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1、历年高考数学真题精选（按考点分类）专题50 随机变量及其分布（学生版）一选择题（共10小题）1（2019浙江）设随机变量的分布列是01则当在内增大时，A增大B减小C先增大后减小D先减小后增大2（2018新课标）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，则A0.7B0.6C0.4D0.33（2017浙江）已知随机变量满足，2若，则A，B，C，D，4（2011辽宁）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件：“取到的2个数之和为偶数”，事件：“取到的2个数均为偶数”，则ABCD5（2010江西）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的
2、硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为和则ABCD以上三种情况都有可能6（2015湖北）设，这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是ABC对任意正数，D对任意正数，7（2015湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为附“若，则A2386B2718C3413D47728（2015山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机抽取一件，其长度误差落在区间内的概率为（附：
3、若随机变量服从正态分布，则，ABCD9（2011湖北）已知随机变量服从正态分布，且，则等于A0.6B0.4C0.3D0.210（2008安徽）设两个正态分布，和，曲线如图所示，则有A，B，C，D，二填空题（共3小题）11（2017新课标）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次表示抽到的二等品件数，则12（2011湖南）如图， 是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”， 表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（1）（A） ；（2） 13（2012新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或
4、元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 三解答题（共10小题）14（2016新课标）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表
5、示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数（）求的分布列；（）若要求，确定的最小值；（）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？15（2014辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（）用表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量的分布列，期望及方差16（2013湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点
6、（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获（单位：与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：123451484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望17（2019天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立（）用表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（）设为事件“上学期
7、间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率18（2019北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：，大于2000仅使用18人9人3人仅使用10人14人1人（）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率；（）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求的分布列和
8、数学期望；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元根据抽查结果，能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由19（2018新课标）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有
9、2件不合格品，以（1）中确定的作为的值已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；（）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？20（2017新课标）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求
10、量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温，天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？21（2016天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率；设为选出的2
11、人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望22（2017新课标）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.
12、9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，2，16用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到附：若随机变量服从正态分布，则，23（2014新课标）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分
13、布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差利用该正态分布，求；某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用的结果，求附：若则，历年高考数学真题精选（按考点分类）专题50 随机变量及其分布（教师版）一选择题（共10小题）1（2019浙江）设随机变量的分布列是01则当在内增大时，A增大B减小C先增大后减小D先减小后增大【答案】D【解析】，先减小后增大2（2018新课标）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，则A0.7B0.6C0.4D0.3【答案】B【解析】某群体中的每位成员使用
14、移动支付的概率都为，看做是独立重复事件，满足，可得，可得即因为，可得，解得或（舍去）3（2017浙江）已知随机变量满足，2若，则A，B，C，D，【答案】A【解析】随机变量满足，2，4（2011辽宁）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件：“取到的2个数之和为偶数”，事件：“取到的2个数均为偶数”，则ABCD【答案】B【解析】事件 “取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：、，（A），事件 “取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有，5（2010江西）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：
15、在5箱中各任意抽查两枚国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为和则ABCD以上三种情况都有可能【答案】B【解析】此方案下，每箱的劣币被选中的概率为，总事件的概率为，作差得，由将和，同时开5次方，通分后比较得出：6（2015湖北）设，这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是ABC对任意正数，D对任意正数，【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于对称，所以，从图中容易得到7（2015湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为附“若，则A2386B2718C3413D4772【答案】C【解析】由题意，落入阴影部分
16、点的个数的估计值为8（2015山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机抽取一件，其长度误差落在区间内的概率为（附：若随机变量服从正态分布，则，ABCD【答案】B【解析】由题意，所以9（2011湖北）已知随机变量服从正态分布，且，则等于A0.6B0.4C0.3D0.2【答案】B【解析】随机变量服从正态分布，得对称轴是，10（2008安徽）设两个正态分布，和，曲线如图所示，则有A，B，C，D，【答案】A【解析】从正态曲线的对称轴的位置看，显然，正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小二填空题（共3小题）11（2017新课标）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机
