借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养“嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，其主要目的是释放月球车为“嫦娥三号”任务实现月球软着陆进行部分关键技术试验，并对“嫦娥三号”着陆区进行高精度成像“嫦娥二号”进入太空轨道绕月球运转时，其轨道就是以月球为一个焦点的椭圆，本节我们将学习椭圆的定义及标
2、准方程1椭圆的定义(1)定义：如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a|F1F2|，则平面内满足|PF1|PF2|2a的动点P的轨迹称为椭圆(2)相关概念：两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距思考1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在2椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程
3、1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c,0)(0，c)a，b，c的关系a2b2c2思考2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？提示a，b的值及焦点所在的位置思考3：根据椭圆方程，如何确定焦点位置？提示把方程化为标准形式，x2，y2的分母哪个大，焦点就在相应的轴上1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆1的焦点坐标是(3,0)()(3)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆()答案(1)(2)(3)提示(1)需2a|F1F2|(2)(0，3)(3)ab0时表示焦点在y轴上的椭圆2以下方程表示椭圆的是()Ax2y21B2x23
4、y26Cx2y21 D2x23y26B只有B符合椭圆的标准方程的形式3以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是()A1B1C1或1D1或1C若椭圆的焦点在x轴上，则c1，b2，得a25，此时椭圆方程是1；若焦点在y轴上，则a2，c1，则b23，此时椭圆方程是14椭圆1的左、右焦点F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，则|PF2| 2由椭圆的定义知|PF1|PF2|6，所以|PF2|6|PF1|642求椭圆的标准方程【例1】根据下列条件，求椭圆的标准方程(1)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26(2)经过点P，两焦点间的距
5、离为2，焦点在x轴上(3)过(3,2)且与1有相同的焦点解(1)椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为：1(ab0)2a26,2c10，a13，c5b2a2c2144所求椭圆的标准方程为：1(2)设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦点在x轴上，2c2，a2b21，又椭圆经过点P，1，解之得b23，a24椭圆的标准方程为1(3)由方程1可知，其焦点的坐标为(，0)，即c设所求椭圆方程为1(ab0)，则a2b25，因为过点(3,2)，代入方程为1(ab0)，解得a215(a23舍去)，b210，故椭圆的标准方程为1利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b
6、，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0)1求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点在x轴上，且a4，c2；(2)经过点P，Q解(1)a216，c24，b216412，且焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为1(2)法一： 当椭圆的焦点在x轴上时，设标准方程为1(ab0)，依题意，有解得因为ab0，所以方程组无解当椭圆的焦点在y轴上时，设标准方程为1(ab0)，依题意，有解得所以所求方程为1法二：设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)，依题意得解得故所求方程为
7、5x24y21，即1椭圆的定义及其应用探究问题1如何用集合语言描述椭圆的定义？提示PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2|2如何判断椭圆的焦点位置？提示判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”3椭圆标准方程中，a，b，c三个量的关系是什么？提示椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以ab，ac，且a2b2c2(如图所示)【例2】设P是椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若F1PF260，求F1PF2的面积解由椭圆方程知，a225
8、，b2，c2，c，2c5在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即25|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|由椭圆的定义，得10|PF1|PF2|，即100|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|，得3|PF1|PF2|75，所以|PF1|PF2|25，所以SF1PF2|PF1|PF2|sin 601将本例中的“F1PF260”改为“F1PF230”其余条件不变，求F1PF2的面积解由椭圆方程知，a225，b2，c2，c，2c5在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 30，即25|PF1|2|PF
9、2|2|PF1|PF2|由椭圆的定义得10|PF1|PF2|，即100|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|，得(2)|PF1|PF2|75，所以|PF1|PF2|75(2)，所以SF1PF2|PF1|PF2|sin 30(2)2将椭圆的方程改为“1”其余条件不变，求F1PF2的面积解|PF1|PF2|2a20，又|F1F2|2c12由余弦定理知：(2c)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即：144(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|所以|PF1|PF2|，所以SF1PF2|PF1|PF2|sin 60椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若
10、|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解拓展延伸：椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的PF1F2，称为焦点三角形解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解与椭圆有关的轨迹问题【例3】如图，圆C：(x1)2y225及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程解由垂直平分线性质可知|MQ
11、|MA|，|CM|MA|CM|MQ|CQ|CM|MA|5M点的轨迹为椭圆，其中2a5，焦点为C(1,0)，A(1,0)，a，c1，b2a2c21所求轨迹方程为：1求解与椭圆相关的轨迹问题的方法2已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程解如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意动圆M内切于圆C1，|MC1|13r圆M外切于圆C2，|MC2|3r|MC1|MC2|16|C1C2|8，动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a16,2c8，b2a2c2641648，故所求轨迹方程为1(1)平
12、面内到两定点F1、F2的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a(2)求椭圆的方程，可以利用定义求出参数a，b，c其中的两个量；也可以用待定系数法构造三者之间的关系，但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”(3)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，因为它包括焦点在x轴上(mn)或焦点在y轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的1椭圆y21上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A5B6C7 D8D由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10282到两定点F1(2,0)和F2(2,0)的距离
13、之和为4的点的轨迹是()A椭圆 B线段C圆 D以上都不对B|MF1|MF2|F1F2|4，点M的轨迹为线段F1F23椭圆1的焦距为 8由方程得a232，b216，c2a2b216c4,2c84已知椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长是 16由椭圆定义知，|AF1|AF2|BF1|BF2|2a8，又ABF2的周长等于|AB|AF2|BF2|AF1|BF1|AF2|BF2|165设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，求椭圆C的方程是 1|AF1|AF2|2a4得a2，原方程化为1，将A代入方程得b23，椭圆方程为1