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1、高一升高二数学培优教材第一讲 函数的性质基本性质：1.函数图像的对称性奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意，都有成立；偶函数的图像关于轴对称，对于任意，都有成立。原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线对称。 若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线对称。若函数满足，则的图像就关于直线对称；若函数满足，则的图像就关于点对称。互对称知识：函数的图像关于直线对称。2函数的单调性 函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性） 特别提示：函数的图像和单调区间。3
2、函数的周期性 对于函数，若存在一个非零常数，使得当为定义域中的每一个值时，都有成立，则称是周期函数，称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。若是的周期，那么也是它的周期。若是周期为的函数，则是周期为的周期函数。若函数的图像关于直线对称，则是周期为的函数。若函数满足，则是周期为的函数。4高斯函数对于任意实数，我们记不超过的最大整数为，通常称函数为取整函数。又称高斯函数。又记，则函数称为小数部分函数，它表示的是的小数部分。高斯函数的常用性质：对任意 （2） 对任意，函数的值域为（3） 高斯函数是一个不减函数，即对于任意（4） 若，后一个式子表明是周期为1的函数
3、。（5） 若 （6） 若二、综合应用例1：设是R上的奇函数，求的值。例2：解方程： 例3：已知定义在R上的函数满足，当，；求证：为奇函数； （2）求在上的最值；例4：给定实数，定义为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的序号是 （ ）强化训练：已知，求满足的的值。高一升高二数学培优教材第二讲 二次函数基础知识：1.二次函数的解析式（1）一般式：（2）顶点式：，顶点为（3）两根式：（4）三点式：2二次函数的图像和性质（1）的图像是一条抛物线，顶点坐标是，对称轴方程为，开口与有关。（2）单调性：当时，在上为减函数，在上为增函数；时相反。（3）奇偶性：当时，为偶函数；若对恒成立，则为的对称轴。（4
4、）最值：当时，的最值为，当时，的最值可从中选取；当时，的最值可从中选取。常依轴与区间的位置分类讨论。3三个二次之间的关联及根的分布理论：二次方程的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。综合应用：例1：已知二次函数的图像经过三点，求的解析式。例2：已知，若时，恒成立，求的取值范围。例3：已知函数，方程的两根是，又若试比较的大小。强化训练：二次函数满足，且又两个实根，则等于（ ）A . 0 B 3 C. 6 D. 122已知，并且是方程的两根，则实数的大小关系可能是（ ） 3已知函数上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ）4设函数，若则的
5、值的符号是_5已知的值域是R，则实数的取值范围是_6若函数在区间上的最大值为，最小值为，求区间。7是否存在二次函数，同时满足： （1）； （2）对于一切都有？若存在，写出满足条件的函数的解析式；若不存在，说明理由。高一升高二数学培优教材第三讲 三角恒等变换基础知识：三角的恒等变化：要注意公式间的内在联系和特点，审题时要善于观察差异，寻找联系，实现转化；要熟悉公式的正用和、逆用和变形应用。化简三角函数式可以采用“切化弦”来减少函数种类，采用“配方法”和“降次公式”来逐步降低各项次数，并设法去分母、去根号、利用特殊值来向目标靠拢。 常见的变形公式： 通过对角的变换推出万能公式和半角公式以及和差与积
6、的互化公式。如常见的角的拆并有等综合应用：例1：已知角的终边上一点，则的弧度数为_ 函数的最大值是_强化练习：1.若角满足条件，则在（ ）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限2.以下命题正确的是( )（A）都是第一象限角，若，则 （B）都是第二象限角，若，则 （C）都是第三象限角，若，则 （D）都是第四象限角，若，则3.若，则等于( ) （A） （B） （C） （D）4.在（0，）内，使成立的的取值范围是( ) （A）（，） （B）（，） （C）（，） （D）（，）5.已知点P(，tan)在第一象限，则在0，2)内的取值范围是_6.已知，求的值。7.已知cos(-)=,sin
7、(-)= ,0,求cos(+)之值.8.求值：高一升高二数学培优教材第四讲 三角函数基础知识：函数的对称轴方程为，对称中心坐标是；的对称轴方程为，对称中心坐标是的对称中心坐标是，它不是轴对称图形。求三角函数最值的常用方法：通过适当的三角变换，把所求的三角式化为的形式，再利用正弦函数的有界性求其最值。把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题。对于某些分式型的含三角函数的式子的最值问题（如）可利用正弦函数的有界性来求。利用函数的单调性求。综合应用：1.已知函数是以5为最小正周期的奇函数，且，则对锐角，当时，_2.已知则的最大值是_3函数取最小值的的集合为_4.函数的最大值和最小值的和为_.