17、取一件，有放回地抽取100次表示抽到的二等品件数，则【答案】1.96【解析】由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，则12（2011湖南）如图， 是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”， 表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（1）（A）；（2） 【答案】【解析】用表示事件“豆子落在正方形内”， （A），表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”， ，13（2012新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分
18、布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为【答案】【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布，得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常，超过1000小时时，元件3正常 该部件的使用寿命超过1000小时则（A），（B）（C）（A）（B）三解答题（共10小题）14（2016新课标）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集
19、并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数（）求的分布列；（）若要求，确定的最小值；（）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？解：（）由已知得的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，的分布列为： 16 17 18 19 20 21 22 （）由（）知：中，的最小值为19（）由（）得买19个所需费用期望：，买20个所需费用期望：，买19个更合适15（2014辽宁）一家
20、面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（）用表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量的分布列，期望及方差解：（）设表示事件“日销售量不低于100个”， 表示事件“日销售量低于50个”表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此，（B），（）可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：，随机变量的分布列为01230.0640.2880.4
21、320.216因为，所以期望，方差16（2013湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获（单位：与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：123451484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望解：所种作物总株数，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同
22、结果有种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为；先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为的分布列，只需求出，2，3，即可记为其“相近”作物恰有株的作物株数，2，3，则，由得，所求的分布列为 5148 45 42 数学期望为17（2019天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立（）用表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多
23、2”，求事件发生的概率解：甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天之前到校的概率均为，故，从而，1，2，3所以，随机变量的分布列为：0123随机变量的期望设乙同学上学期间的三天中到校的天数为，则，且，由题意知，与，互斥，且与，与相互独立，由知，18（2019北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：，大于2000仅使用18人9人3人仅使用10人14人1人（）从全校学生中随机抽取
24、1人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率；（）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求的分布列和数学期望；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元根据抽查结果，能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由解：（）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，两种支付方式都不使用的有5人，仅使用的有30人，仅使用的有25人，两种支付方式都使用的人数有：，从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率
25、（）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则的可能取值为0，1，2，样本仅使用的学生有30人，其中支付金额在，的有18人，超过1000元的有12人，样本仅使用的学生有25人，其中支付金额在，的有10人，超过1000元的有15人，的分布列为： 0 1 2 数学期望（）不能认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：从样本仅使用的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为故不能认为认
26、为样本仅使用的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化19（2018新课标）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用若不对该箱余下的产品作检验
27、，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；（）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，则，令，得，当时，当时，的最大值点（2）由（1）知，令表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知，即，如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，应该对余下的产品进行检验20（2017新课标）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：有关如果最高气温不低于25，需求
28、量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温，天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？解：（1）由题意知的可能取值为200，300，500，的分布列为： 200 300 500 0.2 0.4 0.4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为50
29、0瓶，至少为200瓶，只需考虑，当时，若最高气温不低于25，则；若最高气温位于区间，则；若最高气温低于20，则，当时，若最高气温不低于20，则，若最高气温低于20，则，时，的数学期望达到最大值，最大值为520元21（2016天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率；设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望解：由已知得：，所以，事件发生的概率为；（）随机变量的所有可能取值为0，1，2；计算，；所以
30、，随机变量的分布列为012随机变量的数学期望为22（2017新课标）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.01
31、9.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，2，16用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到附：若随机变量服从正态分布，则，解：（1）由题可知尺寸落在之内的概率为0.9974，则落在之外的概率为，因为，所以，又因为，所以；（2）（）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小因此一旦发生这种状况，就有理由
32、认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的（）由，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查剔除之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为，因此的估计值为10.02，剔除之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为，因此的估计值为23（2014新课标）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差利用该正态分布，求；某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用的结果，求附：若则，解：（）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：，（）由（）知，从而；由知一件产品的质量指标值位于区间的概率为0.6826，依题意知，所以第33页（共33页）