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1、 2021届山西省怀仁市高三上学期期中数学（文）试题一、单选题1设，集合，则等于（ ）AB1CD2【答案】D【分析】根据集合相等，得到集合中的元素相同，依次得到的值.【详解】两个集合相等，则集合中的元素相同， ，所以，则，那么，和，所以.故选：D2集合，则AB=（ ）A0，2B(1，2C1，2D(1，+)【答案】B【分析】根据集合内元素的描述，确定元素的范围，然后求两个集合的交集.【详解】故选：B.3已知，则的值为( )ABCD【答案】B【分析】由三角函数的基本关系式，求得，进而求得，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，故选B.【点睛】本题
2、主要考查了三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，合理应用三角函数的符号、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01ABCD【答案】B【分析】由表中的数据分析得出，自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的图象与性质，利用排除法即可得出正确的答案【详解】由题中表格可知函数在上是增函数，且y的变化随x的增大而增大
3、得越来越快，分析选项可知B符合，故选B【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用问题，解题时应掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图象与性质，是基础题5设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】先作出函数的图象，如图，不妨设，则关于直线对称，得到，且；最后结合求得的取值范围即可.【详解】解：函数的图象，如图，若互不相等的实数，满足等价于平行于轴的直线与函数的图像有三个不同的交点，且交点的横坐标分别为，不妨设，则关于直线对称，故，且满足；则的取值范围是：；即.故选：A.【点睛】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的
4、应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.6函数向右平移个单位后得到函数，若在上单调递增，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】首先求函数，再求函数的单调递增区间，区间是函数单调递增区间的子集，建立不等关系求的取值范围.【详解】,令 解得 ， 若在上单调递增， ,解得： 时，.故选D.【点睛】本题考查了三角函数的性质和平移变换，属于中档题型.7在中，则的形状是 ( )A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形【答案】D【分析】由余弦定理可知，与已知条件相加，得到的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到，从而得
5、到的大小，判断出的形状，得到答案.【详解】由余弦定理可知，两式相加，得到所以，当且仅当时，等号成立，而所以，因为，所以所以，即，又，所以是等边三角形，故选D项.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.8若函数，且，则（ ）A0BC12D18【答案】D【分析】由可知关于轴对称，可求出，即可求出函数值.【详解】由，可知函数的图象关于轴对称，则，得，故，.故选：D.【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想.9曲线在处的切线与曲线相切，则（ ）A4B3C2D1【答案】B【分析】先求出切线方程是，再求切线在曲线的切点为 ，最后求出即可
6、.【详解】解：因为曲线，所以，所以曲线在处的切线方程是，因为曲线，所以，令，解得：，将代入得：，所以切线在曲线的切点为 将代入得.故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题.10已知在单调递减，则的取值范围为（ ）AB（-3,3）CD(-5,5)【答案】C【分析】依题意得，时，恒成立，得到，解之即可【详解】解：，要使函数在单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，则：，即：，解得：则的取值范围为：.故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题意得到是关键，考查化归思想与运算能力，属于中档题11已知函数，其中为函数的导数，则（ ）ABCD【答案】B【分析】将函数
7、解析式变形为，求得，进而可求得所求代数式的值.【详解】，所以，函数的定义域为，所以，函数为偶函数，因此，.故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；（2）可导的偶函数的导函数为奇函数.在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.12关于函数有下述四个结论：的周期为；在上单调递增；函数在上有3个零点；函数的最小值为.其中所有正确结论的编号为（ ）ABCD【答案】A【分析】作出函数的图像,根据图像逐一判断四个结论即可.【详解】因为为偶函数，所以，故，作出函数图像如下：，故对；：由图可知，内为减函数，故错；
8、：的零点个数等价于与的图像交点个数，在内两个交点，故有2个零点，错；：当时，的最小值为.故对；故选：A.【点睛】涉及三角函数性质的题目，作出图像，由图像直观的找到性质.二、填空题13已知集合，则_.【答案】【分析】根据对数不等式以及分式不等式的解法求解出对应解集即为集合，然后由交集运算计算出的结果.【详解】因为，所以，所以，又因为，所以，所以，则.故答案为.【点睛】（1）解分式不等式注意将其先转变为整式不等式的形式，然后再求解集；（2）解对数不等式时要注意到对数的真数大于零这一隐含条件.14已知函数的值域为，则实数的取值范围是_【答案】【分析】根据的值域为，可知需在单调递增且即可.【详解】由题
