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1、专题强化训练(十三)一、选择题1(2020江西红色七校第一次联考)已知等差数列an的前n项和Sn满足S8S345，则a6的值是()A3 B5 C7 D9解析解法一：设等差数列an的公差为d，则S8S38a1d5a125d45，即a15d9，即a69，故选D.解法二：因为S8S3a4a5a6a7a85a645，所以a69，故选D.答案D2(2020广东珠海模拟)已知等比数列an的前n项和Sn，且S415，a2a410，则a2()A1 B2C2 D1解析设等比数列an的公比为q(q0)解得a11，q2，a2122.故选C.答案C3(2020大同高三调研)若等差数列an的前n项和Sn有最大值，且1，
2、则Sn取正值时项数n的最大值为()A15 B17C19 D21解析由等差数列an的前n项和Sn有最大值，且1，可知等差数列an的公差d0，a110，且a11a10，则a10a110，得2a10a1a190，所以S190，由a10a110，得a1a20a10a110，所以S200，则a2a30B若a1a30，则a1a20C若0a1D若a10解析若an是递减的等差数列，则选项A，B都不一定正确若an为公差为0的等差数列，则选项D不正确对于C选项，由0a1，选项C正确故选C.答案C5(2020江苏徐州期中)在公比q为整数的等比数列an中，Sn是数列an的前n项和若a1a432，a2a312，则下列说
3、法错误的是()Aq2B数列Sn2是等比数列CS8510D数列log2an是公差为2的等差数列解析因为数列an为等比数列，又a1a432，所以a2a332，又a2a312，所以或又公比q为整数，则即an2n，Sn2n12.对于选项A，由上可得q2，即选项A正确；对于选项B，Sn22n1，2，则数列Sn2是等比数列，即选项B正确；对于选项C，S8292510，即选项C正确；对于选项D，log2an1log2an(n1)n1，即数列log2an是公差为1的等差数列，即选项D错误答案D6(2020郑州二中期末)已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a11，Sn是数列an的前n项
4、的和，则(nN*)的最小值为()A4 B3C22 D.解析a11，a1、a3、a13成等比数列，(12d)2112d.得d2或d0(舍去)an2n1，Snn2，.令tn1，则t2624当且仅当t3，即n2时等号成立，的最小值为4.故选A.答案A二、填空题7(2020福建四地六校联考)已知等差数列an中，a3，则cos(a1a2a6)_.解析在等差数列an中，a1a2a6a2a3a43a3，cos(a1a2a6)cos.答案8(2020浙江嘉兴教学测试)已知an是公差为2的等差数列，Sn为其前n项和若a21，a51，a71成等比数列，则a1_，当n_时，Sn取得最大值解析因为a21，a51，a7
5、1成等比数列，所以(a51)2(a21)(a71)又an是公差为2的等差数列，所以(a181)2(a121)(a1121)，即(a17)2(a11)(a111)，解得a119，所以Sn19nn(n1)n220n(n10)2100.因此，当n10时，Sn取得最大值答案19109(2020哈尔滨模拟)已知数列an的前n项和为Sn，S16，S24，Sn0，且S2n，S2n1，S2n2成等比数列，S2n1，S2n2，S2n1成等差数列，则a2020_.解析由题意得Sn0，2S2n2，即2(nN*)，故是等差数列又由S16，S24，得S49，是首项为2，公差为1的等差数列n1，即S2n(n1)2，故S2
6、n1(n1)(n2)，故S202010112，S201910111012，故a2020S2020S20191011.答案1011三、解答题10(2020成都测试)已知等差数列an前三项的和为9，前三项的积为15.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若an为递增数列，求数列|an|的前n项和Sn.解(1)设数列an的公差为d，则依题意得a23，则a13d，a33d，(3d)(3)(3d)15，解得d24，d2，等差数列an的通项公式为an2n1或an2n7.(2)由题意及(1)得an2n7，|an|当n3时，Sn(a1a2an)n6nn2；当n4时，Sna1a2a3a4an2(a1a2a3)(
7、a1a2an)186nn2.综上，数列|an|的前n项和Sn11(2020广西南宁调研)已知正项数列an的前n项和为Sn，a11，SaSn1，其中为常数(1)证明：Sn12Sn；(2)是否存在实数，使得数列an为等比数列？若存在，求出；若不存在，请说明理由解(1)证明：an1Sn1Sn，SaSn1，S(Sn1Sn)2Sn1，Sn1(Sn12Sn)0.an0，Sn10，Sn12Sn0，Sn12Sn.(2)Sn12Sn，Sn2Sn1(n2)，两式相减，得an12an(n2)S22S1，即a2a12a1，a21，由a20，得1.若an是等比数列，则a1a3a，即2(1)(1)2，得1.经检验，1符合
8、题意故存在1，使得数列an为等比数列12(2020合肥质检)已知等差数列an的前n项和为Sn，a21，S714，数列bn满足b1b2b3bn2.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)若数列cn满足cnbncos(an)，求数列cn的前2n项和T2n.解(1)设等差数列an的公差为d，由a21，S714，得解得a1，d，an.b1b2b3bn22，b1b2b3bn12(n2)，两式相除得bn2n(n2)又当n1时，b12也适合上式，bn2n.(2)cnbncos(an)2ncos，T2n2cos22cos23cos24cos(2)22n1cos22ncos(n)22cos24cos(2)26cos(3)22ncos(n)222426(1)n22n.