8、5.函数的最大值为_6.函数有最大值2，最小值，求的最小正周期。7.已知函数的定义域是，值域是，求的值。8.已知函数的图象关于直线对称，求的值。9.已知是常数，且的最小正周期为2，并且当时，取最大值为2。 （1）求表达式； （2）在区间上是否存在的图象的对称轴？若存在，求出其方程；若不存在，说明理由。xyo-110已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时，函数，其图象如图所示.（1）求函数在的表达式；（2）求方程的解.强化训练：1设函数（为实常数）在区间上的最小值是,则的值是（ ） 2的图像中一条对称轴方程是（ ）3使函数是奇函数，且在上是减函数的的一个值是_4已知函数的最大值为，其最小
9、正周期为。（）求实数a与的值。（）写出曲线的对称轴方程及其对称中心的坐标。高一升高二数学培优教材第五讲 平面向量（1）基础知识：1向量的运算： 加法：设则 减法：设则 实数与向量的积： 向量与的关系； 设则 向量的数量积： 是与的夹角）； 设则2向量的关系： 不等关系： （注意等号的条件） 设 则 3平面向量的基本定理：如果是同一平面内的不共线向量，那么对于这个平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。 相关结论：如果是同一平面内的不共线向量，且，则 点O、A、B、C在同一平面内，A、B、C共线的充要条件是：4常用公式： 中，M为BC边的中点，G为重心， 则综合应用：例1：已知O为内一点，设且，
10、试用表示。例2：（1）已知三个顶点A、B、C及平面内一点P，若，则点P在（ ）A 内部 B 外部 C 在直线AB上 D 在直线AC上（2）O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过ABC的（ ）A外心B内心C重心D垂心（3）在四边形ABCD中，设，若，则该四边形一定是（ ） A 矩形 B 正方形 C 菱形 D等腰梯形强化训练：已知，当为何值时：（1）与平行？平行时是否同向？（2）与垂直？2如图，在平行四边形ABCD中,设以为基底表示3如图，在平面斜坐标系，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴y轴同方向的单位向量，则p点斜
11、坐标为.若p点斜坐标为（2，2），求p到O的距离|PO|；4已知向量的对应关系用表示。（1）证明：对任意向量及常数，恒有成立； （2）设，求向量的 坐标。（3）求使为常数)的向量的坐标。高一升高二数学培优教材第六讲 平面向量（2）例1：已知向量，且与之间有关系式：，其中k0 （1）证明： ；（2）试用k表示 例2：已知平面上的三个向量的模均为，它们相互之间的夹角都是，求证：例3：已知向量，存在实数，使得向量且，（1）试将表示为得函数；（2）求得最小值。例4已知向量 （1）向量是否共线？（2）求函数的最大值。强化训练：1已知满足，则的形状是（ ）A 等边三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形2如果向量与 的夹角为，那么我们称为向量与的“向量积”，是一个向量，它的长度，如果，则_3设向量 _4已知向量，向量与的夹角为，且，则=_5已知，是否存在实数，使与的夹角为锐角？说明你的理由。6 已知向量. （1）求的值； （2）若的值7 已知向量.（1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调减区间；（3）画出函数的图象，由图象研究并写出的对称轴和对称中心