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1、 2020 高三一模二模 三角向量复数小册子 文博数学文博数学 思辨思辨数学数学 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 1 页，共 71 页 争第一争第一 写在前面的话“把应该弄懂的内容记在笔记本而不是记在脑子里；一时弄清楚就以为以后也都会了；把别人的思路、方法直接拿来就以为是自己的了；学会了一点点散乱的知识点就以为可以打遍天下无敌手了”根本不是，真正的学习应该是把所学知识的概括化、结构化、程序化规律化，是从散乱到有序从具象到抽象从低效到高效的过程，学到的方法应该用到具体的情境里，通过运用体现出来，才算是掌握了。学习应该是有意识的去尝试去修正，而不是“顺其自然”。思考力：看到什么，想到什
2、么，做了什么。博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 2 页，共 71 页 争第一争第一 原来那些年，我一直都在“假学习”记得老师们常说，高考，就是一场耐力跑，谁能坚持到最后，谁就是赢家！当时的我，受到了这句话的感染，一直都努力着，不敢有所懈怠。然而，自以为很努力的我，在高考失利后，才清楚地反省到自己原来，那个一直很认真在学习的我，是在“假学习”。我是一名刚高考完的广东毕业生。在老师们，同学们的眼里，我是一名学习非常认真，勤奋好学的学生，当时的我，成绩也算过得去，由于我被大家贴上了全班最勤奋学习的标签，大家对我的高考成绩都寄予了很高的期望，可到最后，我连本科线都没上。最终的我，被一所普通的
3、大专录取了。我记得高考成绩放榜那天，老师微信私聊我，问我的高考成绩，我惭愧地告诉了她，我考了 375 分，没上本科线。当时，老师就立马发了一个摸摸头的表情包安慰我，还补上了一句话，至今让我难忘。她说:“我觉得全班同学之中，最可惜的人就是你了，付出了那么多努力却没有得到相应回报。”顿时，我的泪水猛的涌上眼眶，流经我的脸，并从我的下巴滴落到手机屏幕上。我不知道此时此刻，我该说些什么，我只回复了她一个委屈的表情。接着，她对我说了很多安慰我的话。至于其他同学，家人问我成绩的时候，我都不敢直面的告诉他们，因为我让他们所有人都失望了。当我的爸妈知道我的高考成绩之后，我观察到他们心里很不是滋味，甚至比我还要
4、难过，因为看到我在家都很努力学习，所以他们也就一直都认为我是一个能考上好本科的人。我之所以不选择复读，是因为我懦弱，害怕自己会再一次让所有看好我的人失望。害怕自己会考得更差，我便屈服于读大专的现实。尽管我内心有些不甘，但是经过一段时间的反省，我发现了很多问题，也总结了不少。于是，我写这篇文章的目的，就是想告诉师弟师妹们，在你们认为自己很努力学习的时候，千万不要忘了看看自己是否在“假学习”，我想通过分享我个人的经历给大家，让大家多留意自己的学习情况，不要将来像我一样后悔。首先，何为“假学习”？在我的观念里，“假学习”就是你表面很认真学习，可实际什么也学不进去，或者说你确实很认真努力的在学习可方法
5、不对，导致收获的并不多，效率非常低。这些“假学习”，会给别人带来一种错觉，在其他同学眼里，你今天又勤奋学习了很久，肯定又比我们厉害了，但是由于你在“假学习”，考试出来的成绩，却往往低于那些偶尔出去玩，打游戏的同学。相信很多学弟学妹们肯定有过这样的疑惑，就是，“为什么我明明比他还要努力学习，却考不赢他？为什么他整天都在和同学玩，有时候还会进步？”这或许会让你觉得，那是因为别人智商比自己高，又或者别人在偷偷努力不让你知道。在此，我只想认真的告诉你，不排除别人这些可能，但最重要的是你一直都在“假！学！习！”下面就拿我的例子来说吧。1、假认真地问问题。平时，我在学校真的非常努力，勤奋学习的。怎么说呢，
6、我平时下课，都是在自己的座位写作业的，有时，我还会缠着某科老师或者同学问问题，一直到下一节上课铃响，而其他同学，可能会出去玩呀，聊天呀，吃东西呀等等。这貌似一点毛病都没有，没错，我很勤奋好学，按道理，我这样坚持下去，肯定能比一般的同学收获很多，然而并不是！为啥？因为我并没有真正学到东西。我想告诉学弟学妹们，与老师，同学们讨论问题时，千万不能有种应付式的心理。要不你就不要浪费时间问，拿去做别的事情，要不你就好好问，问到自己真博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 3 页，共 71 页 争第一争第一 的完全懂了为止，不能装懂，不要害羞，学习是自己的事，再蠢，不放弃问老师，学到知识了，你就是聪明