9、意知的值域为，故要使的值域为，则必有为增函数，且，所以，且，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围，属于中档题.15设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为_【答案】【分析】根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值.【详解】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，取最小值为.【点睛】函数的性质（1）.（2）周期（3）由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，（4）由求增区间；由求减区间.16已知数列中，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】，（，），当时，并项
10、相加，得：，又当时，也满足上式，数列的通项公式为，令（），则，当时，恒成立，在上是增函数，故当时，即当时， ，对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，实数的取值范围为，故答案为.点睛：本题考查数列的通项及前项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当时，进而可得数列的通项公式，裂项、并项相加可知，通过求导可知是增函数，进而问题转化为，由恒成立思想，即可得结论.三、解答题17在，三角形的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的周长；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是
11、否存在，它的内角，的对边分别为，且，_？【答案】选条件：存在，；选条件：存在，；选条件：不存在，答案见解析.【分析】方案一：选条件：先求出以及，再求出以及，最后求出，以及的周长；方案二：选条件：先求出以及，再求出以及，最后求出，以及的周长；方案三：选条件：先求出以及，再判断，最后判断三角形不存在.【详解】解：方案一：选条件因为，所以，即，整理得.因为，所以，解得.又因为，所以，即，所以，则，得，所以的周长为. 方案二：选条件因为，所以，即，因为，所以.又因为，所以，即，所以，则，得，所以的周长为.方案三：选条件，则，得，因为，所以.又因为，则问题中的三角形不存在.【点睛】本题考查三角形的面积公
12、式、正弦定理、三角形是否存在的判断，是基础题.18已知是等差数列，且.若.（1）求数列通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先根据题意得到，再解方程组即可.（2）首先根据题意得到，再利用裂项法求和即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得.因此，数列的通项公式为；（2）由（1）得.因此，.19已知函数.（1）求函数的最小正周期，以及在上的单调性；（2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，且恰是函数在上的最大值，求A和b.【答案】（1）最小正周期为，在上单调递增，在上单调递减；（2），或.【分析】首先利用降幂公式和辅助角
13、公式化简函数，再利用整体代入求函数的单调区间；（2）根据恰是函数在上的最大值，求角，再根据余弦定理求边.【详解】（1）由题意可得，的最小正周期为.时，当，即当时函数单调递增，当，即，即当时，函数单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，又恰是函数在上的最大值，A为锐角，故，由余弦定理可得：.解得：或.【点睛】本题考查三角函数恒等变形与三角函数性质，解三角形的简单综合应用，一般求函数，的单调区间，即让落在的增减区间，求解即可，若求某区间函数的单调性，根据函数的定义域，先求的范围，再让属于函数的增减区间，求的范围.20某校在圆心角为直角，半径为的扇形区域内进行野外生存训练.如图所
14、示，在相距的、两个位置分别为、名学生，在道路上设置集合地点，要求所有学生沿最短路径到点集合，记所有学生进行的总路程为.（1）设，写出关于的函数表达式；（2）当最小时，集合地点离点多远？并求总路程的最小值？【答案】（1），；（2）集合点离出发点的距离为时，总路程最短，其最短总路程为.【分析】（1）求得，利用正弦定理求出、关于的表达式，由此可得出，化简可得出关于的表达式，结合实际可求得的取值范围；（2）设，利用导数求出函数的最小值，进而可求得的最小值，即可得解.【详解】（1）因为在中，所以由正弦定理可知，解得，且，故，；（2）令，则有，令得，记，列表得：极小值由上可知，当时，函数取得极小值，亦即最
15、小值，此时，所以，.当时，此时总路程有最小值.答：当集合点离出发点的距离为时，总路程最短，其最短总路程为.【点睛】思路点睛：利用导数解决生活中的优化问题的基本步骤如下：（1）分析题中的数量关系，建立函数模型，并求解函数模型的解析式；（2）利用导数求解函数的最值；（3）将数学结果还原为实际结论.21对于定义域为的函数，部分与的对应关系如表：（1）求；（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，求；（3）若，其中，求此函数的解析式.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用表格中的数据由内到外可计算得出的值；（2）推导出数列的周期为，计算出的值，进而可计算得出所求代数式的值；（3）由可推
16、导出，结合可求得，再由可求得、的值，由此可解得函数的解析式.【详解】（1）由表中数据可得；（2），由于，则，所以，依次递推可得数列的周期为，又，所以；（3）由题意得，由，得，即，又，则，从而，而，所以，故，消，得，所以，解得，又，所以，所以.【点睛】关键点点睛：解本题第（2）问题的关键在于推导出数列的周期，并结合数列的周期性来求值；解本题第（3）问关键在于从为突破口，结合两角和与差的正弦公式求得的值，再利用其它的函数值建立方程组求解其余的参数.22已知函数（）讨论的单调性（）若，求的取值范围【答案】(1) 当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】试题分析：（1）对
17、函数求导，再根据分类讨论，即可求出的单调性；（2）将化简得，再根据定义域，对分类讨论，时，满足题意，时，构造，求出的单调性，可得的最大值，即可求出的取值范围.试题解析：（1），当时，所以在上递增，当 时，令，得，令，得；令，得，所以在上递增，在上递减.（2）由，得，因为，所以，当时，满足题意，当时，设，所以在上递增，所以，不合题意，当时，令，得，令，得，所以，则，综上，的取值范围是.点睛：本题考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.