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1、专题强化训练(二十四)一、选择题1(2020郑州一中摸底测试)现有一个不透明的口袋中装有标号分别为1,2,2,3的四个小球，它们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为()AB CD解析随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球的所有情况共有4416(种)，其中号码相同的情况共有6种，则号码不同的概率为P1，故选D答案D2(2020河南濮阳二模)如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为()AB CD解析灯泡不亮包括两种情况：四个开关都开，下边的2个都开，上边的2个中有
2、一个开，灯泡不亮的概率是，灯亮和灯不亮是两个对立事件，灯亮的概率是1，故选C答案C3.(2020河北唐山二模)割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现，如图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法在ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为()AB CD解析根据题意可得标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，故该点落在标记“盈”的区域的概率为，故选A答案A4(2020长春一模)某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则在数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，
3、化学排第四节的概率是()AB CD解析设事件A：数学不排第一节，物理不排最后一节设事件B：化学排第四节P(A)，P(AB)，故满足条件的概率是.故选C答案C5(2020河北九校第二次联考)某个活动的主办方安排了分别标有“1号”“2号”“3号”的三辆车，已知主办方会等可能随机安排车辆前往酒店接嘉宾某嘉宾突发奇想，给自己设计了两种乘车方案方案一，不乘坐第一辆车，若第二辆车上标的号大于第一辆车上标的号，就乘坐第二辆车，否则乘坐第三辆车；方案二，直接乘坐第一辆车记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则()AP1P2BP1P2CP1P2DP1P2解析三辆车的出发顺序共有6种可能：(1,2
4、,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)若该嘉宾按方案一乘车，坐到“3号”车的可能情况有(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，共3种，所以该嘉宾坐到“3号”车的概率P1；若该嘉宾按方案二乘车，坐到“3号”车的可能情况有(3,1,2)，(3,2,1)，共2种，所以该嘉宾坐到“3号”车的概率P2.所以P1P2，故选D答案D6(2020重庆一中一模)将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少有一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是()AB CD解析根据题意，将4个不同的小球装入4个不同的盒子的放法为44256.若没有空盒，有A24(
5、种)放法，有1个空盒的放法有CCA144(种)，有3个空盒的放法有C4种，则至少有一个盒子为空的放法有25624232(种)，故“至少有一个盒子为空”的概率P1，恰好有两个盒子为空的放法有25624144484(种)，故“恰好有两个盒子为空”的概率P2，则在至少有一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率P.故选A答案A二、填空题7(2020广东深圳二模)在区间上随机取一个数x，则cosx的值介于与之间的概率为_解析区间的长度为1，满足cosx的值介于与之间的x，区间长度为，由几何概型概率公式得P.答案8(2020洛阳模拟)有4位游客来某地旅游，若每人只能从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择
6、一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为_解析解法一：由题意知，4位游客各从甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览的选法有3481(种)第一步：从三个不同景点中选出一个景点有2位游客去游览的选法有C种第二步：从4位游客中选2位到第一步选出的景点去游览有C种方法第三步：余下2位游客到余下的两个景点的分法有A种所以每个景点都有人去游览的方法有CCA36(种)，于是所求概率为P.解法二：由题意知，4位游客各从甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览的选法有3481(种)将4位游客分为3组的分法有C种，然后将这3组游客分到甲、乙、丙三个不同景点，其分法有A种，由分步乘法计数原理知，每个景点都有人去游览的方法