7、人！我当时就没有意识到这个问题，有很多时候，我遇到自己不懂的问题，看到老师非常认真地教完我一遍又一遍，自己觉得不好意思，总以为先听听老师的思路，然后自己找时间弄懂它就好。还有时候，我和几个同学一起去问老师同样的问题，可别的同学听老师简单讲几句就说：“哦，这样啊，好，我懂了。嗯。对！没错！是的！”可我根本就不懂老师到底讲了什么，脑子一片空白。我不知道他们是真的那么厉害听懂了，还是假装听懂了，他们悄悄离开了，就剩下了，我和老师两个人，我开始方了，有点尴尬，于是就假装自己也懂了，拼命点头，但实际，我还是没有学会，当我课后抽时间去搞懂那些题的时候，怎么也没能搞懂，就算能搞懂，也是花了很多时间才弄懂的，
8、这就让我的效率低了很多。有时候，又因为各种各样繁琐的作业没写完，我就落下了没弄懂的问题，越积越多，也没多在意。在高三的一年里，我最差的就是化学，问问题最多的也就是化学，可永远最低分的，也还是化学！在化学老师眼里，她觉得我就是很努力学化学的人。她曾经和我聊天的时候对我说：“我觉得你好认真学化学耶，为什么总是成绩没有提高的呢？不过你不要放弃，你那么勤奋问问题，把不会的问题都慢慢一点一点搞懂，高考肯定不会让你失望的，高考加油哟！”那时，老师和我，根本就没发觉我考不好真正存在的问题。我还一直认为自己在努力着学习，并安慰自己，学习是个漫长的过程，坚持不放弃就能成功。因此，不管什么学科，我这样的问问题方式
9、一直持续到高考前一天。然而我最后，还是没考好，其中的原因是我根本没真的弄懂自己不会的问题，所以遇到类似的问题，我还是不会做，所以啊，我劝学弟学妹们千万不要走我的歪路，勤问问题，是件好事，但是一定要厚着脸皮，让自己有所收获，一定要确保自己真的弄懂了，这才是“真”学习啊！2、假认真地写作业。我是一个很认真尽量把老师布置的作业完成的人，大家都知道，高三肯定有很多写不完的作业，然而，有很多同学都是抱着能做多少就做多少的态度，有一些厉害的学生还比较佛系，每科作业都有选择地做一些。而我，是要完成一样再做一样的，写不完的，我会用下课的时间，放学的时间，早点来上学的时间等等，反正我一有时间，就是在写作业。我还
10、写得特别认真，做练习册的时候，我做完了还会用红笔改正答案，甚至还会用不同颜色的笔，通过看答案解释把每个错的地方都做好笔记。所以每到老师偶尔检查我们的作业的时候，我都会被受到老师的表扬，她还会把我的练习册在讲台开投影仪给同学们看，我有多认真地写作业。那时，各个同学都会赞叹说：“哇！真的好勤奋耶，厉害厉害，怎么做到的呀！佩服！看看别人家的孩子！”我想，如果你们看到一个同学的所有练习册都写着满满的笔记，你也会想，这位同学好勤奋啊，学习成绩应该会不错的吧。我当时一直排名在班前 5，所以大家也就认为，我的成绩是靠这样维持的。然而，我现在发现，我错了。这也是在“假学习”，我并没有多大的收获。为什么？因为我
11、当时是很认真的写作业，但是遇到很难的题，我都是直接看答案的，看完答案觉得自己好像会做了，懂了，就直接用红笔抄上去了。可你要我不看答案重做一遍，我是无从下手的。还有，那些选择题，我把每个错误的选项都用蓝笔改正过来，没错，当时我确实把题搞懂了，你让我再一次做，我会，也能说出其他选项错误的原因，因此，我按着这个方法做物化生的选择题，越刷越多，总以为做的越多，见识越广。然而，我错了，因为当我越做越多的时候，我忽略了一个问题，就是没有回温自己做过的题，遇到类似的选项，改了一点就是错的，我却也以为是自己做过类似的，就当成对了。然而，我应该收集好，拿出来对比一下，哪里不同了，哪里设了坑自己踩进去了，以后遇到
12、类似的，还要注意哪些等等，我博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 4 页，共 71 页 争第一争第一 都没有关注过，只是一面的盲目刷题，所以导致我做了很多题，却提分不了多少。这也就是为什么老师们常说，刷题，是为了多见识，多对比，重点不在于数量的多少，而是质量的如何。所以，我希望学弟学妹们，在你们刷题的时候，一定要全面，同时要善于挖掘类似题目的不同点，题刷完了以后，要记得把重点记一下，遇到不会的题，思考过了，才允许自己看答案，看完答案了，一定要自己认真再做一遍！这样才算真正会了。我知道这样很浪费时间，但是，你要知道，你认真花很多时间学会做一道题，总比你随意做十道你还是不会做的题要好得多。切
13、记让自己成为一个死刷题的工具。3、假认真地写了好多笔记本。作为学生的你们，又或者作为学霸的某些学生，学习必不可少的，就是做笔记。我是一名理科生，无论是语数英，还是物化生，我都会对应有一本厚厚的笔记本。里面写的内容可有用了，很多同学都会借我的笔记本来看的。比如语文笔记本，我会把一些阅读的答题模板写下去，一些作文素材归纳好。英语笔记本就是前面用来写英语语法，后面就写在阅读中遇到不知道中文意思的单词和一些搭配短语，中间就写作文好句。数学笔记本呢，就是用来专门记难题错题的，我还把一些从网课学来的秒杀技巧写下来。至于物理和化学笔记本，我就用来写考点，知识点，易错点，还有老师的课堂笔记等等。试问，如此一个
