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1、重庆科创职业学院授课方案（教案）课名：高等数学（上）教师：杨勇班级：编写时间：课题：2.3 高阶导数授课时数2 节教学目的及要求：了解高阶导数的概念;会求简单的n 阶导数教学重点：初等函数的二阶导数问题.教学难点：复合函数高阶导数教学步骤及内容：一、高阶导数的概念：一般地函数y f(x)的导数yf(x)仍然是x的函数我们把yf(x)的导数叫做函数y f(x)的二阶导数记作y、f(x)或22dxyd即 y(y)f(x)f(x)(22dxdydxddxyd相应地把y f(x)的导数f(x)叫做函数y f(x)的一阶导数类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数一般地 (n1)阶导数
2、的导数叫做n阶导数分别记作 yy(4)y(n)或33dxyd44dxydnndxyd函数f(x)具有n阶导数也常说成函数f(x)为n阶可导如果函数f(x)在点x处具有n阶导数那么函数f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数y称为一阶导数yyy(4)y(n)都称为高阶导数二、例题分析：例 1yaxb求y解ya y0例 2ssin 求s解s cos s 2sin 例 3证明函数22xxy满足关系式y 3y1 0旁批栏：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 3 页 -例 4求函数y ex的n阶导数解yexyexyexy(4)ex一般
3、地可得y(n)ex即 (ex)(n)ex例 5求正弦函数与余弦函数的n阶导数解ysin x)2sin(cosxxy)22sin()22sin()2cos(xxxy)23sin()222sin()22cos(xxxy)24sin()23cos()4(xxy一般地可得)2sin()(nxyn即)2sin()(sin)(nxxn用类似方法可得)2cos()(cos)(nxxn例 6求对函数ln(1x)的n阶导数解yln(1x)yx)yx)yx)y(4)x)一般地可得y(n)nx)nnnxn)1()!1()1(1即nnnxnx)1()!1()1()1ln(1)(例 7求幂函数y x(是任意常数)的n阶
4、导数公式解y1y(1)x2y(1)(2)x3y(4)(1)(2)(3)x4一般地可得y(n)(1)(2)(n1)xn即 (x)(n)(1)(2)(n1)xn当n时得到 (xn)(n)(1)(2)3 2 1n!而 (xn)(n1)0 如果函数u u(x)及v v(x)都在点x处具有n阶导数那么显然函数u(x)v(x)也在点x处具有n阶导数且 (u v)(n)u(n)v(n)(uv)u v uv (uv)u v2uvuv (uv)u v3u v3u vuv旁批栏：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 3 页 -例 8y x2e2x求y(20)解设u e2xv x2则(u)(k)2ke2x(k1,2,20)v2xv2 (v)(k)0(k3,4,20)代入莱布尼茨公式得 y(20)(u v)(20)u(20)vC 201u(19)vC 202u(18)v220e2x x220 219e2x 2x!21920218e2x 2 220e2x(x220 x95)三、小结：本节训练了初等函数的求导方法，讲述了高阶导数的概念及求高阶导数的归纳方法，莱布尼茨公式.思考:莱布尼茨公式求两函数乘积的导数时有什么窍门吗?四、作业布置：11P二（1，3，5）板书设计一、二阶导数的求解二、高阶导数求解旁批栏：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 3 页 -