7、有CA36(种)于是所求概率为P.答案9(2020广西桂林一调)哥尼斯堡“七桥问题”是一个著名的数学问题，它描述的是：在哥尼斯堡内，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图1)问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？瑞士数学家欧拉于1736年解答了此问题，他把该问题归结为如图2所示的“一笔画”问题，并证明了上述走法是不可能的假设在图2所示七条线中随机选取两条不同的线，则这两条线都与A直接相连的概率为_解析在题图2中共有7条线，其中与A直接相连的有5条，所以，所求概率P.答案三、解答题10(2020河北冀州高三期末)有编号为1,2,3，n的n个学生，入座编
8、号为1,2,3，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X2时，共有6种坐法(1)求n的值；(2)求随机变量X的概率分布列及数学期望E(X)解(1)因为当X2时，有C种方法，因为C6，即6，也即n2n120，解得n4或n3(舍去)，所以n4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意可知X的可能取值是0,2,3,4，所以P(X0)，P(X2)，P(X3)，P(X4)1，所以X的概率分布列为X0234P所以数学期望E(X)02343.11(2020河南八市联考)有一名高中学生盼望2020年进入某大学学习，假设具备以下条件之
9、一均可被该大学录取：2020年年初通过M考试进入国家数学奥赛集训队(M考试资格需要通过参加N比赛获得)；2020年3月参加自主招生考试，考试通过，参加2020年6月高考且高考分数达到本科一批分数线；2020年6月参加高考且分数达到该校录取分数线(该校录取分数线高于本科一批分数线)已知该学生具备参加N比赛、自主招生考试和高考的资格，且该学生估计自己通过各种考试的概率如下表：若该学生获得M考试资格，则该学生估计自己进入国家数学奥赛集训队的概率是0.2，若进入国家数学奥赛集训队，则提前录取，若未被录取，则按的顺序依次尝试若该学生因具备某一条件被录取后，不再考虑是否具备后面的条件(1)求该学生参加自主
10、招生考试的概率；(2)求该学生参加考试的次数X的分布列及数学期望；(3)求该学生被该校录取的概率解(1)设该学生获得M考试资格为事件A，该学生获得M考试资格后，进入国家数学奥赛集训队为事件B，则P(A)0.5，P(B)0.2，该学生参加自主招生考试的概率P1P()P(A)10.50.5(10.2)0.9.(2)该学生参加考试的次数X的所有可能取值为2,3,4，P(X2)P(A)P(B)0.50.20.1，P(X3)P()10.50.5，P(X4)P(A)P()0.50.80.4.所以X的分布列为X234P0.10.50.4E(X)20.130.540.43.3.(3)设该学生通过自主招生考试并
11、且高考分数达到本科一批分数线被录取、未通过自主招生考试但高考分数达到该校的录取分数线被录取分别为事件C、事件D则P(AB)0.1，P(C)(10.1)0.60.90.486，P(D)(10.1)(10.6)0.70.252，所以该学生被该校录取的概率P2P(AB)P(C)P(D)0.838.12(2020河南洛阳一模)为响应绿色出行，某市在推出共享单车后，又推出新能源分时租赁汽车其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：根据行驶里程数按1元/公里计费；行驶时间不超过40分钟时按0.12元/分计费，超过40分钟时，超出部分按0.20元/分计费已知张先生家离上班地点15公里，每天
12、租用该款汽车上、下班各一次由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(单位：分)是一个随机变量现统计了张先生50次路上开车花费的时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示.时间t/分(20,30(30,40(40,50(50,60频数2182010将频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(20,60分(1)写出张先生一次租车费用y(单位：元)与用车时间t(单位：分)的函数关系式；(2)若张先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望；(3)若公司每月给1000元的交通补助，请估计张先生每月(按22天计
13、算)的交通补助是否足够让张先生上、下班租用新能源分时租赁汽车，并说明理由(同一时段的时间用该区间的中点值代表)解(1)当20t40时，y0.12t15；当40t60时，y0.12400.20(t40)150.2t11.8.故y(2)张先生租用一次新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的概率P.解法一：可取0,1,2,3.P(0)C03，P(1)C12，P(2)C21，P(3)C30，的分布列为0123PE()01231.2.解法二：易知B，所以E()31.2.(3)张先生每月的交通补助足够让他上、下班租用新能源分时租赁汽车理由如下解法一：张先生租用一次新能源分时租赁汽车的平均用车时间t2535455542.6(分)，每次租用新能源分时租赁汽车的平均费用为0.242.611.820.32(元)，张先生一个月上、下班租车费用约为20.32222894.08(元)，因为894.081000，故张先生每月的交通补助足够让他上、下班租用新能源分时租赁汽车解法二：张先生租用一次新能源分时租赁汽车的平均租车费用为(150.1225)(150.1235)(11.80.245)(11.80.255)20.512(元)，张先生一个月上、下班租车费用约为20.512222902.528(元)，因为902.5281000，故张先生每月的交通补助足够让他上、下班租用新能源分时租赁汽车