14、勤奋，那么会写笔记的学生，成绩能差到哪里去吗？然而，我又大错特错了！为什么？因为我知道写笔记很有用，然而，我天天都在做题，写笔记。那些笔记越写越多，本子越来越厚，每当我把一些难题搞懂了，并能通过自己的理解写成笔记提醒时，我感觉无比的快乐，觉得自己今天又收获了很多知识。可时间长了，我一直沉浸在写笔记的快感，却忘了要抽时间来回看，巩固那些知识。我后来才发现，写再多有用的笔记，你不去反复看，啥用都没有！真的，人的记忆力有限，或许你写的时候确实是理解了的，但是当你做各种各样的题做多了，时间久了，你就会忘了，不是说你当时没有真的理解，而是你的大脑被新的知识缓冲了。只有当你多抽时间不断回顾自己写过的笔记，
15、重读看几遍，多理解一下。你才会记得更牢固。同时，我也发现，笔记本是不需要写太详细的，只要求精，把精华留下，其他无用的都去掉，这样复习起来又快又准又狠。不然准备高考的时候，就那些时间给你复习 6 大科的知识，你要还要覆盖所有学过的东西，怎么复习得完啊。而且我是过来人，有时候，笔记本写的过于详细，复习起来，会感觉繁琐疲惫，同时花费的时间真的很多。4、假认真地挤时间学习。我呢，平时除了体育课，还有跑操的时间是在运动的，其余大多时间都是在学习。我给别人的印象就是，无时无刻都在勤奋地学习。我每次上学，都是最早的那个，课室里，经常出现只有我一个人的身影。我嘛，也比较有趣，有时候放假回来上学那天，也是我最早
16、到课室，我会掏出手机，自拍一张，安慰一下努力的自己。不要问我那么早回来干嘛，我就是在这些时间里写笔记本啊，做作业什么的。然而，我仿佛比别的同学多挤了很多时间，按道理来说，我这种勤奋程度，就应该会考上本科的。可我早去的时间，就是上面所说的，在“假学习”，是没有多大用处的，所以我还是考得不好。还有啊，最重要的一点，我要提醒学弟学妹们，不管学习多累，真的要注意给自己补充营养，适当做运动，喝点牛奶，吃点苹果什么的。特别是将近高考的那几个月，一定要保重身体，爱惜自己。不然过度劳累会导致抵抗力下降容易感冒发烧的。我当时就没注意好，为了学习，天天熬夜到晚上十二点半左右，然后最后身体终于垮了，高考前两天，我又
17、咳嗽又流鼻涕，最后干脆还发烧了，那是弄到我爸妈非博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 5 页，共 71 页 争第一争第一 常紧张的，还带我去了好几次医院看病，因为快高考了，还不能乱吃药打针，所以我好久都没好。你们想想啊，在拼命的那一刻，你感冒不舒服了，多亏啊，别人还在努力的学习，你却不能拼尽全力，或多或少，会受到一些影响的。最后呢，我想跟师弟师妹们说，努力真的很难，很辛苦，但是千万不要放弃，坚持到最后，那个成功的人，一定是你。有些时候努力了，没有收获，并不是你笨，并不是你不如别人，而是你学习的方法错了，就像我一样！趁着时间还早，多尝试不同的方法，找到最适合自己的，并坚持下去，一切会好起来
18、的。希望你们能够通过看我的文章，收获些东西，也希望你们，不要给自己的高考留下什么遗憾。好了，其他话不多说，愿你们能拼命到无能为力，努力到感动自己！学弟学妹们，高考加油！来自一名高考失利后的师姐 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 6 页，共 71 页 争第一争第一 三角函数 1.【2020杨浦一模】要得到函数=2sin(2+3)的图像，只要将=2sin2的图像（）A.向左平移6个单位 B.向右平移6个单位 C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位 【解析】因为=2sin(2+3)=2sin2(+6)，所以要得到函数=2sin(2+3)的图像，只需将函数=2sin2的图像向左平移6个单
19、位 故选A 2.【2020 浦东新区高三一模】动点(,)在圆2+2=1上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间=0时，点的坐标是(32,12)，则动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（）A.0,3 B.3,6 C.6,9 D.9,12 【解析】根据题意可知=0时，点的坐标为(32,12)，所以点的初始角为30 当点转过的角度在0,60或240,360时，动点的纵坐标关于的函数是单调递增的 因为12秒旋转一周，所以每秒转过的角度是360 12=30，240 30=8 则当0 12时，动点的纵坐标关于的函数的单调递增区间为0,2，8,12 故选D
