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1、一题30问：一道2020高考题的多角度命题母题：（2020全国2卷文17）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知问题：（1）求A；（2）若，证明：ABC是直角三角形；（3）若，求，；（4）若，求ABC的面积.；（5）若a23，ABC的面积为3，求ABC的周长；（6）若ABC的面积为5，b=5，求sinBsinC的值；（7）当取得最大值时，试判断ABC的形状；（8）若，且的外接圆半径为1，求的面积；（9）若AB3，AC边上的中线BD的长为13，求ABC的面积；（10）已知a3，求ABC周长的取值范围；（11）已知ABC的面积为33，求ABC周长的取值范围；（12）若，求ABC的周长的
2、最小值；（13）已知 求ABC面积的最大值；（14）若，求的最大值；（15）ABC内切圆面积为，求的最小值；（16）若，为中点，求；（17）若，求面积的最大值；（18）若，求的取值范围；（19）若，且，是上的点，平分，求的面积；（20）设点满足，求线段长度的取值范围；（21）若，求边上中线的长；（22）若c=32，求ab的取值范围；（23）若，根据的取值范围讨论解的个数；（24）若a=3，试判断bc取得最大时ABC的形状；（25）求2cosB+cosC的最大值；（26）若点M为边AC边上一点，且MCMB，ABM=2，求ABC的面积；（27）已知AB3，延长边CA至D，连接BD，使ABD的面积为
3、334，求AB；（28）证明：1a+b+1a+c=3a+b+c；（29）半圆O的半径为1，A为直径延长线上一点，OA2，B为半圆上任意一点，在ABC中AB=AC，设AOB，当=3时，求四边形OACB的面积；（30）半圆O的半径为1，A为直径延长线上一点，OA2，B为半圆上任意一点，在ABC中AB=AC，设AOB，求线段OC长度的最大值，并指出此时的值【答案解析】（1）因为，所以，即，解得，又，所以；（2）因为，所以，即，又， 将代入得，即，而，解得，所以，故，即ABC是直角三角形（3），解得（4）因为，所以，由正弦定理得，所以，所以ABC的面积为.（5）SABC=12bcsinA，12bcsi
4、n3=3，bc4，由已知及余弦定理得：12b2+c22bccosA，12=(b+c)2-2bc-2bccos3，b+c=26，ABC的周长为23+26（6）由Sbcsin Abcbc5，得bc20，又b5，知c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A25162021，故a.从而由正弦定理得sin B sin Csin Asin Asin2A.（7） , ,当时，取得最大值，是直角三角形.（8）设的外接圆半径为，则，由余弦定理得，即，所以.所以的面积为.（9）设AC2x，AB3，AC边上的中线BD的长为13，139+x223xcos60，x4，AC8，ABC的面积S=123832=63（10
5、）已知a3，因为A=3，a=3，由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=23，即ABC的周长l=a+b+c=23sinB+23sinC+3=23sinB+23sin(23-B)+3=33sinB+3cosB+3=6sin(B+6)+3，因为B(0，23)，所以6B+656，12sin(B+6)1，即ABC周长的取值范围是（6，9（11）SABC=33因为A=3，SABC=12bcsinA=34bc=33，得bc12，由余弦定理得a2b2+c2bc（b+c）23bc（b+c）236，即ABC的周长l=a+b+c=(b+c)2-36+b+c，因为b+c2bc=43，当且仅当b=c=23时等
6、号成立，所以l(43)2-36+43=63即ABC周长的取值范围是63，+)（12）由余弦定理（当且仅当时取等号），的周长的最小值为6（13）由（1）知，所以，又，所以，当且仅当时取“=”，所以三角形面积的最大值为.（14）由可得， （其中） 的最大值为.（15）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理，可知由题意，可知的内切圆半径为1，即或（舍）当且仅当b=c时，的最小值为6.（16）由已知得， .（17）.，由，可得：，又由于，当且仅当时等差成立，可得：，当且仅当时等差成立，可得：，当且仅当时等差成立，即面积的最大值（18），所以，所以 因为，时，的取值范围是，（19）在中
7、，可得，即有，可得的面积为（20）， ， ， ，当且仅当时取等号，线段长度的取值范围（21）即而面积，又，则又由余弦定理可得得又 （22）由正弦定理：asinA=bsinB=csinC=1，absinAsinBsinAsin（23-A）=12sinA-32cosAsin（A-3）A（0，23），A-3（-3，3）sin（A-3）sin3=32，sin（A-3）sin（-3）=-32ab的取值范围是（-32，32）（23）在三角形中，解的个数即为三角形解的个数，作边上的高，则当或，即或时，三角形有一解；当，即时，三角形有两解；当时，三角形有无解（24）由余弦定理可得(3)2=b2+c2-2bcc
8、os3=b2+c2-bcb2+c22bc，32bcbc，即bc3，当且仅当b=c=3时，bc取得最大值，此时a=b=c=3，故ABC为等边三角形（25）C=34-B，2cosB+cosC=2cosA+cos（34-B）=2cosB-22cosB+22sinB=22cosB+22sinBsin（B+4）B（0，34），B+4（4，），故当B+4=2时，sin（B+4）取最大值1，即2cosB+cosC的最大值为1（26） 设BMMCm，易知cosBMCcosBMAsinA=-32，在BMC中，由余弦定理可得32m22m2（-32），解得m23（2-3），所以SBMC=12m2sinBMC=123
9、（2-3）12=6-334，在RtABM中，sinA=32，BM1，ABM=2，所以AB=3，所以SABM=1213=32，所以SABCSBMC+SABM=34+32=334（27）ABD的面积为334，12ABADsin（BAC）=33432ADsin23=334AD1；BD2AD2+AB22ADABcosBAD32+12231(-12)=13；BD=13（27） 证明：由（1）利用余弦定理可得：a2b2+c22bccosAb2+c2bc由（2a+b+c）（a+b+c）3（a+b）（a+c）2a2+3ab+3ac+b2+c2+2bc3（a2+ab+ac+bc）b2+c2a2bc0，2a+b+
10、c(a+b)(a+c)=3a+b+c1a+b+1a+c=3a+b+c（29）在OAB中，由余弦定理得AB21+4212cos3=3，AB=3，SABC=123332=334，SAOB=121232=32，四边形OACB的面积为334+32=534（30）由余弦定理得AB21+4212cos54cos，AB=5-4cos，AC=5-4cos，由正弦定理得ABsin=OBsinOAB，即sinOAB=OBsinAB=sin5-4cos，cosOAB=2-cos5-4cos，cosOACcos（OAB+3）=2-cos25-4cos-3sin25-4cos，由余弦定理得：OC24+54cos225-4cos（2-cos25-4cos-3sin25-4cos）5+23sin2cos5+4sin（-6）（0，），当=23时，OC最大，OC的最大值为3