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1、第一章 空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算教学设计一、 教学目标1.了解空间向量的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差,了解向量加法的交换律和结合律.3能够利用概率的性质求较复杂事件的概率.4. 了解共线向量、共面向量的意义,掌握其表示方法,理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论.二、教学重难点1. 教学重点空间向量的线性运算和运算律,共线向量定理和共面向量定理.2. 教学难点向量数量积的几何意义.三、教学过程(一)探索新知探究一:空间向量的概念空间向量及空间向量的模:空间中具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.空间
2、向量的表示:用字母a,b,c,表示,或用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模,a的起点是A,终点是B,则a也可记作,其模记为或.零向量:规定长度为0的向量叫零向量,记为0.单位向量:模为1的向量叫单位向量.相反向量:与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量,记为-a.共线向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有.相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.探究二:空间向量的运算律空间向量的加法、减法及数乘运算:(1);(2);(
3、3)当时,;当时,;当时,.空间向量线性运算的运算律: 交换律:;结合律:,;分配律:,.(其中,)探究三:共线向量和共面向量共线向量:对任意两个空间向量a,b(),的充要条件是存在实数,使.直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数,使得.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.共面向量:如图,如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合,那么称向量a平行于直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内,那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.如果两个向量a,
4、b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使.(二)课堂练习1.下列关于空间向量的命题中,正确命题的个数是( )任一向量与它的相反向量都不相等;长度相等、方向相同的两个向量是相等向量;平行且模相等的两个向量是相等向量;若,则;两个向量相等,则它们的起点与终点相同.A.0B.1C.2D.3答案:B解析:零向量与它的相反向量相等,错;由相等向量的定义知,正确;两个向量平行且模相等,方向不一定相同,故不一定是相等向量,错;,可能两个向量模相等而方向不同,错;两个向量相等,是指它们方向相同,大小相等,向量可以在空间自由移动,故起点和终点不一定相同,错.故选B.2.在空间四边
5、形ABCD中,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边上的中点,则下列各式中成立的是( )A.B.C.D.答案:B解析:,易证四边形EFGH为平行四边形,故,故选B.3.已知空间向量a,b,且,则一定共线的三点是( )A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D答案:A解析:,A,B,D三点共线,故选A.4.在棱长为2的正四面体ABCD中,点M满足,点N满足,当AM、BN最短时,( )A.B.C.D.答案:A解析:由共面向量定理和共线向量定理可知,平面BCD,直线AC,当AM、BN最短时,平面BCD,所以M为的中心,N为AC的中点,此时,平面BCD,平面BCD,.又,.故选A.(三)小结作业小结:本节课我们主要学习了哪些内容?1. 空间向量的概念;2. 空间向量的运算律;3. 共线向量和共面向量.四、板书设计1.1.1空间向量及其线性运算1. 空间向量的概念;2. 空间向量的运算律;3. 共线向量和共面向量.