20、 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 7 页，共 71 页 争第一争第一 3.【2020杨浦高三一模】已知六个函数：=12；=cos；=12；=arcsinx；=lg(1+1)；=+1从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有 种 【解析】=12，定义域为(,0)(0,+)，1()2=12，=12为偶函数；=cos，定义域为，cos()=cos，=cos为偶函数；=12=，定义域为0,+)，由定义域不关于原点对称，则=12为非奇非偶函数；=arcsinx，定义域1,1，arcsin(x)=arcsinx，=arcsinx为奇函数；=lg(1+1)，1+1 0，1 0,0)，0
21、,2，若()恰有4个零点，则下述结论中：若(0)()恒成立，则0的值有且仅有2个；()在0,819上单调递增；存在和1，使得(1)()(1+2)对任意 0,2恒成立；“1”是“方程()=12在0,2内恰有五个解”的必要条件；所有正确结论的编号是 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 10 页，共 71 页 争第一争第一 【解析】如下图所示，由题意可知，=2，可标出函数()=sin(6)的多个零点，若()在 0,2恰有4个零点，可知196 2 256，解得1912 2512；观察图像可知，若(0)()恒成立，则(0)是函数()的最大值，这样的0的值有且仅有2个，正确；若()在0,819上单
22、调递增，则必满足81923 1912恒成立，而1912 0)，若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（）A.16 时 B.17 时 C.18 时 D.19 时 【解析】为方便运算，将该函数模型微调为：=0.5sin(+6)+3.25(0)（对于港口水深而言，记录时因为海水涌动，存在1厘米的误差也是正常的，所以调整1厘米，影响微乎其微，不微调的话，做法也是一样的，只是会有太多小数）设0.5sin(+6)+3.25=3的解为1、2、3，且0 1 2 3 24，=2，sin(+6)=12，+6=76，116，即1=1、2=53，3=1+，1+24
23、2+，即3 24 113，7211563，不可能为19时 故选D 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 12 页，共 71 页 争第一争第一 10.【2020 奉贤高三一模】在 中，若=60，=2，=23，则 的面积是 【解析】如图在 中，过作 ，交于点，=60，=2，=23，sin=sin60=，=sin60=2 32=3，=12 =12 23 3=3故 的面积为3 11.【2020 崇明高三一模】若不等式(|)sin(+6)0对 1,1上恒成立，则+=（）A.23 B.56 C.1 D.2 【解析】方法一:如图，作出函数=sin(+6)在 1,1上的图像，为使不等式(|)sin(+6
24、)0对 1,1上恒成立，当且仅当函数=|的图像经过函数=sin(+6)的零点，则由=sin(+6)=0，得1=16，2=56，博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 13 页，共 71 页 争第一争第一 所以56 =0 =16，所以+=56故选B 方法二:令=+6 56,76，作出函数=sin在56,76上的图像，则函数=|16|的图像必需经过(0,0)，(,0)两点，则+=56故选B 方法三:当 16,56时，+6 0,，sin(+6)0，所以，|0，即 +，所以+56，当 1,16)(56,1时，+6 56,0)(,76，sin(+6)0，所以|0，则 +或 ，所以+56，综上+=56
25、 故选B 12.【2020 青浦高三一模】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆的交点坐标是(35,45)，则sin2=【解析】设点坐标为(35,45)，|=(35)+(45)2=1，点在单位圆上，sin=45，cos=35，sin=2sincos=2425，故答案为2425 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 14 页，共 71 页 争第一争第一 13.【2020 虹口高三二模】已知函数()=sin(+6)+12(0)在区间(0,2)上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为()A.(2,143 B.2,143)C.103,4)D.(103,6 【解析】0，(0,
