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1、Unit 1 key 9 积分因子法 对于恰当方程，我们有多种方法求解，比如上节课讲的偏积分法、以及很多教材中提到 的线性积分法和凑微分法，因为选择多，所以我们很喜欢求解恰当方程。对于一个微分形式 的方程 ( , )( , )0M x y dxN x y dy（1） 我们不禁要问，如果（1）不是恰当方程，那么我们能否通过一些恒等变形，将它化为 恰当方程来求解呢？ 首先，我们看一下前面讲的变量分离方程和线性方程 ( ) ( ) dy g x h y dx ( )( ) dy p x yq x dx 下面把这两个方程改写为微分形式 ( ) ( )0dyg x h y dx （2） ( ( )( )
2、0dyp x yq x dx （3） 先看（2）式，我们记 ( , )( ) ( ),( , )1M x yg x h y N x y 经计算，得 ( ) ( ),0 MN g x h y yx 显然 MN yx ，所以（2）式不是恰当方程，但如果（2）式两端同乘以非零函数 1 ( )h y ， 则有 1 ( )0 ( ) dyg x dx h y ，记为（4） 如果我们记 1 ( , )( ),( , ) ( ) M x yg x N x y h y ，显然= MN yx ，所以（4）是恰当方程。 同理，对于（3）式，我们有 ( , )( )( ),( , )1M x yg x yq x N
3、 x y 经计算，得 ( ),0 MN p x yx ，显然它不是恰当方程，但如果（3）式两端同乘非零函数 ( )p x dx e， 得到 ( )( ) ( ( )( )0 p x dxp x dx edyep x yq x dx （5） 此时，若我们记 ( )( ) ( , )( ( )( ),( , ) p x dxp x dx M x yep x yq xN x ye ，经计算，得 ( ) ( )= p x dxMN p x e yx 所以（5）是恰当方程。 这两个例子可以概括为： 微分形式得方程（1）虽然不是恰当方程，但是当两端同乘一个非零函数( , )x y后，使得 ( , )( ,
4、 )( , )( , )0 x y M x y dxx y N x y dy（6） 变成恰当方程，此时我们就称函数( , )x y为方程（1）的积分因子。 可见积分因子的作用就是把非恰当方程转化成恰当方程来求解。 那么对于一个给定的方程，是否一定能找到积分因子呢？ 答案是积分因子不好找！ 原因如下： 若（6）式是恰当方程，则必有 ( , )( , ) ( , )( , )x y M x yx y N x y yx 整理，得 ( , )( , )( , )( , ) ( , )( , )( , )( , ) x yM x yx yN x y M x yx yN x yx y yyxx （7） 这
5、意味着( , )x y必须满足一个偏微分方程 （7） ， 求解它得难度非常大， 一般是解不出来的！ ！ ！ 但是，在某些情况下，比如积分因子只与一个变量有关时，求解（7）还是可以实现的。 事实上， 前面提到的 1 ( )h y 就是变量分离方程的只与y有关的积分因子； ( )p x dx e就是线性方 程的只与x有关的积分因子。 下面我们从（7）式出发推导方程（1）存在只与一个变量有关的积分因子充要条件 如果方程（1） 存在只与x有关的积分因子，即( , )( )x yx 代入（6）式，并注意到0 y ，我们有 ( , )( )( , ) ( )( , )( ) M x ydxN x y xN
6、 x yx ydxx 整理，得 1( )( , )( , ) ( , ) ( ) dxM x yN x y N x y yxxdx （8） 它的左端只与x有关，所以右端也只能是x的一元函数，因此，方程（1）存在只与x有关 的积分因子的必要条件是 ( , )( , ) ( , ) M x yN x y N x y yx 只与x有关。 另一方面，若 ( , )( , ) ( , ) M x yN x y N x y yx 仅依赖于x，而与y 无关， 记它为( )G x 那么， （7）式便化为 1( ) ( ) ( ) dx G x xdx 这是个变量分离方程，经计算得到 ( ) ( ) G x d
7、x xe 容易验证，它就是方程（1）的积分因子。 我们将上述论证过程表述为下面的定理。 定理 1：微分方程（1）存在仅依赖于x的积分因子的要条件是函数 ( , )( , ) ( , ) M x yN x y N x y yx 仅与x有关， 与y无关。 而且 ( ) ( ) G x dx xe 就 是方程（1）一个积分因子，其中 ( , )( , ) ( )( , ) M x yN x y G xN x y yx 。 类似的，我们得到下面的平行结果。 定理 2：微分方程（1）存在仅依赖于y的积分因子的充要条件是函数 ( , )( , ) ( , ) M x yN x y M x y yx 仅与y
8、有关，与x无关。 而且 ( ) ( ) H y dy ye 就是方程（1）一个积分因子， 其中 ( , )( , ) ( )( , ) N x yM x y H yM x y xy 。 作为练习， 大家可以利用定理 1 和定理 2 来重新审视一下变量分离方程和线性方程的积分因 子的表达式。另外，我们注意到( )G x 和( )H y 的表达式中，分母不同而且分子相差有一 个负号 下面我们看个例子 例 1 求解微分方程 32 (3)(2)0 xy dxx yx dy 解：令 32 ( , )(3),( , )2M x yxy N x yx yx 我们有1,41 MN xy yx ， 2(1 2) MN xy yx 它不是恰当方程，也不是线性方程，变量分离方程和齐次方程，然 而 2 2(1 2)2 2 MN xyyx Nx yxx 仅依赖于x，由定理 1 可知，它有积分因子 2 2 ln 2 1 ( ) dx x x xee x 原方程两端同乘( )x后，得到恰当方程 2 320 ydxxdy xdxydy x 由此可求出通解 22 3 2 y xyC x