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1、1,第七章 空间解析几何与向量代数,几何空间中的一些图形与方程对应起来,用代数方法研究了几何问题.,讨论如下几个问题:,1. 向量、向量的一些运算;,2. 空间中的平面与直线;,3. 空间中的一些曲面和曲线;,4. 二次曲面.,在平面解析几何中,本章把这种方法运用到三维几何空间,曾通过坐标法把二维,2,第一节 向量及其线性运算,向量概念,向量的线性运算,小结 思考题 作业,空间直角坐标系,利用坐标作向量的线性运算,向量的模 方向角,第七章 空间解析几何与向量代数,3,向量,既有,向量表示,模长为1的向量.,零向量,模长为0的向量.,向量的模,向量的大小.,单位向量,或,或,或,的量.,又有,大
2、小,方向,以,为起点,为终点的,有向线段.,一、向量概念,(vector),(module),4,自由向量,不考虑起点位置的向量.,相等向量,大小相等且方向相同的向量.,负向量,大小相等但方向相反的向量.,记作,5,加法,（平行四边形法则）,特殊地 若,分为同向和反向,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,(1)加法定义,二、向量的线性运算,1. 向量的加减法,6,(2) 向量的加法符合下列运算规律,交换律,结合律,减法,(3) 减法定义,7,2. 向量与数的乘法 (简称数乘运算),向量,向量的“伸缩”,向量,的乘积,规定为,同向,反向,为向量.,与数,的乘积,8,(2) 数与向量的乘积符合
3、下列运算规律,结合律,分配律,第一分配律,第二分配律,线性运算,由向量,常用数乘运算说明,两向量平行关系(两向量共线的充要条件):,定理1,平行,设向量,存在唯一的实数,同方向的单位向量.,记作,9,？,下列命题是否正确,错,错,(1),选择题 设向量 互相平行,但是方向相反,则当,A,没有定义向量的除法.,向量不能比较大小, 只有模才能比较大小.,时, 必有( ),10,例 化简,解,11,例 试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,且,12,上两式相减得：,练习,设 均为非零向量,其中任意两个向量 不共线, 但 与 共线, 与 共线. 证明：,证,为常数.
4、,13,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的,点O叫做坐标原点 (或原点),正方向符合右手系,即以右手握住 z 轴,当右手的四个手指,从正向x轴以,角度,转向正向y 轴时,大,拇指的指向就是z轴,的正向.,三、空间直角坐标系,1.空间点的直角坐标,坐标系,或,坐标系.,14,空间直角坐标系共有八个卦限,15,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,16,(3) 点M(2, -3, 1)关于y 轴的对称点是( ).,?,(1) 点M(2, -3, 1)关于坐标原点的对称点是( );,选择题,(2) 点M(2, -3, 1)关于xOy面的对称点是( ) ;,
5、(A) (-2, 3, -1); (B) (-2, -3, -1); (C) (2, -3, -1); (D) (-2, 3, 1).,A,C,B,17,为空间两点.,在直角三角形,和,中,用勾股定理,2.空间两点间点的距离,空间两点间距离公式,18,若两点分别为,特殊地,向径,空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.,常用,表示.,空间两点间距离公式,19,解,设P点坐标为,所求点为,例,的距离为到,的距离的两倍,求点P的坐标.,20,1. 两向量的夹角的概念,类似地,特殊地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,当两个向量中有一个零向量时, 规定,它们的夹角可在,之间任意取值.,向量,与向
6、量,的夹角,四、利用坐标作向量的线性运算,21,空间一点在轴上的投影,过点A作轴u的垂直平面,即为点A在轴u上,的投影.,空间一向量在轴上的投影,轴u称为投影轴.,已知向量的起点A和终点B,在轴u上的投影分别为,那么轴u上的有向线段,的值,称为向量在轴u上的,投影.,2.向量在轴上的投影,22,Projection,在轴u上的,向量,轴与向量的夹角的余弦：,向量,在轴u上的,投影,记为,投影性质1,投影等于向量的模乘以,投影有正、,负之分;,模只为非负值.,23,（可推广到有限多个）,两个向量的和在轴上的投影等于两个向量,在该轴上的投影之和.,投影性质2,投影性质3,24,1,证,例,B,A,
7、25,3. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标,的投影,如 是与轴 u正向一致的单位向量,因此,可知:,上坐标分别为,26,起点,终点,向量在x轴上的投影,向量在y轴上的投影,向量在z轴上的投影,按基本单位向量的坐标分解式：,向量的坐标表达式：,坐标,坐标,坐标,27,4.利用坐标作向量的线性运算,28,由,按坐标表示式即为:,当分母为零理解为分子也为零.,也即向量 与 对应的坐标成比例:,29,解,设,为直线上的点,例,已知两点,以及实数,在直线AB上求点M, 使,同理,得,30,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称之为,非零向量 的方向角：,五、向量的模、方向角,(direction ang
8、le ),31,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦,向量模长的坐标表示式,(direction cosine ),通常用来表示向量的方向.,32,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征,特殊地,33,解,或,所求向量有两个,一个与,同向,一个与,反向.,求平行于向量,的单位向量,例,的分解式.,34,解,设有向量,例,已知,它与x轴和y轴的,夹角分别为,如果P1的坐标为(1,0,3),求P2的坐标.,设向量,的方向角为,35,设P2的坐标为,P2的坐标为,36,解,求向量,例,x轴上的,投影及在y轴上的分向量.,在x轴上的投影为,在y轴上的分向量为,37,六、小结,向量的概念,
9、向量的线性运算,（注意:与数量的区别与记法）,(平行四边形法则, 三角形法则, 注意数乘后的方向),空间直角坐标系,空间两点间距离公式,(注意它与平面直角坐标系的区别),(点、坐标轴、坐标面、卦限),38,向量在轴上的投影与投影性质.,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.,向量的模与方向角.,(注意分向量与坐标的区别),利用坐标作向量的线性运算.,39,思考题1,解,对角线的长为,求以向量,为边的平行四边形的对角线的长度.,平行四边形的对角线的长度各为,40,B,已知平行四边形的三个顶点 则与顶点B相对的第四个顶点D为 ( ).,提示 :,思考题2,41,思考题2解答,42,作业,习题7-1 (300页),1. 2. 3. 7. 9. 11. 15. 16. 17. 19.,