26、2)+6(6,2+6)，()=0 sin(+6)=12，由题意得1162+6196，(103,6 14.【2020 宝山高三二模】若函数()=sin+cos的图像关于直线=4对称，则的值为（）A.1 B.1 C.3 D.3 【解析】设tan=，()=sin+cos=2+1sin(+)，()关于直线=+2 对称()，又函数()的图像关于直线=4对称，+2 =4()，=4+()，=tan+4=1()故选A 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 15 页，共 71 页 争第一争第一 15.【2020 闵行高三二模】已知函数()=|sin|+|cos|4sincos ，若函数=()在区间(0,)
27、内恰好有奇数个零点，则实数的所有取值之和为 【解析】当 (0,2，=sin+cos 4sincos，令=sin+cos=2sin(+4)，(1,2，则sincos=212，=4 212=22+2，画出两函数图像：显然，=1时，=1，=2是唯一解；=2 2时，=2，=4也是唯一解；(2 2,1)时，(1,2)，有两个解分别在(0,4)和(4,2)；当 (2,)，=sin cos 4sincos，令=sin cos=2sin(4)，(1,2)，则sincos=122，=4 122=22+2，画出两个函数的图像：同理，=2+2时，=2，=34是唯一解，(1,2+2)时，(1,2)，有两个解分别在(2
28、,34)和(34,)；综上，当=1，或=2 2，或=2+2时，为奇数个解，三根之和为1+22 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 16 页，共 71 页 争第一争第一 16.【2020 青浦高三二模】已知函数()=sin+2|sin|，关于的方程 2()()1=0有以下结论：当 0时，方程2()()1=0在0,2内最多有3个不相等的实数根；当0 649时，方程2()()1=0在0,2内有两个不相等的实数根；若方程2()()1=0在0,6内根的个数为偶数，则所有根之和为15；若方程2()()1=0在0,6内根的个数为偶数，则所有根之和为36 其中所有正确结论的序号是()A.B.C.D.【
29、解析】由已知得()=sin+2|sin|=3sin,0,sin,(,2，作出图像如下：由2()()1=0，得()=+42或()=+42令1=+42，2=+42显然 0，1 1，20时，可能有2个、1个、0个交点，故正确；博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 17 页，共 71 页 争第一争第一 对于，结合可知，=0时，有3个根，故错误；对于，如图所示，由题意，需要满足：=1与=()在0,，2,3，4,5上的图像各有两个交点 易知这六个零点分别关于=2，=52，=92对称，所以六个根的和为：2 2+2 52+2 92=15 故正确，错误故正确命题的序号是故选：C 博哥博哥学员学员专属专属
30、思考力思考力 第 18 页，共 71 页 争第一争第一 17.【2020 浦东新区高三二模】已知函数()=cos|cos|给出下列结论：()是周期函数；函数()图像的对称中心为(+2,0)()；若(1)=(2)，则1+2=()；不等式sin2|sin2|cos2|cos2|的解集为|+18 cos2|cos2|，等价于(2 2)(2)，则2 2 4+22 54+2，解得+18 +58，故不等式解集为|+18 0)个单位长度后得到函数=()的图像，若对满足|(1)(2)|=2的任意1，2，|1 2|的最大值是3，则的最小值是 【解析】由已知得(1)=sin1，(2)=sin(2)因为|(1)(2
31、)|=2，所以(1)，(2)一个取得最大值，另一个取得最小值 不妨设1=2+2，2 =2+2，由已知得|1 2|=|+2()|3，结合 0 当=，=23时成立故答案为：23 24.【2020 崇明高三二模】在 中，=(3cos,cos)，=(cos,sin)，则 面积的最大值是 【解析】如图，将点置于直角坐标系中的原点，则(3cos,cos)，(cos,sin)，|=cos2+sin2=1，|=(3cos)2+cos2=2|cos|，=6，故与的夹角为|6|，的面积=12|sin=12 1|2cos|sin(6)|=|32sincos 12cos2|=12|32sin2 1+cos22|=12
32、|sin(2 6)12|34，故答案为：34 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 22 页，共 71 页 争第一争第一 25.【2019 徐汇高三二模】函数()=cos3的最小正周期为 【解析】函数()=cos3的最小正周期为23=6，故答案为：6 26.【2020 徐汇高三二模】设点(2+2,1)(0)是角终边上一点，当|最小时，cos的值是()A.255 B.255C.55 D.55 【解析】点(2+2,1)(0)是角终边上一点，|=(2+2)2+1=(2+2)2+1 5，故|最小时，=2，cos=2+2(2+2)2+1=255，故选：A 27.【2020 静安高三二模】若sin=
33、63，则cos(2)的值为 【解析】sin=63cos(2)=cos2=(1 2sin2)=2 (63)2 1=13 故答案为：13 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 23 页，共 71 页 争第一争第一 28.【2020 徐汇高三一模】如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、，景区管委会又开发了风景优美的景点，经测量景点位于景点的北偏东30方向8km处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西75方向上，已知=5km (1)景区管委会准备由景点向公路修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长（结果精确到0.1km）【解析】如图，过点作 于点，过点作 ，交的延长线于点
34、，在Rt DAF中，=30，=12=12 8=4，=2 2=82 42=43，在Rt ABF中，=2 2=52 42=3，=43 3，sin=45，在Rt DBE中，sin=，=，sin=45，=sin=45(43 3)=163125 3.1(km)，景点向公路修建的这条公路约是3.1km 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 24 页，共 71 页 争第一争第一 (2)求景点与景点之间的距离（结果精确到0.1km）【解析】由题意可知=75，由（1）可知=45=0.8，所以=53，=180 75 53=52，在Rt DCE中，sin=，=sin523.10.79 4(km)，景点与景点之
35、间的距离约为4km 29.【2020 浦东新区高三一模】已知函数()=2cos2+3sin2(1)求函数()的最小正周期及单调递增区间 【解析】()=2cos2+3sin2，=cos2+1+3sin2，=2sin(2+6)+1，函数()的最小周期=22=，由2 2 2+6 2+2()，得：单调增区间为 3,+6，综上所述：函数的最小正周期为，(2)在 中，=6，若函数()的图像经过点(,2)，求 的面积 【解析】()=2sin(2+6)+1=20 =3，=cos=6，解得=12，=12sin=33 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 25 页，共 71 页 争第一争第一 30.【202
36、0 松江高三一模】已知函数()=23sincos 2sin2(1)求()的最大值 【解析】函数()=23sincos 2sin2=3sin2+cos2 1 =2(32sin2+12cos2)1=2sin(2+6)1，sin(2+6)1,1，()3,1，函数()最大值为1(2)在 中，内角、所对的边分别为、，若()=0，、成等差数列，且=2，求边的长【解析】()=0，()=2sin(2+6)1=0，sin(2+6)=12，由为 内角，则0 ，即=3，=|cos=2，|=2cos=4，即=4，成等差数列，则2=+，由余弦定理，cos=2+222=12，即2+2 2=4，=42=+2+2 2=4，得
37、=2，故=2 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 26 页，共 71 页 争第一争第一 31.【2020 普陀高三一模】某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且=60米，=60，设=(1)求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围 【解析】由平行四边形得，在 中，=120，=60 ，则sin=sin=sin，即sin(60)=60sin120=sin，即 =403sin(60 )，=403sin，则停车场面积=sin=24003sinsin(60 )，即=24003
38、sinsin(60 )，其中0 60(2)当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）【解析】由(1)得=24003sinsin(60 )=24003sin(32cos 12sin)，即=3600sincos 12003sin2=1800sin2+6003cos2 6003，则=12003sin(2+30)6003，因为0 60，所以30 2+30 2时，方案二合算，此时0 0.32 当1 2时，方案一合算，此时0.32 1 综上，当0 0.32时，方案二合算，当0.32 1时，方案一合算 33.【2020 长宁高三一模】如图，某城市有一矩形街心广场，如图，其中=4百米，=3
39、百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求=4 (1)若=2百米，判断 是否符合要求，并说明理由 【解析】由题意 =5，=13，=25，所以 cos=13+20522513=76522，所以 4，不符合要求 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 29 页，共 71 页 争第一争第一 (2)设=，写出 面积的关于的表达式，并求的最小值 【解析】=，=4 ，=3cos，=4cos(4)，所以=12 sin4=32coscos(4)，coscos(4)=22cos(cos+sin)=24(sin2+cos2+1)=12sin(2+4)+2412+24，所以 12
40、(2 1)，的最小值为12(2 1)34.【2020 奉贤高三一模】函数()=sin(tan)，其中 0，(1)讨论()的奇偶性 【解析】由=+2，得 2+12，所以函数()=sin(tan)的定义域为|2+12,，所以定义域关于原点对称，()=sin tan()=sin(tan)=sin(tan)=()，所以函数()=sin(tan)是|2+12,上的奇函数 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 30 页，共 71 页 争第一争第一 (2)=1 时，求证：()的最小正周期是 【解析】=1，()=sin(tan)，函数()是周期函数，且是它的一个周期，因为(+)=sin tan(+)=s
41、in(tan)=()，所以函数()是周期函数，且是它的一个周期，假设0是函数()=sin(tan)的最小正周期，且0 0，那么对于任意实数，都有(+0)=sin tan(+0)=sin(tan)=()成立，取=0，则sin(tan0)=0，所以tan0=，()，取=0，则sin(tan20)=sin(tan0)，所以sin(2tan01tan20)=sin(tan0)，把()式代入上式，得 sin(2122)=0，所以2122=，得2122=，0时，上式左边为无理数，右边为有理数，所以只能=0但由于0 0 0，12(+1)12 2 1=1且()=sin(tan)1，由()=sin(tan)=(
42、)=12(+1)成立，当且仅当=1成立，sin(tan)=1，得tan=2+2，所以=arctan(2+2)+，因为 (1.50,1.57)，所以只能=0，得=arctan(2+2)，得=arctan(2+2)是的递增函数，当 0时，=arctan(2+2)arctan(32)200时，1.570001546 (1.50,1.57)无解，故满足条件的的个数有198个 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 32 页，共 71 页 争第一争第一 35.【2020 青浦高三一模】已知向量=(3cos,sin)，=(cos,cos)其中 0，记()=(1)若函数()的最小正周期为，求的值 【解析
43、】向量=(3cos,sin)，=(cos,cos)，()=(3cos,sin)(cos,cos)=3cos2+sin cos =32cos2+12sin2+32=sin(2+3)+32 0，函数()的最小正周期为，22=，=1 (2)在（1）的条件下，已知 的内角、对应的边分别为、，若(2)=3，且=4，+=5，求 的面积 【解析】函数()=sin(2+3)+32(2)=sin(2 2+3)+32=3，sin(+3)=32，由为 内角，0 ，则=3，=4，+=5，cos=2+222=2+2162=12 则2+2=16+(+)2=16+3，=25163=3 所以=12sin=12 3 32=34
44、3 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 33 页，共 71 页 争第一争第一 36.【2020 崇明高三一模】已知函数()=32sin2 cos2 12(1)求函数()的最大值，并写出取得最大值时的自变量的集合 【解析】()=32sin2 12(1+cos2)12=sin(2 6)1 函数()=1 1=0，当且仅当2 6=2+2，时取得最大值，即=3+，()的最大值为1，取得最大值的取值集合为|=3+,(2)设 的内角、所对的边分别为、，且=3，()=0，若sin=2sin，求、的值 【解析】由()=0，得sin(2 6)=1，又 (0,)，所以2 6=2，得=3，由sin=2sin及
45、正弦定理，得=2，由余弦定理2=2+2 2cos，得2+2 =3，由，解得=1，=2 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 34 页，共 71 页 争第一争第一 37.【2020 嘉定高三二模】设常数 ，函数()=3sin2+cos2(1)若()为奇函数，求的值 【解析】当()为奇函数时，必有(0)=3sin0+=0，可得=0 当=0时，()=3sin2，利用正弦函数的性质可知其为奇函数，符合题意，可得的值为0(2)若(6)=3，求方程()=2在区间0,上的解 【解析】因为(6)=3sin3+cos26=32+34=3 =2，所以()=3sin2+2cos2=3sin2+cos2+1=2
46、sin(2+6)+1，由()=2 sin(2+6)=12 2+6=6+2或2+6=56+2()，可得=或=3+()，所以方程()=2在区间0,上的解为0,3,博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 35 页，共 71 页 争第一争第一 38.【2019 徐汇高三二模】某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为503米、圆心角为60的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点，分别在弧、线段上 (1)若=45，求此红旗图案的面积 【解析】=3750 12503（平方米）(2)求组成的红旗图案的最大面积 【解析】
47、=25003sin(2+6)12503，(0,3)，=12503平方米 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 36 页，共 71 页 争第一争第一 39.【2020 崇明高三二模】某开发商欲将一块如图所示的四边形空地沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界与的长都是2千米，=60，=120 (1)如果=105，求的长（结果精确到0.001千米）【解析】如图，连接，在 中，因为=60，=，所以 为等边三角形，所以=2，因为=105，所以=105 60=45，在 中，由正弦定理可得sin120=sin45，所以=sin120 sin45=23222=263 1.633（千
48、米）博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 37 页，共 71 页 争第一争第一 (2)围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到0.001千米）【解析】如图，连接，因为=60，=2，所以 为等边三角形，所以=2，在 中，由余弦定理可得2=2+2 2 cos120=(+)2 (+)2(+2)2=34(+)2，所以(+)2432=163，所以(+)=433，所以四边形的周长为：(+)=2+2+433 6.309（千米）博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 38 页，共 71 页 争第一争第一 40.【2020 普陀高三二模】设函数()=2sin2(2+6)+3si
49、n(+3)1(1)当0 1时，若函数()的最大值为(2)，求函数()的最小正周期 【解析】()=2sin2(2+6)+3sin(+3)1 =1 cos(+3)+3sin(+3)1=2sin(+6)，因为函数()的最大值为(2)，所以sin(2+6)=1，即 2+6=2+2，即=4+23 又0 0，0，0 ）满足下列条件：()的图像向左平移个单位时第一次和原图像重合；对任意的 都有()(6)=2成立(1)求()的解析式 【解析】由题意可得：=2=，解得：=2，对任意的 都有()(6)=2成立，=6时，()有最大值2，可得：=2，2 6=2+2，又0 ，=6，()=2sin(2+6)(2)若锐角
50、的内角满足()=1，且的对边=1，求 的周长的取值范围 【解析】()=1，2sin(2+6)=1，=3，是锐角三角形，0 2，0 =23 2，6 2，中，由正弦定理可得=sinsin=2sin3，=sinsin=2sin(23)3，=2sin3+2sin(23)3+1=2sin(+6)+1，6 2，(1+3,3 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 40 页，共 71 页 争第一争第一 42.【2020 长宁高三二模】已知函数()=sin 3cos，(1)设 的内角、所对的边长分别为、，若()=0，且=2，=3，求的值 【解析】由sin 3cos=0，得tan=3，因为为 的内角，所以=